Номер 72, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 72, страница 28.

Условие.

72. 1) $(\frac{6}{a-b} - \frac{5}{a+b}) \cdot \frac{a-b}{a+11b}$;

2) $(\frac{3}{c} + \frac{3}{c+d}) \cdot \frac{c}{18(2c+d)}$;

3) $\frac{y-1}{y} : (\frac{y^2+1}{y^2+2y} - \frac{2}{y+2})$;

4) $\frac{m-2}{m-5} : (\frac{m^2+24}{m^2-25} - \frac{4}{m-5})$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\left(\frac{6}{a-b} - \frac{5}{a+b}\right) \cdot \frac{a-b}{a+11b} = \frac{6(a+b) - 5(a-b)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{a+11b}$

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

$\frac{6a+6b-5a+5b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{a+11b} = \frac{a+11b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{a+11b}$

Теперь выполним умножение и сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях ($(a+11b)$ и $(a-b)$):

$\frac{(a+11b)(a-b)}{(a-b)(a+b)(a+11b)} = \frac{1}{a+b}$

Ответ: $\frac{1}{a+b}$

2) Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $c(c+d)$:

$\left(\frac{3}{c} + \frac{3}{c+d}\right) \cdot \frac{c}{18(2c+d)} = \frac{3(c+d) + 3c}{c(c+d)} \cdot \frac{c}{18(2c+d)}$

Раскроем скобки и упростим числитель первой дроби:

$\frac{3c+3d+3c}{c(c+d)} \cdot \frac{c}{18(2c+d)} = \frac{6c+3d}{c(c+d)} \cdot \frac{c}{18(2c+d)}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе первой дроби:

$\frac{3(2c+d)}{c(c+d)} \cdot \frac{c}{18(2c+d)}$

Выполним умножение и сократим общие множители ($c$, $(2c+d)$, а также 3 и 18):

$\frac{3(2c+d)c}{c(c+d)18(2c+d)} = \frac{3}{18(c+d)} = \frac{1}{6(c+d)}$

Ответ: $\frac{1}{6(c+d)}$

3) Упростим выражение в скобках. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби: $y^2+2y = y(y+2)$.

$\frac{y^2+1}{y(y+2)} - \frac{2}{y+2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y(y+2)$:

$\frac{y^2+1}{y(y+2)} - \frac{2y}{y(y+2)} = \frac{y^2+1-2y}{y(y+2)} = \frac{y^2-2y+1}{y(y+2)}$

Числитель является полным квадратом: $y^2-2y+1 = (y-1)^2$. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(y-1)^2}{y(y+2)}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{y-1}{y} : \frac{(y-1)^2}{y(y+2)} = \frac{y-1}{y} \cdot \frac{y(y+2)}{(y-1)^2}$

Сократим общие множители $y$ и $(y-1)$:

$\frac{(y-1)y(y+2)}{y(y-1)^2} = \frac{y+2}{y-1}$

Ответ: $\frac{y+2}{y-1}$

4) Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $m^2-25 = (m-5)(m+5)$.

$\frac{m^2+24}{(m-5)(m+5)} - \frac{4}{m-5}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(m-5)(m+5)$:

$\frac{m^2+24}{(m-5)(m+5)} - \frac{4(m+5)}{(m-5)(m+5)} = \frac{m^2+24 - 4(m+5)}{(m-5)(m+5)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{m^2+24-4m-20}{(m-5)(m+5)} = \frac{m^2-4m+4}{(m-5)(m+5)}$

Числитель является полным квадратом: $m^2-4m+4 = (m-2)^2$. Выражение в скобках равно:

$\frac{(m-2)^2}{(m-5)(m+5)}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{m-2}{m-5} : \frac{(m-2)^2}{(m-5)(m+5)} = \frac{m-2}{m-5} \cdot \frac{(m-5)(m+5)}{(m-2)^2}$

Сократим общие множители $(m-5)$ и $(m-2)$:

$\frac{(m-2)(m-5)(m+5)}{(m-5)(m-2)^2} = \frac{m+5}{m-2}$

Ответ: $\frac{m+5}{m-2}$