Страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Выполнить действия (36–47).

36.

1) $\frac{c+d}{2a} + \frac{2c-d}{2a}$;

2) $\frac{a+d}{2c} - \frac{a-b}{2c}$;

3) $\frac{10a-b}{a^3} - \frac{3a-b}{a^3}$.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. В данном случае знаменатель равен $2a$.

$\frac{c+d}{2a} + \frac{2c-d}{2a} = \frac{(c+d) + (2c-d)}{2a}$

Теперь упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$c+d+2c-d = (c+2c) + (d-d) = 3c$

Таким образом, получаем итоговую дробь:

$\frac{3c}{2a}$

Ответ: $\frac{3c}{2a}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Знаменатель равен $2c$. Важно правильно раскрыть скобки при вычитании.

$\frac{a+d}{2c} - \frac{a-b}{2c} = \frac{(a+d) - (a-b)}{2c}$

Упростим числитель. Раскрываем скобки, меняя знаки у слагаемых во второй скобке на противоположные:

$a+d-a+b = (a-a) + d + b = b+d$

Получаем итоговую дробь:

$\frac{b+d}{2c}$

Ответ: $\frac{b+d}{2c}$

3) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями $a^3$.

$\frac{10a-b}{a^3} - \frac{3a-b}{a^3} = \frac{(10a-b) - (3a-b)}{a^3}$

Упрощаем числитель, раскрывая скобки и учитывая знак "минус" перед второй дробью:

$10a-b-3a+b = (10a-3a) + (-b+b) = 7a$

Итоговая дробь имеет вид:

$\frac{7a}{a^3}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что уже предполагается знаменателем исходных дробей):

$\frac{7a}{a^3} = \frac{7}{a^2}$

Ответ: $\frac{7}{a^2}$

37. 1) $\frac{2}{3a} + \frac{1}{a}$;

2) $\frac{1}{b} - \frac{2}{5b}$;

3) $\frac{c}{15a} + \frac{d}{3}$;

4) $\frac{a}{4} - \frac{b}{12d}$.

Чтобы сложить дроби $\frac{2}{3a} + \frac{1}{a}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для выражений $3a$ и $a$ равен $3a$.
Первая дробь $\frac{2}{3a}$ уже имеет необходимый знаменатель.
Для второй дроби $\frac{1}{a}$ дополнительным множителем является $3$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $3$:
$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot 3}{a \cdot 3} = \frac{3}{3a}$
Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями, сложив их числители:
$\frac{2}{3a} + \frac{3}{3a} = \frac{2+3}{3a} = \frac{5}{3a}$
Ответ: $\frac{5}{3a}$

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{1}{b} - \frac{2}{5b}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $b$ и $5b$ это $5b$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{b}$ равен $5$. Умножим ее числитель и знаменатель на $5$:
$\frac{1}{b} = \frac{1 \cdot 5}{b \cdot 5} = \frac{5}{5b}$
Вторая дробь $\frac{2}{5b}$ уже приведена к нужному знаменателю.
Теперь выполним вычитание, вычитая числители:
$\frac{5}{5b} - \frac{2}{5b} = \frac{5-2}{5b} = \frac{3}{5b}$
Ответ: $\frac{3}{5b}$

Для сложения дробей $\frac{c}{15a} + \frac{d}{3}$ найдем наименьший общий знаменатель. Для $15a$ и $3$ он равен $15a$.
Первая дробь $\frac{c}{15a}$ уже имеет нужный знаменатель.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{d}{3}$ равен $5a$. Умножим ее числитель и знаменатель на $5a$:
$\frac{d}{3} = \frac{d \cdot 5a}{3 \cdot 5a} = \frac{5ad}{15a}$
Теперь сложим дроби:
$\frac{c}{15a} + \frac{5ad}{15a} = \frac{c+5ad}{15a}$
Ответ: $\frac{c+5ad}{15a}$

Для вычитания дробей $\frac{a}{4} - \frac{b}{12d}$ найдем наименьший общий знаменатель. Для $4$ и $12d$ он равен $12d$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{a}{4}$ равен $3d$. Умножим ее числитель и знаменатель на $3d$:
$\frac{a}{4} = \frac{a \cdot 3d}{4 \cdot 3d} = \frac{3ad}{12d}$
Вторая дробь $\frac{b}{12d}$ уже имеет нужный знаменатель.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{3ad}{12d} - \frac{b}{12d} = \frac{3ad-b}{12d}$
Ответ: $\frac{3ad-b}{12d}$

38. 1) $5 - \frac{2}{b} + \frac{3}{b^2}$;

2) $\frac{2}{c} + 4 - \frac{3}{c^2}$;

3) $d - \frac{c}{d} + \frac{c^2}{d^2}$;

4) $\frac{m}{n} - k + \frac{m^2}{n^2}$.

