Номер 85, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 85, страница 30.

Условие.

85. 1) $ \frac{64x^2y^2 - 1}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x + 2)^2}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x - 2)^2}{8xy + 1} $

2) $ \frac{ab - 4b - 2a + 8}{2a + 8 - ab - 4b} \cdot \frac{2a - 8 - ab + 4b}{ab + 4b - 2a - 8} $

3) $ \frac{x - 6}{x^2 + 6x + 9} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 2)(x - 2)} \cdot \frac{x^3 - 9x}{(x - 6)(x + 2)} $

4) $ \frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы упростить выражение, разложим числители и знаменатели дробей на множители. Будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Исходное выражение: $ \frac{64x^2y^2-1}{x^2-4} \cdot \frac{(x+2)^2}{x^2-4} \cdot \frac{(x-2)^2}{8xy+1} $
Разложим на множители числитель первой дроби: $ 64x^2y^2-1 = (8xy)^2 - 1^2 = (8xy-1)(8xy+1) $.
Разложим на множители знаменатели первой и второй дробей: $ x^2-4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2) $.
Подставим разложенные выражения в исходное:
$ \frac{(8xy-1)(8xy+1)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)^2}{8xy+1} $
Запишем все множители под одной дробной чертой:
$ \frac{(8xy-1)(8xy+1)(x+2)^2(x-2)^2}{(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)(8xy+1)} = \frac{(8xy-1)(8xy+1)(x+2)^2(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2(8xy+1)} $
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (8xy+1) $, $ (x+2)^2 $ и $ (x-2)^2 $.
После сокращения остается: $ 8xy-1 $.
Ответ: $8xy-1$

2) Чтобы упростить выражение, разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей методом группировки.
Исходное выражение: $ \frac{ab-4b-2a+8}{2a+8-ab-4b} \cdot \frac{2a-8-ab+4b}{ab+4b-2a-8} $
Разложим на множители числитель первой дроби: $ ab-4b-2a+8 = b(a-4)-2(a-4) = (b-2)(a-4) $.
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ 2a+8-ab-4b = 2(a+4)-b(a+4) = (2-b)(a+4) $.
Разложим на множители числитель второй дроби: $ 2a-8-ab+4b = 2(a-4)-b(a-4) = (2-b)(a-4) $.
Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ ab+4b-2a-8 = b(a+4)-2(a+4) = (b-2)(a+4) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(b-2)(a-4)}{(2-b)(a+4)} \cdot \frac{(2-b)(a-4)}{(b-2)(a+4)} $
Сократим общие множители $ (b-2) $ и $ (2-b) $.
Получим: $ \frac{(a-4)}{(a+4)} \cdot \frac{(a-4)}{(a+4)} = \frac{(a-4)^2}{(a+4)^2} $.
Ответ: $ \frac{(a-4)^2}{(a+4)^2} $

3) Для упрощения выражения разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях. Будем использовать формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.
Исходное выражение: $ \frac{x-6}{x^2+6x+9} \cdot \frac{x^2+4x+4}{(x^2+2)(x-2)} \cdot \frac{x^3-9x}{(x-6)(x+2)} $
Разложим знаменатель первой дроби (квадрат суммы): $ x^2+6x+9 = (x+3)^2 $.
Разложим числитель второй дроби (квадрат суммы): $ x^2+4x+4 = (x+2)^2 $.
Разложим числитель третьей дроби (вынесение общего множителя и разность квадратов): $ x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{x-6}{(x+3)^2} \cdot \frac{(x+2)^2}{(x^2+2)(x-2)} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+2)} $
Запишем все под одной дробной чертой и сократим общие множители:
$ \frac{(x-6) \cdot (x+2)^2 \cdot x(x-3)(x+3)}{(x+3)^2 \cdot (x^2+2)(x-2) \cdot (x-6)(x+2)} $
Сокращаем $ (x-6) $, $ (x+2) $ и $ (x+3) $. В числителе остается $ (x+2) $, в знаменателе $ (x+3) $.
$ \frac{(x+2) \cdot x(x-3)}{(x+3)(x^2+2)(x-2)} $
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $ \frac{x(x+2)(x-3)}{(x+3)(x-2)(x^2+2)} $

4) Данное выражение является делением дробей. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю.
Исходное выражение: $ \frac{am^2-an^2}{m^2+2mn+n^2} : \frac{am^2-2amn+an^2}{3m+3n} $
Перевернем вторую дробь и заменим деление на умножение:
$ \frac{am^2-an^2}{m^2+2mn+n^2} \cdot \frac{3m+3n}{am^2-2amn+an^2} $
Теперь разложим на множители числители и знаменатели:
$ am^2-an^2 = a(m^2-n^2) = a(m-n)(m+n) $ (разность квадратов).
$ m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2 $ (квадрат суммы).
$ 3m+3n = 3(m+n) $ (вынесение общего множителя).
$ am^2-2amn+an^2 = a(m^2-2mn+n^2) = a(m-n)^2 $ (квадрат разности).
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{a(m-n)(m+n)}{(m+n)^2} \cdot \frac{3(m+n)}{a(m-n)^2} $
Запишем все под одной дробной чертой и проведем сокращение:
$ \frac{a(m-n)(m+n) \cdot 3(m+n)}{(m+n)^2 \cdot a(m-n)^2} = \frac{3a(m-n)(m+n)^2}{a(m-n)^2(m+n)^2} $
Сократим общие множители $ a $, $ (m+n)^2 $ и $ (m-n) $.
После сокращения в числителе остается $ 3 $, а в знаменателе $ m-n $.
Ответ: $ \frac{3}{m-n} $