Номер 41, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 41, страница 19.

Условие.

41. 1) $\frac{3}{a^2 + a} + \frac{5a}{ab + b}$

2) $\frac{y+a}{b^2 + ba} + \frac{y-b}{ab + a^2}$

3) $\frac{y-b}{a^2 - ab} - \frac{y-a}{ab - b^2}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{3}{a^2 + a} + \frac{5a}{ab + b}$

Чтобы сложить две алгебраические дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

$a^2 + a = a(a + 1)$

$ab + b = b(a + 1)$

Общий знаменатель для этих дробей — это наименьшее общее кратное их знаменателей. В данном случае это $ab(a+1)$.

Теперь приведем каждую дробь к новому знаменателю. Для первой дроби $\frac{3}{a(a+1)}$ дополнительным множителем будет $b$. Для второй дроби $\frac{5a}{b(a+1)}$ дополнительным множителем будет $a$.

$\frac{3 \cdot b}{a(a+1) \cdot b} + \frac{5a \cdot a}{b(a+1) \cdot a} = \frac{3b}{ab(a+1)} + \frac{5a^2}{ab(a+1)}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сложить их числители:

$\frac{3b + 5a^2}{ab(a+1)}$

В числителе больше ничего упростить или сократить со знаменателем нельзя, поэтому это окончательный ответ.

Ответ: $\frac{5a^2 + 3b}{ab(a+1)}$

2) $\frac{y+a}{b^2 + ba} + \frac{y-b}{ab + a^2}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$b^2 + ba = b(b+a)$

$ab + a^2 = a(b+a)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ab(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $b$.

$\frac{(y+a) \cdot a}{b(a+b) \cdot a} + \frac{(y-b) \cdot b}{a(a+b) \cdot b} = \frac{ay + a^2}{ab(a+b)} + \frac{by - b^2}{ab(a+b)}$

Сложим числители:

$\frac{ay + a^2 + by - b^2}{ab(a+b)}$

Упростим числитель, сгруппировав слагаемые. Сгруппируем члены с $y$ и применим формулу разности квадратов для $a^2 - b^2$:

$ay + by + a^2 - b^2 = y(a+b) + (a-b)(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)(y+a-b)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{(a+b)(y+a-b)}{ab(a+b)} = \frac{y+a-b}{ab}$

Ответ: $\frac{y+a-b}{ab}$

3) $\frac{y-b}{a^2 - ab} - \frac{y-a}{ab - b^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$a^2 - ab = a(a-b)$

$ab - b^2 = b(a-b)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ab(a-b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.

$\frac{(y-b) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} - \frac{(y-a) \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{by - b^2}{ab(a-b)} - \frac{ay - a^2}{ab(a-b)}$

Теперь вычтем числители. Важно правильно раскрыть скобки при вычитании:

$\frac{(by - b^2) - (ay - a^2)}{ab(a-b)} = \frac{by - b^2 - ay + a^2}{ab(a-b)}$

Упростим числитель, сгруппировав слагаемые. Сгруппируем $a^2 - b^2$ и $-ay + by$:

$a^2 - b^2 - ay + by = (a-b)(a+b) - y(a-b)$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(a+b-y)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{(a-b)(a+b-y)}{ab(a-b)} = \frac{a+b-y}{ab}$

Ответ: $\frac{a+b-y}{ab}$