1) Чтобы представить выражение в виде дроби, нужно привести все его члены к общему знаменателю. В данном случае это $b^2$.
Первый член $5$ можно представить как $\frac{5}{1}$. Чтобы привести его к знаменателю $b^2$, нужно умножить числитель и знаменатель на $b^2$: $\frac{5 \cdot b^2}{1 \cdot b^2} = \frac{5b^2}{b^2}$.
Второй член $-\frac{2}{b}$. Чтобы привести его к знаменателю $b^2$, нужно умножить числитель и знаменатель на $b$: $-\frac{2 \cdot b}{b \cdot b} = -\frac{2b}{b^2}$.
Третий член $\frac{3}{b^2}$ уже имеет нужный знаменатель.
Теперь сложим полученные дроби:
$5 - \frac{2}{b} + \frac{3}{b^2} = \frac{5b^2}{b^2} - \frac{2b}{b^2} + \frac{3}{b^2} = \frac{5b^2 - 2b + 3}{b^2}$.
Ответ: $\frac{5b^2 - 2b + 3}{b^2}$

2) Приведем все члены выражения к общему знаменателю $c^2$.
Первый член $\frac{2}{c}$. Умножаем числитель и знаменатель на $c$: $\frac{2 \cdot c}{c \cdot c} = \frac{2c}{c^2}$.
Второй член $4$ представим как $\frac{4}{1}$ и умножим числитель и знаменатель на $c^2$: $\frac{4 \cdot c^2}{1 \cdot c^2} = \frac{4c^2}{c^2}$.
Третий член $-\frac{3}{c^2}$ уже имеет нужный знаменатель.
Объединим дроби:
$\frac{2}{c} + 4 - \frac{3}{c^2} = \frac{2c}{c^2} + \frac{4c^2}{c^2} - \frac{3}{c^2} = \frac{2c + 4c^2 - 3}{c^2}$.
Для стандартного вида запишем числитель в порядке убывания степеней $c$: $\frac{4c^2 + 2c - 3}{c^2}$.
Ответ: $\frac{4c^2 + 2c - 3}{c^2}$

3) Общий знаменатель для данного выражения - $d^2$.
Первый член $d$ представим как $\frac{d}{1}$ и приведем к знаменателю $d^2$: $\frac{d \cdot d^2}{1 \cdot d^2} = \frac{d^3}{d^2}$.
Второй член $-\frac{c}{d}$. Приведем к знаменателю $d^2$: $-\frac{c \cdot d}{d \cdot d} = -\frac{cd}{d^2}$.
Третий член $\frac{c^2}{d^2}$ уже имеет нужный знаменатель.
Соберем все в одну дробь:
$d - \frac{c}{d} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{d^3}{d^2} - \frac{cd}{d^2} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{d^3 - cd + c^2}{d^2}$.
Ответ: $\frac{d^3 - cd + c^2}{d^2}$

4) Приведем все члены к общему знаменателю $n^2$.
Первый член $\frac{m}{n}$. Умножим числитель и знаменатель на $n$: $\frac{m \cdot n}{n \cdot n} = \frac{mn}{n^2}$.
Второй член $-k$ представим как $-\frac{k}{1}$ и приведем к знаменателю $n^2$: $-\frac{k \cdot n^2}{1 \cdot n^2} = -\frac{kn^2}{n^2}$.
Третий член $\frac{m^2}{n^2}$ уже имеет нужный знаменатель.
Объединим члены в одну дробь:
$\frac{m}{n} - k + \frac{m^2}{n^2} = \frac{mn}{n^2} - \frac{kn^2}{n^2} + \frac{m^2}{n^2} = \frac{mn - kn^2 + m^2}{n^2}$.
Запишем числитель в более удобном порядке: $\frac{m^2 + mn - kn^2}{n^2}$.
Ответ: $\frac{m^2 + mn - kn^2}{n^2}$

39. 1) $\frac{3c}{4a^3b} + \frac{5d}{6ab^3};$

2) $\frac{2}{3y^3} - \frac{1}{6x^2y} + \frac{5}{12xy^2};$

3) $\frac{b}{c} + \frac{b}{c^2d} + \frac{b}{cd^2}.$

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{3c}{4a^3b} $ и $ \frac{5d}{6ab^3} $, их нужно привести к общему знаменателю.

Сначала найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $4a^3b$ и $6ab^3$.
1. Наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 4 и 6 равно 12.
2. Для переменных берем каждую в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях: для $a$ это $a^3$, для $b$ это $b^3$.
Таким образом, НОЗ равен $12a^3b^3$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОЗ на знаменатель каждой дроби:
- для первой дроби: $ \frac{12a^3b^3}{4a^3b} = 3b^2 $
- для второй дроби: $ \frac{12a^3b^3}{6ab^3} = 2a^2 $

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{3c \cdot (3b^2)}{12a^3b^3} + \frac{5d \cdot (2a^2)}{12a^3b^3} = \frac{9b^2c}{12a^3b^3} + \frac{10a^2d}{12a^3b^3} $

Сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{9b^2c + 10a^2d}{12a^3b^3} $

Для удобства записи можно упорядочить слагаемые в числителе по алфавиту.

Ответ: $ \frac{10a^2d + 9b^2c}{12a^3b^3} $

2) Выполним действия с дробями $ \frac{2}{3y^3} - \frac{1}{6x^2y} + \frac{5}{12xy^2} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для $3y^3$, $6x^2y$ и $12xy^2$.
1. НОК для коэффициентов 3, 6 и 12 равно 12.
2. Для переменных берем каждую в наибольшей степени: для $x$ это $x^2$, для $y$ это $y^3$.
Следовательно, НОЗ равен $12x^2y^3$.

