Номер 73, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 73, страница 28.

Условие.

73. 1) $\frac{a^2 + ab}{a^2 + b^2} \cdot \left(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}\right);$

2) $\frac{ab - b^2}{a^2 + b^2} \cdot \left(\frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b}\right);$

3) $\left(\frac{c + d}{c} - \frac{2c}{c - d}\right) \cdot \frac{d - c}{c^2 + d^2};$

4) $\left(\frac{2c}{c + d} + \frac{d - c}{c}\right) \cdot \frac{c + d}{c^2 + d^2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{a^2 + ab}{a^2 + b^2} \cdot (\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b})$
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - (a^2-ab)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+ab-a^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$.
Теперь умножим результат на первую дробь:
$\frac{a^2 + ab}{a^2 + b^2} \cdot \frac{2ab}{a^2 - b^2}$.
Разложим на множители числитель первой дроби $a^2 + ab = a(a+b)$ и знаменатель второй дроби $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a(a+b)}{a^2 + b^2} \cdot \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$:
$\frac{a}{a^2 + b^2} \cdot \frac{2ab}{a-b} = \frac{a \cdot 2ab}{(a^2 + b^2)(a-b)} = \frac{2a^2b}{(a^2+b^2)(a-b)}$.
Ответ: $\frac{2a^2b}{(a^2+b^2)(a-b)}$.

2) $\frac{ab - b^2}{a^2 + b^2} \cdot (\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b})$
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.
Теперь умножим результат на первую дробь:
$\frac{ab - b^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.
Сократим общий множитель $(a^2+b^2)$:
$\frac{ab - b^2}{a^2-b^2}$.
Разложим на множители числитель $ab-b^2 = b(a-b)$ и знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{b}{a+b}$.
Ответ: $\frac{b}{a+b}$.

3) $(\frac{c+d}{c} - \frac{2c}{c-d}) \cdot \frac{d-c}{c^2+d^2}$
Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $c(c-d)$.
$\frac{(c+d)(c-d) - 2c \cdot c}{c(c-d)} = \frac{c^2-d^2-2c^2}{c(c-d)} = \frac{-c^2-d^2}{c(c-d)} = -\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$.
Теперь умножим результат на вторую дробь. Заметим, что $d-c = -(c-d)$.
$(-\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}) \cdot (\frac{-(c-d)}{c^2+d^2})$.
Произведение двух отрицательных выражений положительно:
$\frac{c^2+d^2}{c(c-d)} \cdot \frac{c-d}{c^2+d^2}$.
Сократим общие множители $(c^2+d^2)$ и $(c-d)$:
$\frac{1}{c}$.
Ответ: $\frac{1}{c}$.

4) $(\frac{2c}{c+d} + \frac{d-c}{c}) \cdot \frac{c+d}{c^2+d^2}$
Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $c(c+d)$.
$\frac{2c \cdot c + (d-c)(c+d)}{c(c+d)} = \frac{2c^2 + (d^2-c^2)}{c(c+d)} = \frac{2c^2+d^2-c^2}{c(c+d)} = \frac{c^2+d^2}{c(c+d)}$.
Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{c^2+d^2}{c(c+d)} \cdot \frac{c+d}{c^2+d^2}$.
Сократим общие множители $(c^2+d^2)$ и $(c+d)$:
$\frac{1}{c}$.
Ответ: $\frac{1}{c}$.