Номер 71, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 71, страница 28.

Условие.

71. 1) $(1 - \frac{a-b}{a+b}) : (2 + \frac{2b}{a-b})$,

2) $(1 + \frac{a+b}{a-b}) (2 - \frac{2a}{a+b})$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для решения данного примера выполним действия по порядку. Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

Шаг 1: Упрощение первого выражения в скобках.

Приведем $1$ к общему знаменателю $(a+b)$:
$1 - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b) - (a-b)}{a+b}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a+b-a+b}{a+b} = \frac{2b}{a+b}$

Шаг 2: Упрощение второго выражения в скобках.

Приведем $2$ к общему знаменателю $(a-b)$:
$2 + \frac{2b}{a-b} = \frac{2(a-b)}{a-b} + \frac{2b}{a-b} = \frac{2a-2b+2b}{a-b} = \frac{2a}{a-b}$

Шаг 3: Выполнение деления.

Теперь разделим результат первого шага на результат второго шага. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{2b}{a+b} : \frac{2a}{a-b} = \frac{2b}{a+b} \cdot \frac{a-b}{2a}$
Сократим общий множитель $2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{b(a-b)}{a(a+b)}$

Ответ: $\frac{b(a-b)}{a(a+b)}$

2)

Для решения этого примера также сначала упростим выражения в скобках, а затем перемножим их.

Шаг 1: Упрощение первого выражения в скобках.

Приведем $1$ к общему знаменателю $(a-b)$:
$1 + \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} + \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a-b) + (a+b)}{a-b} = \frac{a-b+a+b}{a-b} = \frac{2a}{a-b}$

Шаг 2: Упрощение второго выражения в скобках.

Приведем $2$ к общему знаменателю $(a+b)$:
$2 - \frac{2a}{a+b} = \frac{2(a+b)}{a+b} - \frac{2a}{a+b} = \frac{2a+2b-2a}{a+b} = \frac{2b}{a+b}$

Шаг 3: Выполнение умножения.

Теперь перемножим результаты, полученные на первых двух шагах:
$\frac{2a}{a-b} \cdot \frac{2b}{a+b} = \frac{2a \cdot 2b}{(a-b)(a+b)}$
В знаменателе используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
$\frac{4ab}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{4ab}{a^2-b^2}$