Найдем дополнительные множители:
- для первой дроби: $ \frac{12x^2y^3}{3y^3} = 4x^2 $
- для второй дроби: $ \frac{12x^2y^3}{6x^2y} = 2y^2 $
- для третьей дроби: $ \frac{12x^2y^3}{12xy^2} = xy $

Умножим числители на их дополнительные множители и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2 \cdot (4x^2)}{12x^2y^3} - \frac{1 \cdot (2y^2)}{12x^2y^3} + \frac{5 \cdot (xy)}{12x^2y^3} = \frac{8x^2}{12x^2y^3} - \frac{2y^2}{12x^2y^3} + \frac{5xy}{12x^2y^3} $

Объединим числители под общим знаменателем:

$ \frac{8x^2 - 2y^2 + 5xy}{12x^2y^3} $

Расположим члены в числителе в стандартном порядке.

Ответ: $ \frac{8x^2 + 5xy - 2y^2}{12x^2y^3} $

3) Выполним сложение дробей $ \frac{b}{c} + \frac{b}{c^2d} + \frac{b}{cd^2} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для $c$, $c^2d$ и $cd^2$.
Для этого берем каждую переменную в наибольшей степени: для $c$ это $c^2$, для $d$ это $d^2$.
НОЗ равен $c^2d^2$.

Найдем дополнительные множители:
- для первой дроби: $ \frac{c^2d^2}{c} = cd^2 $
- для второй дроби: $ \frac{c^2d^2}{c^2d} = d $
- для третьей дроби: $ \frac{c^2d^2}{cd^2} = c $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b \cdot (cd^2)}{c^2d^2} + \frac{b \cdot (d)}{c^2d^2} + \frac{b \cdot (c)}{c^2d^2} = \frac{bcd^2}{c^2d^2} + \frac{bd}{c^2d^2} + \frac{bc}{c^2d^2} $

Сложим числители:

$ \frac{bcd^2 + bd + bc}{c^2d^2} $

Можно вынести общий множитель $b$ в числителе за скобки для упрощения вида выражения.

$ \frac{b(cd^2 + d + c)}{c^2d^2} $

Ответ: $ \frac{b(cd^2 + c + d)}{c^2d^2} $

40. 1) $\frac{7x}{2(x-1)} - \frac{5x}{x-1}$;

2) $\frac{2a^2}{3(a+1)} + \frac{5a^2}{4(a+1)}$;

3) $\frac{4y}{5(y-3)} - \frac{5x}{2(y-3)}$.

1) $\frac{7x}{2(x-1)} - \frac{5x}{x-1}$

Для того чтобы вычесть дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей — это $2(x-1)$ и $x-1$. Наименьший общий знаменатель для этих выражений — это $2(x-1)$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Для второй дроби $\frac{5x}{x-1}$ нужно домножить числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

$\frac{5x}{x-1} = \frac{5x \cdot 2}{(x-1) \cdot 2} = \frac{10x}{2(x-1)}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{7x}{2(x-1)} - \frac{10x}{2(x-1)} = \frac{7x - 10x}{2(x-1)} = \frac{-3x}{2(x-1)} = -\frac{3x}{2(x-1)}$

Ответ: $-\frac{3x}{2(x-1)}$

2) $\frac{2a^2}{3(a+1)} + \frac{5a^2}{4(a+1)}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — это $3(a+1)$ и $4(a+1)$. Наименьшее общее кратное для коэффициентов 3 и 4 равно 12. Таким образом, общий знаменатель равен $12(a+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $12 / 3 = 4$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $12 / 4 = 3$.

$\frac{2a^2 \cdot 4}{3(a+1) \cdot 4} + \frac{5a^2 \cdot 3}{4(a+1) \cdot 3} = \frac{8a^2}{12(a+1)} + \frac{15a^2}{12(a+1)}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{8a^2 + 15a^2}{12(a+1)} = \frac{23a^2}{12(a+1)}$

Ответ: $\frac{23a^2}{12(a+1)}$

3) $\frac{4y}{5(y-3)} - \frac{5x}{2(y-3)}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — это $5(y-3)$ и $2(y-3)$. Наименьшее общее кратное для коэффициентов 5 и 2 равно 10. Таким образом, общий знаменатель равен $10(y-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $10 / 5 = 2$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $10 / 2 = 5$.

$\frac{4y \cdot 2}{5(y-3) \cdot 2} - \frac{5x \cdot 5}{2(y-3) \cdot 5} = \frac{8y}{10(y-3)} - \frac{25x}{10(y-3)}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{8y - 25x}{10(y-3)}$

Так как в числителе нет подобных слагаемых, дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{8y-25x}{10(y-3)}$

41. 1) $\frac{3}{a^2 + a} + \frac{5a}{ab + b}$

2) $\frac{y+a}{b^2 + ba} + \frac{y-b}{ab + a^2}$

3) $\frac{y-b}{a^2 - ab} - \frac{y-a}{ab - b^2}$

1) $\frac{3}{a^2 + a} + \frac{5a}{ab + b}$

Чтобы сложить две алгебраические дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

$a^2 + a = a(a + 1)$

$ab + b = b(a + 1)$

Общий знаменатель для этих дробей — это наименьшее общее кратное их знаменателей. В данном случае это $ab(a+1)$.

Теперь приведем каждую дробь к новому знаменателю. Для первой дроби $\frac{3}{a(a+1)}$ дополнительным множителем будет $b$. Для второй дроби $\frac{5a}{b(a+1)}$ дополнительным множителем будет $a$.

