Номер 3, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 23.

Условие.

3. Что такое допустимые значения букв, входящих в алгебраическое выражение?

Решение 4.

Допустимые значения букв (переменных), входящих в алгебраическое выражение — это те значения, при подстановке которых в выражение все выполняемые математические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т.д.) являются возможными и приводят к определенному числовому результату. Иными словами, это значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл.

Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (ОДЗ) или областью определения выражения.

При нахождении ОДЗ обычно ищут значения переменных, которые являются недопустимыми, а затем исключают их из множества всех действительных чисел. Основные ограничения, которые приводят к появлению недопустимых значений, это:

1. Деление на ноль. Если в выражении есть дробь, то её знаменатель не может быть равен нулю.
Пример: В выражении $ \frac{a+5}{a-3} $ знаменатель $ a-3 $ не должен быть равен нулю.
$ a - 3 \neq 0 $
$ a \neq 3 $
Следовательно, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме 3. Это можно записать как $ a \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

2. Извлечение корня четной степени. Если в выражении есть корень четной степени (квадратный, четвертой степени и т.д.), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
Пример: В выражении $ \sqrt{x-7} $ подкоренное выражение $ x-7 $ должно быть неотрицательным.
$ x - 7 \ge 0 $
$ x \ge 7 $
Допустимыми значениями для переменной $x$ являются все числа, большие или равные 7, то есть промежуток $ [7; +\infty) $.

Часто в одном выражении встречается несколько ограничений.
Пример: Найти допустимые значения для выражения $ \frac{10}{\sqrt{y+2}} $.
Здесь есть и дробь, и квадратный корень. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия:
1) Подкоренное выражение $ y+2 $ должно быть неотрицательным: $ y+2 \ge 0 $, то есть $ y \ge -2 $.
2) Знаменатель $ \sqrt{y+2} $ не должен быть равен нулю. Корень равен нулю, только если подкоренное выражение равно нулю. Значит, $ \sqrt{y+2} \neq 0 $, что равносильно $ y+2 \neq 0 $, то есть $ y \neq -2 $.
Объединяя оба условия ($ y \ge -2 $ и $ y \neq -2 $), получаем строгое неравенство: $ y > -2 $.
Таким образом, ОДЗ для этого выражения — это все числа, строго большие -2, то есть промежуток $ (-2; +\infty) $.

Ответ: Допустимые значения букв, входящих в алгебраическое выражение — это множество всех тех значений переменных, при которых данное выражение имеет числовой смысл, то есть все указанные в нем математические действия выполнимы.