Номер 84, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 84, страница 30.

Условие.

Выполнить действия (84—86).

84. 1) $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2-ab}$;

2) $\frac{5b-1}{3b^2-3} + \frac{b+2}{2b+2} - \frac{b+1}{b-1}$;

3) $\frac{6a}{9a^2-1} + \frac{3a+1}{3-9a} + \frac{3a-1}{6a+2}$;

4) $\frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{4n^2-m^2}$;

5) $x - \frac{xy}{x+y} - \frac{x^3}{x^2-y^2}$;

6) $a-2+\frac{4a}{2+a} - \frac{a^3+b}{a^2+2a}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное выражение: $ \frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2-ab} $.
Для начала, разложим на множители знаменатели, чтобы найти общий знаменатель.
Знаменатель третьей дроби: $ a^2-ab = a(a-b) $.
Таким образом, общий знаменатель для дробей будет $ a(a-b) $.
Приведем все дроби к этому знаменателю:
$ \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{a(a-b)} - \frac{a^2}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} $
Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, объединим их числители:
$ \frac{(a^2-b^2) - a^2 - b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{a(a-b)} $
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$ \frac{-2b^2}{a(a-b)} $
Ответ: $ \frac{-2b^2}{a(a-b)} $

2) Исходное выражение: $ \frac{5b-1}{3b^2-3} + \frac{b+2}{2b+2} - \frac{b+1}{b-1} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ 3b^2-3 = 3(b^2-1) = 3(b-1)(b+1) $
$ 2b+2 = 2(b+1) $
Наименьший общий знаменатель будет $ 6(b-1)(b+1) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2(5b-1)}{6(b-1)(b+1)} + \frac{3(b-1)(b+2)}{6(b-1)(b+1)} - \frac{6(b+1)(b+1)}{6(b-1)(b+1)} $
Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2(5b-1) + 3(b^2+b-2) - 6(b^2+2b+1)}{6(b-1)(b+1)} = \frac{10b-2 + 3b^2+3b-6 - 6b^2-12b-6}{6(b-1)(b+1)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(3b^2-6b^2) + (10b+3b-12b) + (-2-6-6)}{6(b-1)(b+1)} = \frac{-3b^2+b-14}{6(b-1)(b+1)} $
Ответ: $ \frac{-3b^2+b-14}{6(b^2-1)} $

3) Исходное выражение: $ \frac{6a}{9a^2-1} + \frac{3a+1}{3-9a} + \frac{3a-1}{6a+2} $.
Разложим знаменатели на множители и упростим знаки:
$ 9a^2-1 = (3a-1)(3a+1) $
$ 3-9a = 3(1-3a) = -3(3a-1) $
$ 6a+2 = 2(3a+1) $
Выражение примет вид:
$ \frac{6a}{(3a-1)(3a+1)} - \frac{3a+1}{3(3a-1)} + \frac{3a-1}{2(3a+1)} $
Общий знаменатель: $ 6(3a-1)(3a+1) $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{6 \cdot 6a}{6(3a-1)(3a+1)} - \frac{2(3a+1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} + \frac{3(3a-1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} $
Объединим числители и раскроем скобки:
$ \frac{36a - 2(9a^2+6a+1) + 3(9a^2-6a+1)}{6(3a-1)(3a+1)} = \frac{36a - 18a^2-12a-2 + 27a^2-18a+3}{6(3a-1)(3a+1)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{9a^2+6a+1}{6(3a-1)(3a+1)} $
Числитель является полным квадратом: $ 9a^2+6a+1 = (3a+1)^2 $.
$ \frac{(3a+1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a+1}{6(3a-1)} $
Ответ: $ \frac{3a+1}{6(3a-1)} $

4) Исходное выражение: $ \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{4n^2-m^2} $.
Преобразуем знаменатель последней дроби:
$ 4n^2-m^2 = -(m^2-4n^2) = -(m-2n)(m+2n) $.
Тогда выражение можно переписать:
$ \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{-(m-2n)(m+2n)} = \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} + \frac{m-n}{(m-2n)(m+2n)} $
Общий знаменатель: $ m(m-2n)(m+2n) $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{7(m-2n)(m+2n)}{m(m-2n)(m+2n)} - \frac{4m(m+2n)}{m(m-2n)(m+2n)} + \frac{m(m-n)}{m(m-2n)(m+2n)} $
Объединяем числители:
$ \frac{7(m^2-4n^2) - 4(m^2+2mn) + (m^2-mn)}{m(m-2n)(m+2n)} = \frac{7m^2-28n^2 - 4m^2-8mn + m^2-mn}{m(m-2n)(m+2n)} $
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{4m^2-9mn-28n^2}{m(m-2n)(m+2n)} $
Числитель можно разложить на множители: $ 4m^2-9mn-28n^2 = (4m+7n)(m-4n) $.
Ответ: $ \frac{(4m+7n)(m-4n)}{m(m-2n)(m+2n)} $

5) Исходное выражение: $ x - \frac{xy}{x+y} - \frac{x^3}{x^2-y^2} $.
Представим $ x $ как дробь $ \frac{x}{1} $ и разложим знаменатель последней дроби: $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.
Общий знаменатель будет $ (x-y)(x+y) $.
Приведем все члены к общему знаменателю:
$ \frac{x(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{xy(x-y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{x^3}{(x-y)(x+y)} $
Объединим дроби:
$ \frac{x(x^2-y^2) - xy(x-y) - x^3}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^3-xy^2 - (x^2y-xy^2) - x^3}{(x-y)(x+y)} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{x^3-xy^2 - x^2y + xy^2 - x^3}{x^2-y^2} = \frac{-x^2y}{x^2-y^2} $
Ответ: $ \frac{-x^2y}{x^2-y^2} $

6) Исходное выражение: $ a - 2 + \frac{4a}{2+a} - \frac{a^3+b}{a^2+2a} $.
Представим $ a-2 $ как дробь $ \frac{a-2}{1} $ и разложим знаменатель последней дроби: $ a^2+2a=a(a+2) $.
Общий знаменатель: $ a(a+2) $.
Приведем все члены к общему знаменателю:
$ \frac{(a-2)a(a+2)}{a(a+2)} + \frac{4a \cdot a}{a(a+2)} - \frac{a^3+b}{a(a+2)} $
Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a(a^2-4) + 4a^2 - (a^3+b)}{a(a+2)} = \frac{a^3-4a + 4a^2 - a^3-b}{a(a+2)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{4a^2-4a-b}{a(a+2)} $
Ответ: $ \frac{4a^2-4a-b}{a^2+2a} $