Номер 58, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 58, страница 23.

Условие.

Выполнить действия (58—61).

58.

1) $(\frac{5a}{7b})^2 \cdot \frac{14b^2}{25a^3}$;

2) $(\frac{3a^2}{2b})^3 \cdot \frac{16b^3}{21a^4}$;

3) $(\frac{ab}{cd})^2 \cdot acd$;

4) $abc^2 \cdot (\frac{ab}{cd})^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для решения выражения $ (\frac{5a}{7b})^2 \cdot \frac{14b^2}{25a^3} $ выполним следующие действия:

1. Возведем первую дробь в квадрат, используя свойство степени дроби $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $:
$ (\frac{5a}{7b})^2 = \frac{(5a)^2}{(7b)^2} = \frac{25a^2}{49b^2} $
2. Подставим полученное выражение обратно в исходное и перемножим дроби:
$ \frac{25a^2}{49b^2} \cdot \frac{14b^2}{25a^3} = \frac{25a^2 \cdot 14b^2}{49b^2 \cdot 25a^3} $
3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
- Сокращаем число $25$: $ \frac{a^2 \cdot 14b^2}{49b^2 \cdot a^3} $
- Сокращаем $b^2$: $ \frac{a^2 \cdot 14}{49 \cdot a^3} $
- Сокращаем $a^2$: $ \frac{14}{49a} $
- Сокращаем числовую дробь $ \frac{14}{49} $ на $7$: $ \frac{14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{2}{7} $
4. В результате получаем:
$ \frac{2}{7a} $

Ответ: $ \frac{2}{7a} $

2) Для решения выражения $ (\frac{3a^2}{2b})^3 \cdot \frac{16b^3}{21a^4} $ выполним следующие действия:

1. Возведем первую дробь в куб:
$ (\frac{3a^2}{2b})^3 = \frac{(3a^2)^3}{(2b)^3} = \frac{3^3(a^2)^3}{2^3b^3} = \frac{27a^6}{8b^3} $
2. Умножим результат на вторую дробь:
$ \frac{27a^6}{8b^3} \cdot \frac{16b^3}{21a^4} = \frac{27a^6 \cdot 16b^3}{8b^3 \cdot 21a^4} $
3. Сократим общие множители:
- Сокращаем $b^3$: $ \frac{27a^6 \cdot 16}{8 \cdot 21a^4} $
- Сокращаем числа: $ \frac{16}{8} = 2 $ и $ \frac{27}{21} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{7} $
- Сокращаем переменные: $ \frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2 $
4. Перемножим оставшиеся множители:
$ \frac{9}{7} \cdot 2 \cdot a^2 = \frac{18a^2}{7} $

Ответ: $ \frac{18a^2}{7} $

3) Для решения выражения $ (\frac{ab}{cd})^2 \cdot acd $ выполним следующие действия:

1. Возведем дробь в квадрат:
$ (\frac{ab}{cd})^2 = \frac{a^2b^2}{c^2d^2} $
2. Умножим полученный результат на $acd$, представив его как дробь $ \frac{acd}{1} $:
$ \frac{a^2b^2}{c^2d^2} \cdot \frac{acd}{1} = \frac{a^2b^2acd}{c^2d^2} $
3. Сгруппируем переменные и сократим дробь:
$ \frac{(a^2 \cdot a) \cdot b^2 \cdot c \cdot d}{c^2 \cdot d^2} = \frac{a^3b^2cd}{c^2d^2} $
Сокращаем $c$ и $d$: $ \frac{c}{c^2} = \frac{1}{c} $ и $ \frac{d}{d^2} = \frac{1}{d} $.
4. В итоге получаем:
$ \frac{a^3b^2}{cd} $

Ответ: $ \frac{a^3b^2}{cd} $

4) Для решения выражения $ abc^2 \cdot (\frac{ab}{cd})^2 $ выполним следующие действия:

1. Возведем дробь в скобках в квадрат:
$ (\frac{ab}{cd})^2 = \frac{a^2b^2}{c^2d^2} $
2. Умножим $abc^2$ на полученную дробь:
$ abc^2 \cdot \frac{a^2b^2}{c^2d^2} = \frac{abc^2 \cdot a^2b^2}{c^2d^2} $
3. Сгруппируем одинаковые переменные в числителе и упростим:
$ \frac{(a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b^2) \cdot c^2}{c^2d^2} = \frac{a^3b^3c^2}{c^2d^2} $
4. Сократим $c^2$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{a^3b^3}{d^2} $

Ответ: $ \frac{a^3b^3}{d^2} $