$\frac{3 \cdot b}{a(a+1) \cdot b} + \frac{5a \cdot a}{b(a+1) \cdot a} = \frac{3b}{ab(a+1)} + \frac{5a^2}{ab(a+1)}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сложить их числители:

$\frac{3b + 5a^2}{ab(a+1)}$

В числителе больше ничего упростить или сократить со знаменателем нельзя, поэтому это окончательный ответ.

Ответ: $\frac{5a^2 + 3b}{ab(a+1)}$

2) $\frac{y+a}{b^2 + ba} + \frac{y-b}{ab + a^2}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$b^2 + ba = b(b+a)$

$ab + a^2 = a(b+a)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ab(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $b$.

$\frac{(y+a) \cdot a}{b(a+b) \cdot a} + \frac{(y-b) \cdot b}{a(a+b) \cdot b} = \frac{ay + a^2}{ab(a+b)} + \frac{by - b^2}{ab(a+b)}$

Сложим числители:

$\frac{ay + a^2 + by - b^2}{ab(a+b)}$

Упростим числитель, сгруппировав слагаемые. Сгруппируем члены с $y$ и применим формулу разности квадратов для $a^2 - b^2$:

$ay + by + a^2 - b^2 = y(a+b) + (a-b)(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)(y+a-b)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{(a+b)(y+a-b)}{ab(a+b)} = \frac{y+a-b}{ab}$

Ответ: $\frac{y+a-b}{ab}$

3) $\frac{y-b}{a^2 - ab} - \frac{y-a}{ab - b^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$a^2 - ab = a(a-b)$

$ab - b^2 = b(a-b)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ab(a-b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.

$\frac{(y-b) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} - \frac{(y-a) \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{by - b^2}{ab(a-b)} - \frac{ay - a^2}{ab(a-b)}$

Теперь вычтем числители. Важно правильно раскрыть скобки при вычитании:

$\frac{(by - b^2) - (ay - a^2)}{ab(a-b)} = \frac{by - b^2 - ay + a^2}{ab(a-b)}$

Упростим числитель, сгруппировав слагаемые. Сгруппируем $a^2 - b^2$ и $-ay + by$:

$a^2 - b^2 - ay + by = (a-b)(a+b) - y(a-b)$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(a+b-y)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{(a-b)(a+b-y)}{ab(a-b)} = \frac{a+b-y}{ab}$

Ответ: $\frac{a+b-y}{ab}$

42. 1) $\frac{2}{x^2 - 9} + \frac{1}{x + 3}$;

2) $\frac{5 + p^2}{p^2 - 36} - \frac{p}{6 + p}$;

3) $\frac{2x}{x - 4} - \frac{5x - 2}{x^2 - 16}$.

1) $\frac{2}{x^2-9} + \frac{1}{x+3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $x^2-9$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Знаменатель второй дроби - $(x+3)$.

Общий знаменатель для этих дробей - $(x-3)(x+3)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-3)$:

$\frac{2}{(x-3)(x+3)} + \frac{1 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{2 + (x-3)}{(x-3)(x+3)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{2 + x - 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-1}{x^2-9}$

Ответ: $\frac{x-1}{x^2-9}$

2) $\frac{5+p^2}{p^2-36} - \frac{p}{6+p}$

Для вычитания дробей найдем общий знаменатель. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $p^2-36 = (p-6)(p+6)$. Знаменатель второй дроби $6+p$ равен $p+6$.

Общий знаменатель - $(p-6)(p+6)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(p-6)$:

$\frac{5+p^2}{(p-6)(p+6)} - \frac{p \cdot (p-6)}{(p+6)(p-6)} = \frac{5+p^2 - p(p-6)}{(p-6)(p+6)}$

Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:

$\frac{5+p^2 - (p^2-6p)}{(p-6)(p+6)} = \frac{5+p^2-p^2+6p}{p^2-36} = \frac{6p+5}{p^2-36}$

Ответ: $\frac{6p+5}{p^2-36}$

3) $\frac{2x}{x-4} - \frac{5x-2}{x^2-16}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $x^2-16$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Знаменатель первой дроби - $(x-4)$.

Общий знаменатель - $(x-4)(x+4)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x+4)$:

$\frac{2x \cdot (x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{5x-2}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x(x+4) - (5x-2)}{(x-4)(x+4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2x^2+8x - 5x + 2}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x^2+3x+2}{x^2-16}$

Числитель $2x^2+3x+2$ не раскладывается на множители с действительными корнями, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$. Поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{2x^2+3x+2}{x^2-16}$

43. 1) $ \frac{y}{n-2} + \frac{z}{2-n} $;

2) $ \frac{2m}{3-5n} - 1 + \frac{7n-4}{5n-3} $;

3) $ 4 - \frac{3a}{5-2b} + \frac{5(a-10)}{2b-5} $.

1) $\frac{y}{n-2} + \frac{z}{2-n}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $2-n$ можно представить как $-(n-2)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак перед дробью и в знаменателе:

$\frac{y}{n-2} + \frac{z}{2-n} = \frac{y}{n-2} + \frac{z}{-(n-2)} = \frac{y}{n-2} - \frac{z}{n-2}$

Так как у дробей теперь одинаковый знаменатель, мы можем выполнить вычитание числителей:

$\frac{y-z}{n-2}$

Ответ: $\frac{y-z}{n-2}$

2) $\frac{2m}{3-5n} - 1 + \frac{7n-4}{5n-3}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю. Знаменатели дробей $3-5n$ и $5n-3$ являются противоположными выражениями: $3-5n = -(5n-3)$. Выберем в качестве общего знаменателя $5n-3$.

