Номер 62, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 62, страница 24.

Условие.

62. Найти значение выражения:

1) $ \frac{a^2 - b^2}{3a + 3b} \cdot \frac{3a^2}{5b - 5a} $ при $a=2,5;$

2) $ \frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} : \frac{a + 5}{9 - a^2} $ при $a=1;$

3) $ \frac{5x^2 - 5y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3x^2 + 3y^2}{10y - 10x} $ при $x=\frac{5}{6}$, $y=\frac{2}{3};$

4) $ \frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} : \frac{6m - 6n}{n + p} $ при $m=-9$, $n=-3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала упростим выражение $\frac{a^2 - b^2}{3a + 3b} \cdot \frac{3a^2}{5b - 5a}$.

Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$3a + 3b = 3(a + b)$
$5b - 5a = 5(b - a) = -5(a - b)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители:
$\frac{(a - b)(a + b)}{3(a + b)} \cdot \frac{3a^2}{-5(a - b)} = \frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a + b)}}{\cancel{3}\cancel{(a + b)}} \cdot \frac{\cancel{3}a^2}{-5\cancel{(a - b)}} = \frac{a^2}{-5} = -\frac{a^2}{5}$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $a = 2,5$:
$-\frac{(2,5)^2}{5} = -\frac{6,25}{5} = -1,25$.

Ответ: -1,25

2) Рассмотрим выражение $\frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} : \frac{a + 5}{9 - a^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} \cdot \frac{9 - a^2}{a + 5}$.

Разложим на множители числители и знаменатели:
$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$
$a^2 - 3a = a(a - 3)$
$9 - a^2 = (3 - a)(3 + a) = -(a - 3)(a + 3)$

Подставим и сократим общие множители:
$\frac{(a - 5)(a + 5)}{a(a - 3)} \cdot \frac{-(a - 3)(a + 3)}{a + 5} = \frac{(a - 5)\cancel{(a + 5)}}{a\cancel{(a - 3)}} \cdot \frac{-\cancel{(a - 3)}(a + 3)}{\cancel{(a + 5)}} = \frac{-(a - 5)(a + 3)}{a}$.

Подставим значение $a = 1$:
$\frac{-(1 - 5)(1 + 3)}{1} = \frac{-(-4)(4)}{1} = 16$.

Ответ: 16

3) Упростим выражение $\frac{5x^2 - 5y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3x^2 + 3y^2}{10y - 10x}$.

Разложим на множители числители и знаменатели:
$5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2) = 5(x - y)(x + y)$
$3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)$
$10y - 10x = 10(y - x) = -10(x - y)$

Подставим в исходное выражение и выполним сокращение:
$\frac{5(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3(x^2 + y^2)}{-10(x - y)} = \frac{\cancel{5}\cancel{(x - y)}(x + y)}{\cancel{x^2 + y^2}} \cdot \frac{3\cancel{(x^2 + y^2)}}{-\cancel{10}_2\cancel{(x - y)}} = -\frac{3(x + y)}{2}$.

Теперь подставим заданные значения $x = \frac{5}{6}$ и $y = \frac{2}{3}$.
Сначала найдем сумму $x + y$, приведя дроби к общему знаменателю:
$x + y = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденную сумму в упрощенное выражение:
$-\frac{3}{2} \cdot (x + y) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{4}$.

Ответ: $-\frac{9}{4}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} : \frac{6m - 6n}{n + p}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} \cdot \frac{n + p}{6m - 6n}$.

Разложим на множители:
$3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m)$
$n^2 + np = n(n + p)$
$6m - 6n = 6(m - n) = -6(n - m)$

Подставим и сократим:
$\frac{3(n - m)(n + m)}{n(n + p)} \cdot \frac{n + p}{-6(n - m)} = \frac{\cancel{3}\cancel{(n - m)}(n + m)}{n\cancel{(n + p)}} \cdot \frac{\cancel{n + p}}{-\cancel{6}_2\cancel{(n - m)}} = \frac{n + m}{-2n} = -\frac{n + m}{2n}$.

Подставим значения $m = -9$ и $n = -3$:
$-\frac{-3 + (-9)}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -(2) = -2$.

Ответ: -2