Номер 66, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 66, страница 24.

Условие.

66. Решить уравнение относительно $x$, если $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq b$, $a \neq -b$:

1) $\frac{a+b}{x} = \frac{a^2-b^2}{a}$;

2) $\frac{x}{a^2-b^2} = \frac{ab}{a^2-ab}$;

3) $\frac{a^2-2ab+b^2}{b} = \frac{a^2-b^2}{x}$;

4) $\frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3} = \frac{x}{a^2+2ab+b^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное уравнение: $ \frac{a+b}{x} = \frac{a^2-b^2}{a} $. Данное уравнение является пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$ x \cdot (a^2-b^2) = a \cdot (a+b) $
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $ (a^2-b^2) $.
$ x = \frac{a(a+b)}{a^2-b^2} $
Используем формулу разности квадратов для знаменателя: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ x = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} $
Согласно условию, $ a \neq -b $, что означает $ a+b \neq 0 $. Следовательно, мы можем сократить дробь на $ (a+b) $.
$ x = \frac{a}{a-b} $
Проверка ограничений: в исходном уравнении $x$ и $a$ находятся в знаменателях. По условию $a \neq 0$. Полученное выражение для $x$ не равно нулю, так как $a \neq 0$. Знаменатель $a-b \neq 0$ по условию $a \neq b$.
Ответ: $x = \frac{a}{a-b}$

2) Исходное уравнение: $ \frac{x}{a^2-b^2} = \frac{ab}{a^2-ab} $.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $ (a^2-b^2) $.
$ x = \frac{ab(a^2-b^2)}{a^2-ab} $
Разложим на множители числитель и знаменатель правой части.
Числитель: $ ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b) $.
Знаменатель: $ a^2-ab = a(a-b) $.
Подставим разложенные выражения:
$ x = \frac{ab(a-b)(a+b)}{a(a-b)} $
По условию $ a \neq 0 $ и $ a \neq b $ (т.е. $ a-b \neq 0 $), мы можем сократить общие множители $a$ и $ (a-b) $.
$ x = b(a+b) $
Проверка ограничений: знаменатели в исходном уравнении $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ и $ a^2-ab = a(a-b) $ не равны нулю, так как $a \neq b$, $a \neq -b$ и $a \neq 0$.
Ответ: $x = b(a+b)$

3) Исходное уравнение: $ \frac{a^2-2ab+b^2}{b} = \frac{a^2-b^2}{x} $.
Это пропорция. Применяя основное свойство, получаем:
$ x \cdot (a^2-2ab+b^2) = b \cdot (a^2-b^2) $
Выразим $x$:
$ x = \frac{b(a^2-b^2)}{a^2-2ab+b^2} $
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $ b(a^2-b^2) = b(a-b)(a+b) $.
Знаменатель: $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $.
Подставим разложенные выражения:
$ x = \frac{b(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} $
По условию $ a \neq b $, значит $ a-b \neq 0 $. Сокращаем дробь на $ (a-b) $.
$ x = \frac{b(a+b)}{a-b} $
Проверка ограничений: в исходном уравнении в знаменателях стоят $b$ и $x$. По условию $b \neq 0$. Полученное выражение для $x$ не равно нулю, так как $b \neq 0$ и $a+b \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{b(a+b)}{a-b}$

4) Исходное уравнение: $ \frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3} = \frac{x}{a^2+2ab+b^2} $.
Выразим $x$ из пропорции:
$ x = \frac{(ab^2-b^3)(a^2+2ab+b^2)}{a^3b-ab^3} $
Упростим выражение, разложив его части на множители.
$ ab^2-b^3 = b^2(a-b) $
$ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $
$ a^3b-ab^3 = ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b) $
Подставим разложенные выражения в формулу для $x$:
$ x = \frac{b^2(a-b)(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)} $
Согласно условиям $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$, все множители $a, b, (a-b), (a+b)$ не равны нулю. Следовательно, мы можем сократить дробь на $a, b, (a-b)$ и $(a+b)$.
$ x = \frac{b \cdot (a+b)}{a} $
Проверка ограничений: знаменатели в исходном уравнении $ a^3b-ab^3 = ab(a-b)(a+b) $ и $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $ не равны нулю в силу заданных условий.
Ответ: $x = \frac{b(a+b)}{a}$