Преобразуем первую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{2m}{3-5n} = \frac{2m}{-(5n-3)} = -\frac{2m}{5n-3}$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем $5n-3$:

$1 = \frac{5n-3}{5n-3}$

Теперь запишем все выражение с общим знаменателем $5n-3$:

$-\frac{2m}{5n-3} - \frac{5n-3}{5n-3} + \frac{7n-4}{5n-3}$

Объединим все под одной дробной чертой и выполним действия в числителе:

$\frac{-2m - (5n-3) + (7n-4)}{5n-3} = \frac{-2m - 5n + 3 + 7n - 4}{5n-3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-2m + (-5n+7n) + (3-4)}{5n-3} = \frac{-2m + 2n - 1}{5n-3}$

Ответ: $\frac{2n - 2m - 1}{5n-3}$

3) $4 - \frac{3a}{5-2b} + \frac{5(a-10)}{2b-5}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Знаменатели $5-2b$ и $2b-5$ связаны соотношением $5-2b = -(2b-5)$. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $2b-5$.

Преобразуем второе слагаемое, поменяв знак перед дробью и в знаменателе:

$-\frac{3a}{5-2b} = -\frac{3a}{-(2b-5)} = \frac{3a}{2b-5}$

Представим 4 в виде дроби со знаменателем $2b-5$:

$4 = \frac{4(2b-5)}{2b-5}$

Подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

$\frac{4(2b-5)}{2b-5} + \frac{3a}{2b-5} + \frac{5(a-10)}{2b-5}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, сложим числители:

$\frac{4(2b-5) + 3a + 5(a-10)}{2b-5}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{8b - 20 + 3a + 5a - 50}{2b-5}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(3a+5a) + 8b + (-20-50)}{2b-5} = \frac{8a + 8b - 70}{2b-5}$

Ответ: $\frac{8a + 8b - 70}{2b-5}$

44. 1) $ \frac{12n-5}{n^2-49} + \frac{6}{7-n} $

2) $ \frac{c^2-8}{2c+3} - \frac{16c-2c^3}{9-4c^2} $

3) $ \frac{21y^2+1}{1-9y^2} - \frac{y}{3y-1} $

1) Решим пример $\frac{12n-5}{n^2-49} + \frac{6}{7-n}$.

Для начала, разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$n^2 - 49 = n^2 - 7^2 = (n-7)(n+7)$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $7-n$ можно представить в виде $-(n-7)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6}{7-n} = \frac{6}{-(n-7)} = -\frac{6}{n-7}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{12n-5}{(n-7)(n+7)} - \frac{6}{n-7}$.

Общий знаменатель для этих дробей – $(n-7)(n+7)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив её числитель и знаменатель на $(n+7)$:

$\frac{6}{n-7} = \frac{6(n+7)}{(n-7)(n+7)} = \frac{6n+42}{(n-7)(n+7)}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{12n-5}{(n-7)(n+7)} - \frac{6n+42}{(n-7)(n+7)} = \frac{(12n-5) - (6n+42)}{(n-7)(n+7)}$.

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$12n-5-6n-42 = (12n-6n) + (-5-42) = 6n-47$.

Итоговое выражение:

$\frac{6n-47}{(n-7)(n+7)} = \frac{6n-47}{n^2-49}$.

Ответ: $\frac{6n-47}{n^2-49}$.

2) Решим пример $\frac{c^2-8}{2c+3} - \frac{16c-2c^3}{9-4c^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби $9-4c^2$ на множители как разность квадратов:

$9-4c^2 = 3^2 - (2c)^2 = (3-2c)(3+2c)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{c^2-8}{2c+3} - \frac{16c-2c^3}{(3-2c)(3+2c)}$.

Общим знаменателем является $(3-2c)(3+2c)$, так как $3+2c = 2c+3$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(3-2c)$:

$\frac{(c^2-8)(3-2c)}{(2c+3)(3-2c)} = \frac{3c^2-2c^3-24+16c}{(3-2c)(3+2c)}$.

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(3c^2-2c^3-24+16c) - (16c-2c^3)}{(3-2c)(3+2c)}$.

Упростим числитель:

$3c^2-2c^3-24+16c - 16c+2c^3 = 3c^2-24$.

Запишем результат:

$\frac{3c^2-24}{(3-2c)(3+2c)} = \frac{3c^2-24}{9-4c^2}$.

Ответ: $\frac{3c^2-24}{9-4c^2}$.

3) Решим пример $\frac{21y^2+1}{1-9y^2} - \frac{y}{3y-1}$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби $1-9y^2$ по формуле разности квадратов:

$1-9y^2 = 1^2 - (3y)^2 = (1-3y)(1+3y)$.

Знаменатель второй дроби $3y-1$ связан со знаменателем первой: $3y-1 = -(1-3y)$. Используем это для преобразования знака перед второй дробью:

$\frac{21y^2+1}{(1-3y)(1+3y)} - \frac{y}{-(1-3y)} = \frac{21y^2+1}{(1-3y)(1+3y)} + \frac{y}{1-3y}$.

Общий знаменатель – $(1-3y)(1+3y)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(1+3y)$:

$\frac{y(1+3y)}{(1-3y)(1+3y)} = \frac{y+3y^2}{(1-3y)(1+3y)}$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{(21y^2+1) + (y+3y^2)}{(1-3y)(1+3y)}$.

