Номер 63, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 63, страница 24.

Условие.

63. Проверить, верно ли равенство:

1) $\frac{a^2 + b^2}{x^3 + x^2 y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{a^4 - b^4} = \frac{x - y}{x(a^2 - b^2)};$

2) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^4 b - b^5}{a^2 b - ab^2} = \frac{1}{a^2 - b^2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)Для проверки верности равенства упростим его левую часть.
$ \frac{a^2 + b^2}{x^3 + x^2y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{a^4 - b^4} $
Разложим на множители знаменатели и числители дробей, используя вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов:
$ x^3 + x^2y = x^2(x + y) $
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
$ a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $
Подставим разложенные выражения в левую часть равенства и выполним сокращение:
$ \frac{\cancel{a^2 + b^2}}{x^2\cancel{(x + y)}} \cdot \frac{(x - y)\cancel{(x + y)}}{(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}} = \frac{x - y}{x^2(a^2 - b^2)} $
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:
$ \frac{x - y}{x^2(a^2 - b^2)} \neq \frac{x - y}{x(a^2 - b^2)} $
Левая и правая части не равны, так как в знаменателе левой части стоит $x^2$, а в правой — $x$. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: Равенство неверно.

2)Для проверки верности равенства преобразуем его левую часть. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^4b - b^5}{a^2b - ab^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab} \cdot \frac{a^2b - ab^2}{a^4b - b^5} $
Разложим на множители числители и знаменатели, используя вынесение общего множителя и формулу разности квадратов:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
$ a^2b - ab^2 = ab(a - b) $
$ a^4b - b^5 = b(a^4 - b^4) = b(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $
Подставим разложенные выражения в левую часть и выполним сокращение:
$ \frac{\cancel{a^2 + b^2}}{\cancel{a}\cancel{(a - b)}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{b}\cancel{(a - b)}}{\cancel{b}(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}} = \frac{1}{a^2 - b^2} $
Полученный результат совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.