Номер 49, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 49, страница 20.

Условие.

49. Упростить:

1) $\frac{2y+8}{y^2-4y+4} - \frac{7}{y-2}$;

2) $\frac{4+6x}{1+6x+9x^2} - \frac{2}{3x+1}$;

3) $\frac{2}{25-10a+a^2} - \frac{10}{a^2-25}$;

4) $\frac{1}{x^2-6x+9} + \frac{1}{(x+3)^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим выражение $\frac{2y + 8}{y^2 - 4y + 4} - \frac{7}{y-2}$.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби. Выражение $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности, который можно представить в виде $(y-2)^2$.

Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{2y + 8}{(y-2)^2} - \frac{7}{y-2}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель здесь – $(y-2)^2$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(y-2)$:

$\frac{7}{y-2} = \frac{7 \cdot (y-2)}{(y-2) \cdot (y-2)} = \frac{7y - 14}{(y-2)^2}$.

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2y + 8}{(y-2)^2} - \frac{7y - 14}{(y-2)^2} = \frac{(2y + 8) - (7y - 14)}{(y-2)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2y + 8 - 7y + 14 = -5y + 22$.

Таким образом, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{22 - 5y}{(y-2)^2}$.

2) Упростим выражение $\frac{4 + 6x}{1 + 6x + 9x^2} - \frac{2}{3x + 1}$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби. Выражение $1 + 6x + 9x^2$ является полным квадратом суммы: $1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (3x) + (3x)^2 = (1 + 3x)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{4 + 6x}{(1 + 3x)^2} - \frac{2}{3x + 1}$.

Общий знаменатель дробей – $(1 + 3x)^2$ (или $(3x+1)^2$). Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(1+3x)$:

$\frac{2}{3x + 1} = \frac{2(3x + 1)}{(3x + 1)^2} = \frac{6x + 2}{(3x + 1)^2}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{4 + 6x}{(3x+1)^2} - \frac{6x + 2}{(3x+1)^2} = \frac{(4 + 6x) - (6x + 2)}{(3x+1)^2}$.

Упростим числитель:

$4 + 6x - 6x - 2 = 2$.

Получаем итоговый результат.

Ответ: $\frac{2}{(3x+1)^2}$.

3) Упростим выражение $\frac{2}{25 - 10a + a^2} - \frac{10}{a^2 - 25}$.

Разложим на множители знаменатели обеих дробей. Знаменатель первой дроби $25 - 10a + a^2$ – это полный квадрат разности: $(5-a)^2$ или $(a-5)^2$. Знаменатель второй дроби $a^2 - 25$ – это разность квадратов: $(a-5)(a+5)$.

Выражение можно переписать так: $\frac{2}{(a-5)^2} - \frac{10}{(a-5)(a+5)}$.

Наименьший общий знаменатель – это $(a-5)^2(a+5)$. Домножим первую дробь на $(a+5)$, а вторую на $(a-5)$:

$\frac{2(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{10(a-5)}{(a-5)(a+5)(a-5)} = \frac{2a+10}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{10a-50}{(a-5)^2(a+5)}$.

Теперь вычтем дроби:

$\frac{(2a + 10) - (10a - 50)}{(a-5)^2(a+5)}$.

Упростим числитель:

$2a + 10 - 10a + 50 = -8a + 60$.

В числителе можно вынести общий множитель 4: $4(15 - 2a)$.

Ответ: $\frac{60 - 8a}{(a-5)^2(a+5)}$ или $\frac{4(15-2a)}{(a-5)^2(a+5)}$.

4) Упростим выражение $\frac{1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{1}{(x+3)^2}$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $(x-3)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{1}{(x+3)^2}$.

Для сложения дробей найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей: $(x-3)^2(x+3)^2$.

Домножим первую дробь на $(x+3)^2$, а вторую на $(x-3)^2$:

$\frac{1 \cdot (x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} + \frac{1 \cdot (x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы сокращенного умножения:

$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$

Сложим их: $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2 + 18$.

Знаменатель можно представить как $((x-3)(x+3))^2 = (x^2 - 9)^2$.

Итоговое выражение: $\frac{2x^2 + 18}{(x^2 - 9)^2}$. В числителе можно вынести за скобки 2: $\frac{2(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}$.

Ответ: $\frac{2x^2 + 18}{(x^2-9)^2}$ или $\frac{2(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.