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$21y^2+1+y+3y^2 = (21y^2+3y^2)+y+1 = 24y^2+y+1$.

Финальный результат:

$\frac{24y^2+y+1}{(1-3y)(1+3y)} = \frac{24y^2+y+1}{1-9y^2}$.

Ответ: $\frac{24y^2+y+1}{1-9y^2}$.

45. 1) $\frac{3}{a+2} + \frac{2a}{(a+2)^2}$;

2) $\frac{7}{(a-b)^2} - \frac{5}{b-a}$;

3) $\frac{4}{(m-n)^2} - \frac{7}{n-m}$.

1) $\frac{3}{a+2} + \frac{2a}{(a+2)^2}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является $(a+2)^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+2)$:
$\frac{3}{a+2} = \frac{3(a+2)}{(a+2)(a+2)} = \frac{3a+6}{(a+2)^2}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3a+6}{(a+2)^2} + \frac{2a}{(a+2)^2} = \frac{3a+6+2a}{(a+2)^2} = \frac{5a+6}{(a+2)^2}$

Ответ: $\frac{5a+6}{(a+2)^2}$

2) $\frac{7}{(a-b)^2} - \frac{5}{b-a}$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Используем это свойство, чтобы привести знаменатели к общему виду:

$\frac{5}{b-a} = \frac{5}{-(a-b)} = -\frac{5}{a-b}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{7}{(a-b)^2} - (-\frac{5}{a-b}) = \frac{7}{(a-b)^2} + \frac{5}{a-b}$

Общий знаменатель дробей — $(a-b)^2$. Домножим вторую дробь на $(a-b)$:

$\frac{5}{a-b} = \frac{5(a-b)}{(a-b)^2} = \frac{5a-5b}{(a-b)^2}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{7}{(a-b)^2} + \frac{5a-5b}{(a-b)^2} = \frac{7+5a-5b}{(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{5a-5b+7}{(a-b)^2}$

3) $\frac{4}{(m-n)^2} - \frac{7}{n-m}$

Преобразуем знаменатель второй дроби: $n-m = -(m-n)$.

$\frac{7}{n-m} = \frac{7}{-(m-n)} = -\frac{7}{m-n}$

Выражение примет вид:

$\frac{4}{(m-n)^2} - (-\frac{7}{m-n}) = \frac{4}{(m-n)^2} + \frac{7}{m-n}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(m-n)^2$. Для этого домножим вторую дробь на $(m-n)$:

$\frac{7}{m-n} = \frac{7(m-n)}{(m-n)^2} = \frac{7m-7n}{(m-n)^2}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{4}{(m-n)^2} + \frac{7m-7n}{(m-n)^2} = \frac{4+7m-7n}{(m-n)^2}$

Ответ: $\frac{7m-7n+4}{(m-n)^2}$

46. 1) $a + \frac{a}{a-1}$;

2) $b - \frac{b}{b-2}$;

3) $c + 1 - \frac{c^2}{c-1}$;

4) $\frac{a^2}{a+1} - a + 1.$

1) Чтобы сложить алгебраическое выражение $a$ и дробь $\frac{a}{a-1}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем является $a-1$.

Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a-1$:

$a = \frac{a(a-1)}{a-1} = \frac{a^2 - a}{a-1}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$a + \frac{a}{a-1} = \frac{a(a-1)}{a-1} + \frac{a}{a-1} = \frac{a(a-1) + a}{a-1}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{a^2 - a + a}{a-1} = \frac{a^2}{a-1}$

Ответ: $\frac{a^2}{a-1}$

2) Для выполнения вычитания $b - \frac{b}{b-2}$ приведем выражение $b$ к общему знаменателю $b-2$:

$b = \frac{b(b-2)}{b-2} = \frac{b^2 - 2b}{b-2}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$b - \frac{b}{b-2} = \frac{b(b-2)}{b-2} - \frac{b}{b-2} = \frac{b(b-2) - b}{b-2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{b^2 - 2b - b}{b-2} = \frac{b^2 - 3b}{b-2}$

Ответ: $\frac{b^2 - 3b}{b-2}$

3) В выражении $c+1 - \frac{c^2}{c-1}$ приведем все слагаемые к общему знаменателю $c-1$.

Представим $c+1$ в виде дроби со знаменателем $c-1$:

$c+1 = \frac{(c+1)(c-1)}{c-1}$

В числителе мы получили формулу разности квадратов: $(c+1)(c-1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$c+1 - \frac{c^2}{c-1} = \frac{c^2-1}{c-1} - \frac{c^2}{c-1}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{(c^2-1) - c^2}{c-1} = \frac{c^2 - 1 - c^2}{c-1} = \frac{-1}{c-1}$

Ответ: $\frac{-1}{c-1}$

4) В выражении $\frac{a^2}{a+1} - a + 1$ приведем все слагаемые к общему знаменателю $a+1$. Для удобства сгруппируем последние два слагаемых: $\frac{a^2}{a+1} - (a-1)$.

Представим $a-1$ в виде дроби со знаменателем $a+1$:

$a-1 = \frac{(a-1)(a+1)}{a+1}$

Используем в числителе формулу разности квадратов: $(a-1)(a+1) = a^2 - 1$.

Таким образом, $a-1 = \frac{a^2-1}{a+1}$.

