Номер 70, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 70, страница 28.

Условие.

70. 1) $ (1 + \frac{1}{a}) : (1 - \frac{1}{a}) $

2) $ (a + \frac{a}{b})(a - \frac{a}{b}) $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы упростить выражение $\left(1+\frac{1}{a}\right) : \left(1-\frac{1}{a}\right)$, сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем слагаемые к общему знаменателю $a$.

Выражение в первой скобке:

$1+\frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$

Выражение во второй скобке:

$1-\frac{1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\frac{a+1}{a} : \frac{a-1}{a}$

Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{a+1}{a} \cdot \frac{a}{a-1}$

Сокращаем общий множитель $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne 0$):

$\frac{a+1}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$

Ответ: $\frac{a+1}{a-1}$

2) Чтобы упростить выражение $\left(a+\frac{a}{b}\right)\left(a-\frac{a}{b}\right)$, можно заметить, что оно представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Это соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x=a$ и $y=\frac{a}{b}$. Применим формулу:

$\left(a+\frac{a}{b}\right)\left(a-\frac{a}{b}\right) = a^2 - \left(\frac{a}{b}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{b^2}$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю $b^2$, чтобы представить его в виде одной дроби:

$\frac{a^2 \cdot b^2}{b^2} - \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2b^2 - a^2}{b^2}$

Вынесем общий множитель $a^2$ в числителе за скобки:

$\frac{a^2(b^2-1)}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2(b^2-1)}{b^2}$