Номер 2, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 27.

Условие.

2. Разложить на множители:

1) $15x^8y^3 - 20x^7y^5$;

2) $-36a^5bc^2 + 48b^2c^3$;

3) $81x^2y^2 - 36z^2$;

4) $100a^4 - 64b^6$;

5) $27x^6 + 8y^9$;

6) $8a^{12} - 125b^3$;

7) $m^4 - 125m$;

8) $27n^4 + n$;

9) $4x^2 - 32xy + 64y^2$.

10) $6b + 8ab - 4a - 3$;

11) $3xy - 2y - 12x + 8.

Решение 1.

Решение 4.

1) $15x^8y^3 - 20x^7y^5$

Для разложения на множители вынесем общий множитель за скобки. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и для каждой переменной в наименьшей степени.

НОД для чисел 15 и 20 равен 5.

Наименьшая степень для переменной $x$ это $x^7$.

Наименьшая степень для переменной $y$ это $y^3$.

Таким образом, общий множитель, который мы выносим за скобки, это $5x^7y^3$.

$15x^8y^3 - 20x^7y^5 = 5x^7y^3(3x^{8-7}y^{3-3}) - 5x^7y^3(4x^{7-7}y^{5-3}) = 5x^7y^3(3x - 4y^2)$.

Ответ: $5x^7y^3(3x - 4y^2)$

2) $-36a^5bc^2 + 48b^2c^3$

Вынесем за скобки общий множитель. НОД для 36 и 48 равен 12. Общие переменные - $b$ и $c$. Выносим их в наименьших степенях: $b^1$ и $c^2$.

Вынесем за скобки $-12bc^2$, чтобы первый член в скобках был с положительным знаком.

$-36a^5bc^2 + 48b^2c^3 = -12bc^2(3a^5) - 12bc^2(-4b^{2-1}c^{3-2}) = -12bc^2(3a^5 - 4bc)$.

Ответ: $-12bc^2(3a^5 - 4bc)$

3) $81x^2y^2 - 36z^2$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. НОД(81, 36) = 9.

$81x^2y^2 - 36z^2 = 9(9x^2y^2 - 4z^2)$.

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, так как $9x^2y^2 = (3xy)^2$ и $4z^2 = (2z)^2$.

Применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

$9((3xy)^2 - (2z)^2) = 9(3xy - 2z)(3xy + 2z)$.

Ответ: $9(3xy - 2z)(3xy + 2z)$

4) $100a^4 - 64b^6$

Вынесем за скобки общий множитель. НОД(100, 64) = 4.

$100a^4 - 64b^6 = 4(25a^4 - 16b^6)$.

Выражение в скобках является разностью квадратов. Представим его в виде $A^2 - B^2$:

$25a^4 = (5a^2)^2$ и $16b^6 = (4b^3)^2$.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$4((5a^2)^2 - (4b^3)^2) = 4(5a^2 - 4b^3)(5a^2 + 4b^3)$.

Ответ: $4(5a^2 - 4b^3)(5a^2 + 4b^3)$

5) $27x^6 + 8y^9$

Это выражение является суммой кубов. Представим каждый член в виде куба:

$27x^6 = (3x^2)^3$

$8y^9 = (2y^3)^3$

Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Здесь $A = 3x^2$ и $B = 2y^3$.

$(3x^2 + 2y^3)((3x^2)^2 - (3x^2)(2y^3) + (2y^3)^2) = (3x^2 + 2y^3)(9x^4 - 6x^2y^3 + 4y^6)$.

Ответ: $(3x^2 + 2y^3)(9x^4 - 6x^2y^3 + 4y^6)$

6) $8a^{12} - 125b^3$

Это выражение является разностью кубов. Представим каждый член в виде куба:

$8a^{12} = (2a^4)^3$

$125b^3 = (5b)^3$

Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.

Здесь $A = 2a^4$ и $B = 5b$.

$(2a^4 - 5b)((2a^4)^2 + (2a^4)(5b) + (5b)^2) = (2a^4 - 5b)(4a^8 + 10a^4b + 25b^2)$.

Ответ: $(2a^4 - 5b)(4a^8 + 10a^4b + 25b^2)$

7) $m^4 - 125m$

Сначала вынесем общий множитель $m$ за скобки.

$m(m^3 - 125)$.

Выражение в скобках является разностью кубов: $m^3 - 5^3$.

Применим формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=m$, $B=5$.

$m(m-5)(m^2 + m \cdot 5 + 5^2) = m(m-5)(m^2 + 5m + 25)$.

Ответ: $m(m-5)(m^2 + 5m + 25)$

8) $27n^4 + n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки.

$n(27n^3 + 1)$.

Выражение в скобках является суммой кубов: $(3n)^3 + 1^3$.

Применим формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A=3n$, $B=1$.

$n(3n+1)((3n)^2 - 3n \cdot 1 + 1^2) = n(3n+1)(9n^2 - 3n + 1)$.

Ответ: $n(3n+1)(9n^2 - 3n + 1)$

9) $4x^2 - 32xy + 64y^2$

Сначала вынесем общий числовой множитель. НОД(4, 32, 64) = 4.

$4(x^2 - 8xy + 16y^2)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности. Проверим это, используя формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Пусть $A = x$ и $B = 4y$. Тогда $A^2 = x^2$ и $B^2 = (4y)^2 = 16y^2$.

Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$, что соответствует среднему члену (со знаком минус).

Следовательно, $x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$.

Полное разложение: $4(x-4y)^2$.

Ответ: $4(x-4y)^2$

10) $6b + 8ab - 4a - 3$

Это многочлен из четырех членов, который можно разложить на множители методом группировки. Перегруппируем члены для удобства.

$(8ab - 4a) + (6b - 3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4a(2b - 1) + 3(2b - 1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(2b - 1)$ за скобки:

$(4a + 3)(2b - 1)$.

Ответ: $(4a+3)(2b-1)$

11) $3xy - 2y - 12x + 8$

Применим метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый.

$(3xy - 2y) + (-12x + 8)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из второй группы вынесем -4, чтобы получить одинаковое выражение в скобках.

$y(3x - 2) - 4(3x - 2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(3x - 2)$ за скобки.

$(y - 4)(3x - 2)$.

Ответ: $(y-4)(3x-2)$