Номер 77, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 77, страница 29.

Условие.

77. Выполнить действия:

1) $(\frac{c - d}{c^2 + dc} - \frac{c}{d^2 + cd}) : (\frac{d^2}{c^3 - cd^2} + \frac{1}{c + d});$

2) $(\frac{2n}{k + 2n} - \frac{4n^2}{k^2 + 4nk + 4n^2}) : (\frac{2n}{k^2 - 4n^2} + \frac{1}{2n - k});$

3) $(\frac{2q}{2q + m} - \frac{4q^2}{4q^2 + 4mq + m^2}) : (\frac{2q}{4q^2 - m^2} + \frac{1}{m - 2q}).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Исходное выражение: $(\frac{c-d}{c^2+dc} - \frac{c}{d^2+cd}) : (\frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d})$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{c-d}{c^2+dc} - \frac{c}{d^2+cd} = \frac{c-d}{c(c+d)} - \frac{c}{d(c+d)} = \frac{d(c-d) - c \cdot c}{cd(c+d)} = \frac{cd-d^2-c^2}{cd(c+d)}$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Также разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов, и приведем к общему знаменателю:

$\frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d} = \frac{d^2}{c(c^2-d^2)} + \frac{1}{c+d} = \frac{d^2}{c(c-d)(c+d)} + \frac{c(c-d)}{c(c-d)(c+d)} = \frac{d^2+c^2-cd}{c(c-d)(c+d)}$

Теперь выполним деление. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{cd-d^2-c^2}{cd(c+d)} : \frac{d^2+c^2-cd}{c(c-d)(c+d)} = \frac{-(c^2-cd+d^2)}{cd(c+d)} \cdot \frac{c(c-d)(c+d)}{c^2-cd+d^2}$

Сократим одинаковые множители $(c^2-cd+d^2)$, $c$ и $(c+d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-1}{d} \cdot \frac{c-d}{1} = \frac{-(c-d)}{d} = \frac{d-c}{d}$

Ответ: $\frac{d-c}{d}$

2)

Исходное выражение: $(\frac{2n}{k+2n} - \frac{4n^2}{k^2+4nk+4n^2}) : (\frac{2n}{k^2-4n^2} + \frac{1}{2n-k})$

Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель второй дроби является полным квадратом $(k+2n)^2$:

$\frac{2n}{k+2n} - \frac{4n^2}{(k+2n)^2} = \frac{2n(k+2n)}{(k+2n)^2} - \frac{4n^2}{(k+2n)^2} = \frac{2nk+4n^2-4n^2}{(k+2n)^2} = \frac{2nk}{(k+2n)^2}$

Упростим выражение во второй скобке. Знаменатель первой дроби — это разность квадратов $k^2-4n^2=(k-2n)(k+2n)$. Знаменатель второй дроби $2n-k = -(k-2n)$:

$\frac{2n}{(k-2n)(k+2n)} + \frac{1}{-(k-2n)} = \frac{2n}{(k-2n)(k+2n)} - \frac{1}{k-2n} = \frac{2n-(k+2n)}{(k-2n)(k+2n)} = \frac{2n-k-2n}{(k-2n)(k+2n)} = \frac{-k}{(k-2n)(k+2n)}$

Выполним деление:

$\frac{2nk}{(k+2n)^2} : \frac{-k}{(k-2n)(k+2n)} = \frac{2nk}{(k+2n)^2} \cdot \frac{(k-2n)(k+2n)}{-k}$

Сократим одинаковые множители $k$ и $(k+2n)$:

$\frac{2n}{k+2n} \cdot \frac{k-2n}{-1} = \frac{2n(k-2n)}{-(k+2n)} = \frac{-2n(k-2n)}{k+2n} = \frac{2n(2n-k)}{k+2n}$

Ответ: $\frac{2n(2n-k)}{k+2n}$

3)

Исходное выражение: $(\frac{2q}{2q+m} - \frac{4q^2}{4q^2+4mq+m^2}) : (\frac{2q}{4q^2-m^2} + \frac{1}{m-2q})$

Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель второй дроби — это полный квадрат $(2q+m)^2$:

$\frac{2q}{2q+m} - \frac{4q^2}{(2q+m)^2} = \frac{2q(2q+m)}{(2q+m)^2} - \frac{4q^2}{(2q+m)^2} = \frac{4q^2+2mq-4q^2}{(2q+m)^2} = \frac{2mq}{(2q+m)^2}$

Упростим выражение во второй скобке. Знаменатель первой дроби — это разность квадратов $4q^2-m^2=(2q-m)(2q+m)$. Знаменатель второй дроби $m-2q = -(2q-m)$:

$\frac{2q}{(2q-m)(2q+m)} + \frac{1}{-(2q-m)} = \frac{2q}{(2q-m)(2q+m)} - \frac{1}{2q-m} = \frac{2q-(2q+m)}{(2q-m)(2q+m)} = \frac{2q-2q-m}{(2q-m)(2q+m)} = \frac{-m}{(2q-m)(2q+m)}$

Выполним деление:

$\frac{2mq}{(2q+m)^2} : \frac{-m}{(2q-m)(2q+m)} = \frac{2mq}{(2q+m)^2} \cdot \frac{(2q-m)(2q+m)}{-m}$

Сократим одинаковые множители $m$ и $(2q+m)$:

$\frac{2q}{2q+m} \cdot \frac{2q-m}{-1} = \frac{2q(2q-m)}{-(2q+m)} = \frac{-2q(2q-m)}{2q+m} = \frac{2q(m-2q)}{2q+m}$

Ответ: $\frac{2q(m-2q)}{2q+m}$