Номер 46, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 46, страница 19.

Условие.

46. 1) $a + \frac{a}{a-1}$;

2) $b - \frac{b}{b-2}$;

3) $c + 1 - \frac{c^2}{c-1}$;

4) $\frac{a^2}{a+1} - a + 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы сложить алгебраическое выражение $a$ и дробь $\frac{a}{a-1}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем является $a-1$.

Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a-1$:

$a = \frac{a(a-1)}{a-1} = \frac{a^2 - a}{a-1}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$a + \frac{a}{a-1} = \frac{a(a-1)}{a-1} + \frac{a}{a-1} = \frac{a(a-1) + a}{a-1}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{a^2 - a + a}{a-1} = \frac{a^2}{a-1}$

Ответ: $\frac{a^2}{a-1}$

2) Для выполнения вычитания $b - \frac{b}{b-2}$ приведем выражение $b$ к общему знаменателю $b-2$:

$b = \frac{b(b-2)}{b-2} = \frac{b^2 - 2b}{b-2}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$b - \frac{b}{b-2} = \frac{b(b-2)}{b-2} - \frac{b}{b-2} = \frac{b(b-2) - b}{b-2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{b^2 - 2b - b}{b-2} = \frac{b^2 - 3b}{b-2}$

Ответ: $\frac{b^2 - 3b}{b-2}$

3) В выражении $c+1 - \frac{c^2}{c-1}$ приведем все слагаемые к общему знаменателю $c-1$.

Представим $c+1$ в виде дроби со знаменателем $c-1$:

$c+1 = \frac{(c+1)(c-1)}{c-1}$

В числителе мы получили формулу разности квадратов: $(c+1)(c-1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$c+1 - \frac{c^2}{c-1} = \frac{c^2-1}{c-1} - \frac{c^2}{c-1}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{(c^2-1) - c^2}{c-1} = \frac{c^2 - 1 - c^2}{c-1} = \frac{-1}{c-1}$

Ответ: $\frac{-1}{c-1}$

4) В выражении $\frac{a^2}{a+1} - a + 1$ приведем все слагаемые к общему знаменателю $a+1$. Для удобства сгруппируем последние два слагаемых: $\frac{a^2}{a+1} - (a-1)$.

Представим $a-1$ в виде дроби со знаменателем $a+1$:

$a-1 = \frac{(a-1)(a+1)}{a+1}$

Используем в числителе формулу разности квадратов: $(a-1)(a+1) = a^2 - 1$.

Таким образом, $a-1 = \frac{a^2-1}{a+1}$.

Теперь подставим это в выражение и выполним вычитание:

$\frac{a^2}{a+1} - \frac{a^2-1}{a+1}$

Объединим числители под общим знаменателем, обращая внимание на знак минус перед второй дробью:

$\frac{a^2 - (a^2-1)}{a+1} = \frac{a^2 - a^2 + 1}{a+1} = \frac{1}{a+1}$

Ответ: $\frac{1}{a+1}$