Номер 74, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 74, страница 28.

Условие.

74. 1) $\frac{a^2 + 2a + 1}{b^2 - 4} \cdot \frac{b + 2}{a + 1} \cdot \frac{a}{b + 2}$

2) $\frac{a^2 - 2a + 1}{b - 2} : \frac{a^2 - 1}{b^2 - 4} : \frac{2a - b}{a + 1}$

3) $\frac{m - 1}{m + 1} - \frac{m(1 - m^2)}{n} \cdot \frac{n}{(m + 1)^2}$

4) $\frac{2n + 4}{2 - n} - \frac{mn + n^2}{4 - 4n + n^2} : \frac{m + n}{4 - n^2}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Сначала выполним умножение, а затем вычитание. Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\frac{a^2 + 2a + 1}{b^2 - 4} \cdot \frac{b + 2}{a + 1} - \frac{a}{b + 2} = \frac{(a+1)^2}{(b-2)(b+2)} \cdot \frac{b+2}{a+1} - \frac{a}{b+2}$

Сократим множители в первом действии (умножении):

$\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{(b-2)\cancel{(b+2)}} \cdot \frac{\cancel{b+2}}{\cancel{a+1}} = \frac{a+1}{b-2}$

Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат:

$\frac{a+1}{b-2} - \frac{a}{b+2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-2)(b+2) = b^2-4$:

$\frac{(a+1)(b+2)}{(b-2)(b+2)} - \frac{a(b-2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{(a+1)(b+2) - a(b-2)}{b^2-4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{ab+2a+b+2 - (ab-2a)}{b^2-4} = \frac{ab+2a+b+2 - ab+2a}{b^2-4} = \frac{4a+b+2}{b^2-4}$

Ответ: $\frac{4a+b+2}{b^2-4}$.

2)

Сначала выполним деление, а затем вычитание. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь. Разложим выражения на множители по формулам квадрата разности и разности квадратов.

$\frac{a^2 - 2a + 1}{b - 2} : \frac{a^2 - 1}{b^2 - 4} - \frac{2a - b}{a + 1} = \frac{a^2 - 2a + 1}{b - 2} \cdot \frac{b^2 - 4}{a^2 - 1} - \frac{2a - b}{a + 1} = \frac{(a-1)^2}{b - 2} \cdot \frac{(b-2)(b+2)}{(a-1)(a+1)} - \frac{2a - b}{a + 1}$

Сократим множители в произведении:

$\frac{\cancel{(a-1)}(a-1)}{\cancel{b-2}} \cdot \frac{\cancel{(b-2)}(b+2)}{\cancel{(a-1)}(a+1)} = \frac{(a-1)(b+2)}{a+1}$

Теперь выполним вычитание. Знаменатели у дробей одинаковые, поэтому вычитаем числители:

$\frac{(a-1)(b+2)}{a+1} - \frac{2a - b}{a + 1} = \frac{(a-1)(b+2) - (2a - b)}{a+1}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{ab+2a-b-2 - 2a+b}{a+1} = \frac{ab-2}{a+1}$

Ответ: $\frac{ab-2}{a+1}$.

3)

Сначала выполним умножение, а затем вычитание.

$\frac{m - 1}{m + 1} - \frac{m(1 - m^2)}{n} \cdot \frac{n}{(m + 1)^2}$

Разложим на множители выражение $1-m^2$ по формуле разности квадратов: $1-m^2 = (1-m)(1+m)$.

$\frac{m(1-m)(1+m)}{n} \cdot \frac{n}{(m + 1)^2}$

Сократим дроби в произведении, учитывая, что $1+m = m+1$:

$\frac{m(1-m)\cancel{(1+m)}}{\cancel{n}} \cdot \frac{\cancel{n}}{(m+1)^{\cancel{2}}} = \frac{m(1-m)}{m+1}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{m-1}{m+1} - \frac{m(1-m)}{m+1}$

Знаменатели одинаковые, вычитаем числители:

$\frac{m-1 - m(1-m)}{m+1} = \frac{m-1 - (m-m^2)}{m+1} = \frac{m-1-m+m^2}{m+1} = \frac{m^2-1}{m+1}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:

$\frac{(m-1)(m+1)}{m+1} = m-1$

Ответ: $m-1$.

4)

Сначала выполним деление, а затем вычитание. Заменим деление на умножение и разложим выражения на множители.

$\frac{2n + 4}{2 - n} - \frac{mn + n^2}{4 - 4n + n^2} : \frac{m + n}{4 - n^2} = \frac{2n + 4}{2 - n} - \frac{n(m+n)}{(2-n)^2} \cdot \frac{(2-n)(2+n)}{m+n}$

Сократим множители в произведении:

$\frac{n\cancel{(m+n)}}{(2-n)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(2-n)}(2+n)}{\cancel{m+n}} = \frac{n(2+n)}{2-n}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{2n+4}{2-n} - \frac{n(2+n)}{2-n}$

Знаменатели одинаковые, вычитаем числители:

$\frac{2n+4 - n(2+n)}{2-n} = \frac{2(n+2) - n(n+2)}{2-n}$

Вынесем общий множитель $(n+2)$ в числителе:

$\frac{(n+2)(2-n)}{2-n}$

Сократим дробь на $(2-n)$:

$n+2$

Ответ: $n+2$.