Теперь подставим это в выражение и выполним вычитание:

$\frac{a^2}{a+1} - \frac{a^2-1}{a+1}$

Объединим числители под общим знаменателем, обращая внимание на знак минус перед второй дробью:

$\frac{a^2 - (a^2-1)}{a+1} = \frac{a^2 - a^2 + 1}{a+1} = \frac{1}{a+1}$

Ответ: $\frac{1}{a+1}$

47. 1) $\frac{7a-1}{2a^2+6a} + \frac{5-3a}{a^2-9};$

2) $\frac{6}{3x+3y} + \frac{8x}{4x^2-4y^2};$

3) $\frac{3a-b}{a^2-b^2} - \frac{a}{a^2-ab};$

4) $\frac{3a}{4a^2-1} - \frac{a+1}{2a^2+a};$

5) $\frac{b-1}{(b+3)^2} - \frac{b}{b^2-9};$

6) $\frac{a-3}{a^2-4} - \frac{a}{(a-2)^2}.$

1) $\frac{7a-1}{2a^2+6a} + \frac{5-3a}{a^2-9}$

Сначала разложим знаменатели на множители:

$2a^2+6a = 2a(a+3)$

$a^2-9 = (a-3)(a+3)$

Общий знаменатель будет $2a(a+3)(a-3)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(7a-1)(a-3)}{2a(a+3)(a-3)} + \frac{(5-3a) \cdot 2a}{2a(a+3)(a-3)}$

Складываем числители:

$\frac{(7a-1)(a-3) + 2a(5-3a)}{2a(a+3)(a-3)} = \frac{7a^2 - 21a - a + 3 + 10a - 6a^2}{2a(a^2-9)}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(7a^2 - 6a^2) + (-21a - a + 10a) + 3}{2a(a^2-9)} = \frac{a^2 - 12a + 3}{2a(a^2-9)}$

Ответ: $\frac{a^2 - 12a + 3}{2a(a^2-9)}$

2) $\frac{6}{3x+3y} + \frac{8x}{4x^2-4y^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$3x+3y = 3(x+y)$

$4x^2-4y^2 = 4(x^2-y^2) = 4(x-y)(x+y)$

Общий знаменатель: $12(x-y)(x+y)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{6 \cdot 4(x-y)}{12(x-y)(x+y)} + \frac{8x \cdot 3}{12(x-y)(x+y)} = \frac{24(x-y) + 24x}{12(x-y)(x+y)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{24x - 24y + 24x}{12(x-y)(x+y)} = \frac{48x - 24y}{12(x-y)(x+y)}$

Выносим общий множитель 24 в числителе и сокращаем дробь:

$\frac{24(2x-y)}{12(x-y)(x+y)} = \frac{2(2x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2(2x-y)}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2(2x-y)}{x^2-y^2}$

3) $\frac{3a-b}{a^2-b^2} - \frac{a}{a^2-ab}$

Разложим знаменатели на множители:

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

$a^2-ab = a(a-b)$

Общий знаменатель: $a(a-b)(a+b)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(3a-b) \cdot a}{a(a-b)(a+b)} - \frac{a \cdot (a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a(3a-b) - a(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{3a^2 - ab - (a^2 + ab)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{3a^2 - ab - a^2 - ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{2a^2 - 2ab}{a(a-b)(a+b)}$

Выносим общий множитель $2a$ в числителе и сокращаем дробь:

$\frac{2a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{2}{a+b}$

Ответ: $\frac{2}{a+b}$

4) $\frac{3a}{4a^2-1} - \frac{a+1}{2a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители:

$4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$

$2a^2+a = a(2a+1)$

Общий знаменатель: $a(2a-1)(2a+1)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{3a \cdot a}{a(2a-1)(2a+1)} - \frac{(a+1)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{3a^2 - (a+1)(2a-1)}{a(4a^2-1)}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{3a^2 - (2a^2 - a + 2a - 1)}{a(4a^2-1)} = \frac{3a^2 - (2a^2 + a - 1)}{a(4a^2-1)}$

Упрощаем числитель:

$\frac{3a^2 - 2a^2 - a + 1}{a(4a^2-1)} = \frac{a^2 - a + 1}{a(4a^2-1)}$

Ответ: $\frac{a^2-a+1}{a(4a^2-1)}$

5) $\frac{b-1}{(b+3)^2} - \frac{b}{b^2-9}$

Разложим знаменатели на множители:

$(b+3)^2 = (b+3)(b+3)$

$b^2-9 = (b-3)(b+3)$

Общий знаменатель: $(b-3)(b+3)^2$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(b-1)(b-3)}{(b-3)(b+3)^2} - \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{(b-1)(b-3) - b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{b^2 - 3b - b + 3 - (b^2 + 3b)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{b^2 - 4b + 3 - b^2 - 3b}{(b-3)(b+3)^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{-7b + 3}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{3-7b}{(b-3)(b+3)^2}$

Ответ: $\frac{3-7b}{(b-3)(b+3)^2}$

6) $\frac{a-3}{a^2-4} - \frac{a}{(a-2)^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$a^2-4 = (a-2)(a+2)$

$(a-2)^2 = (a-2)(a-2)$

Общий знаменатель: $(a-2)^2(a+2)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a-3)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} - \frac{a(a+2)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{(a-3)(a-2) - a(a+2)}{(a-2)^2(a+2)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{a^2 - 2a - 3a + 6 - (a^2 + 2a)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a^2 - 5a + 6 - a^2 - 2a}{(a-2)^2(a+2)}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{-7a + 6}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{6-7a}{(a-2)^2(a+2)}$

