Номер 59, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 59, страница 23.

Условие.

59. 1) $\frac{8a^2b}{9c} \cdot \frac{36c^3}{5a^3b}$;

2) $\frac{7b^4}{9c^5y} : \frac{35b^4c}{18c^4y^2}$;

3) $\frac{16x^2y}{7z} : \frac{10xy^3}{21z^2}$;

4) $\frac{46d^3c}{15a} : \frac{23dc^2}{5a^3}$;

5) $\frac{18m^3n^5}{7k} : (9n^2)$;

6) $24k^2 : \frac{12m^4k^2}{11p^3n}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно: $ \frac{8a^2b}{9c} \cdot \frac{36c^3}{5a^3b} = \frac{8a^2b \cdot 36c^3}{9c \cdot 5a^3b} $. Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сначала сократим числовые коэффициенты: $ \frac{36}{9} = 4 $. В результате получаем $ \frac{8 \cdot 4}{5} = \frac{32}{5} $. Далее сократим переменные, используя свойство степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $: Для переменной $ a $: $ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $. Для переменной $ b $: $ \frac{b}{b} = 1 $. Для переменной $ c $: $ \frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2 $. Собираем все части вместе: $ \frac{32}{5} \cdot \frac{1}{a} \cdot 1 \cdot c^2 = \frac{32c^2}{5a} $.
Ответ: $ \frac{32c^2}{5a} $

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую): $ \frac{7b^4}{9c^5y} : \frac{35b^4c}{18c^4y^2} = \frac{7b^4}{9c^5y} \cdot \frac{18c^4y^2}{35b^4c} = \frac{7 \cdot 18 \cdot b^4 \cdot c^4 \cdot y^2}{9 \cdot 35 \cdot c^5 \cdot y \cdot b^4 \cdot c} $. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{7}{35} = \frac{1}{5} $ и $ \frac{18}{9} = 2 $. Итого получаем $ \frac{1 \cdot 2}{5} = \frac{2}{5} $. Переменные: Для $ b $: $ \frac{b^4}{b^4} = 1 $. Для $ c $: $ \frac{c^4}{c^5 \cdot c} = \frac{c^4}{c^{5+1}} = \frac{c^4}{c^6} = c^{4-6} = c^{-2} = \frac{1}{c^2} $. Для $ y $: $ \frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y $. Объединяем результаты: $ \frac{2}{5} \cdot 1 \cdot \frac{1}{c^2} \cdot y = \frac{2y}{5c^2} $.
Ответ: $ \frac{2y}{5c^2} $

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели: $ \frac{16x^2y}{7z} \cdot \frac{10xy^3}{21z^2} = \frac{16x^2y \cdot 10xy^3}{7z \cdot 21z^2} = \frac{16 \cdot 10 \cdot x^2 \cdot x \cdot y \cdot y^3}{7 \cdot 21 \cdot z \cdot z^2} $. Сгруппируем и упростим выражение. Числовые коэффициенты: $ \frac{16 \cdot 10}{7 \cdot 21} = \frac{160}{147} $. Данные числа являются взаимно простыми, поэтому дробь не сокращается. Переменные (используя свойство $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $): Для $ x $: $ x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3 $. Для $ y $: $ y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4 $. Для $ z $: $ z \cdot z^2 = z^{1+2} = z^3 $. Объединяем все части: $ \frac{160x^3y^4}{147z^3} $.
Ответ: $ \frac{160x^3y^4}{147z^3} $

4) Для выполнения деления, умножим первую дробь на дробь, обратную ко второй: $ \frac{46d^3c}{15a} : \frac{23dc^2}{5a^3} = \frac{46d^3c}{15a} \cdot \frac{5a^3}{23dc^2} = \frac{46 \cdot 5 \cdot d^3 \cdot c \cdot a^3}{15 \cdot 23 \cdot a \cdot d \cdot c^2} $. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{46}{23} = 2 $ и $ \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $. Итого получаем $ \frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{2}{3} $. Переменные: Для $ a $: $ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $. Для $ d $: $ \frac{d^3}{d} = d^{3-1} = d^2 $. Для $ c $: $ \frac{c}{c^2} = c^{1-2} = c^{-1} = \frac{1}{c} $. Объединяем результаты: $ \frac{2}{3} \cdot a^2 \cdot d^2 \cdot \frac{1}{c} = \frac{2a^2d^2}{3c} $.
Ответ: $ \frac{2a^2d^2}{3c} $

5) Представим делитель $ 9n^2 $ в виде дроби $ \frac{9n^2}{1} $. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение: $ \frac{18m^3n^5}{7k} : (9n^2) = \frac{18m^3n^5}{7k} \cdot \frac{1}{9n^2} = \frac{18m^3n^5}{7k \cdot 9n^2} $. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{18}{9} = 2 $. Переменные: Для $ n $: $ \frac{n^5}{n^2} = n^{5-2} = n^3 $. Переменные $ m^3 $ и $ k $ не имеют общих множителей и остаются на своих местах. Объединяем результаты: $ \frac{2m^3n^3}{7k} $.
Ответ: $ \frac{2m^3n^3}{7k} $

6) Представим делимое $ 24k^2 $ в виде дроби $ \frac{24k^2}{1} $. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную (перевернутую) дробь: $ 24k^2 : \frac{12m^4k^2}{11p^3n} = \frac{24k^2}{1} \cdot \frac{11p^3n}{12m^4k^2} = \frac{24 \cdot 11 \cdot k^2 \cdot p^3 \cdot n}{12m^4k^2} $. Сократим полученное выражение. Числовые коэффициенты: $ \frac{24}{12} = 2 $. Переменные: Для $ k $: $ \frac{k^2}{k^2} = 1 $. Остальные переменные $ p^3, n, m^4 $ не сокращаются. Объединяем результаты: $ \frac{2 \cdot 11 \cdot p^3 \cdot n}{m^4} = \frac{22p^3n}{m^4} $.
Ответ: $ \frac{22p^3n}{m^4} $