Ответ: $\frac{6-7a}{(a-2)^2(a+2)}$

48. Найти значение выражения:

1) $\frac{7}{a+b} + \frac{8}{a-b} - \frac{16b}{a^2-b^2}$ при $a=0,05, b=-0,04;$

2) $\frac{3}{a+3} - \frac{2}{3-a} - \frac{12}{a^2-9}$ при $a=-8;$

3) $\frac{6x}{x^2-y^2} - \frac{3}{x-y} - \frac{4}{x+y}$ при $x=\frac{3}{7}, y=-\frac{1}{21};$

4) $\frac{18}{9-4a^2} - \frac{4}{2a+3} + \frac{3}{2a-3}$ при $a=-0,6.$

1) Сначала упростим выражение. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для приведения дробей к общему знаменателю:
$\frac{7}{a+b} + \frac{8}{a-b} - \frac{16b}{a^2-b^2} = \frac{7(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{8(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{16b}{(a-b)(a+b)} = \frac{7(a-b) + 8(a+b) - 16b}{(a-b)(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{7a - 7b + 8a + 8b - 16b}{a^2 - b^2} = \frac{15a - 15b}{a^2 - b^2} = \frac{15(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
Сократим дробь на $(a-b)$, так как при заданных значениях $a-b = 0,05 - (-0,04) = 0,09 \ne 0$:
$\frac{15}{a+b}$
Теперь подставим значения $a=0,05$ и $b=-0,04$:
$\frac{15}{0,05 + (-0,04)} = \frac{15}{0,01} = 1500$
Ответ: $1500$

2) Упростим выражение. Заметим, что $3-a = -(a-3)$ и $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
$\frac{3}{a+3} - \frac{2}{3-a} - \frac{12}{a^2-9} = \frac{3}{a+3} - \frac{2}{-(a-3)} - \frac{12}{(a-3)(a+3)} = \frac{3}{a+3} + \frac{2}{a-3} - \frac{12}{(a-3)(a+3)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$:
$\frac{3(a-3) + 2(a+3) - 12}{(a-3)(a+3)} = \frac{3a - 9 + 2a + 6 - 12}{(a-3)(a+3)} = \frac{5a - 15}{(a-3)(a+3)}$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{5(a-3)}{(a-3)(a+3)}$
Сократим дробь на $(a-3)$, так как при $a=-8$, $a-3 = -11 \ne 0$:
$\frac{5}{a+3}$
Подставим значение $a=-8$:
$\frac{5}{-8+3} = \frac{5}{-5} = -1$
Ответ: $-1$

3) Упростим выражение, приведя все дроби к общему знаменателю $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\frac{6x}{x^2-y^2} - \frac{3}{x-y} - \frac{4}{x+y} = \frac{6x}{(x-y)(x+y)} - \frac{3(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{4(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{6x - 3(x+y) - 4(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{6x - 3x - 3y - 4x + 4y}{x^2-y^2} = \frac{-x+y}{x^2-y^2}$
Вынесем минус за скобки в числителе и разложим знаменатель на множители:
$\frac{-(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим дробь на $(x-y)$. Проверим, что $x-y \ne 0$: $x-y = \frac{3}{7} - (-\frac{1}{21}) = \frac{9}{21} + \frac{1}{21} = \frac{10}{21} \ne 0$.
$\frac{-1}{x+y}$
Теперь подставим значения $x=\frac{3}{7}$ и $y=-\frac{1}{21}$:
$x+y = \frac{3}{7} + (-\frac{1}{21}) = \frac{9}{21} - \frac{1}{21} = \frac{8}{21}$
$\frac{-1}{\frac{8}{21}} = -1 \cdot \frac{21}{8} = -\frac{21}{8}$
Ответ: $-\frac{21}{8}$

4) Упростим выражение. Используем формулы $9-4a^2 = (3-2a)(3+2a)$ и $2a-3 = -(3-2a)$.
$\frac{18}{9-4a^2} - \frac{4}{2a+3} + \frac{3}{2a-3} = \frac{18}{(3-2a)(3+2a)} - \frac{4}{3+2a} - \frac{3}{3-2a}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(3-2a)(3+2a)$:
$\frac{18}{(3-2a)(3+2a)} - \frac{4(3-2a)}{(3+2a)(3-2a)} - \frac{3(3+2a)}{(3-2a)(3+2a)}$
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{18 - 4(3-2a) - 3(3+2a)}{(3-2a)(3+2a)} = \frac{18 - 12 + 8a - 9 - 6a}{9-4a^2} = \frac{2a - 3}{9-4a^2}$
Заметим, что $2a-3 = -(3-2a)$ и $9-4a^2 = (3-2a)(3+2a)$:
$\frac{-(3-2a)}{(3-2a)(3+2a)}$
Сократим дробь на $(3-2a)$. Проверим, что $3-2a \ne 0$ при $a=-0,6$: $3 - 2(-0,6) = 3 + 1,2 = 4,2 \ne 0$.
$\frac{-1}{3+2a}$
Подставим значение $a=-0,6$:
$\frac{-1}{3+2(-0,6)} = \frac{-1}{3-1,2} = \frac{-1}{1,8} = -\frac{1}{18/10} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}$
Ответ: $-\frac{5}{9}$