Страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

29. 1) $\frac{3b}{b-2}$ И $\frac{4}{b^2-4}$;

2) $\frac{7a}{x^2-9}$ И $\frac{a}{x+3}$;

3) $\frac{1}{1-a}$, $\frac{2a}{1+a}$ И $\frac{a^2}{1-a^2}$;

4) $\frac{6x}{x-y}$, $\frac{7xy}{x+y}$ И $\frac{3}{x^2-y^2}$.

1) Даны дроби $\frac{3b}{b-2}$ и $\frac{4}{b^2 - 4}$.

Задача состоит в том, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $b-2$.

Знаменатель второй дроби: $b^2 - 4$. Применяя формулу разности квадратов $a^2 - k^2 = (a-k)(a+k)$, получаем: $b^2 - 4 = (b-2)(b+2)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители, входящие в разложение каждого из знаменателей. Следовательно, НОЗ равен $(b-2)(b+2) = b^2 - 4$.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.

Для первой дроби $\frac{3b}{b-2}$ дополнительный множитель равен $(b+2)$. Умножим ее числитель и знаменатель на этот множитель:

$\frac{3b}{b-2} = \frac{3b \cdot (b+2)}{(b-2) \cdot (b+2)} = \frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4}$.

Вторая дробь $\frac{4}{b^2 - 4}$ уже имеет общий знаменатель, поэтому она остается без изменений.

Ответ: $\frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4}$ и $\frac{4}{b^2 - 4}$.

2) Даны дроби $\frac{7a}{x^2 - 9}$ и $\frac{a}{x+3}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $x+3$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей, то есть $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$.

Приведем дроби к НОЗ.

Первая дробь $\frac{7a}{x^2 - 9}$ уже приведена к общему знаменателю.

Для второй дроби $\frac{a}{x+3}$ дополнительным множителем будет $(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{a}{x+3} = \frac{a \cdot (x-3)}{(x+3) \cdot (x-3)} = \frac{ax - 3a}{x^2 - 9}$.

Ответ: $\frac{7a}{x^2 - 9}$ и $\frac{ax - 3a}{x^2 - 9}$.

3) Даны дроби $\frac{1}{1-a}$, $\frac{2a}{1+a}$ и $\frac{a^2}{1-a^2}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $1-a$.

Знаменатель второй дроби: $1+a$.

Знаменатель третьей дроби: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$ (формула разности квадратов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $(1-a)(1+a) = 1-a^2$.

Приведем каждую дробь к НОЗ.

Для первой дроби $\frac{1}{1-a}$ дополнительный множитель равен $(1+a)$:

$\frac{1}{1-a} = \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a) \cdot (1+a)} = \frac{1+a}{1-a^2}$.

Для второй дроби $\frac{2a}{1+a}$ дополнительный множитель равен $(1-a)$:

$\frac{2a}{1+a} = \frac{2a \cdot (1-a)}{(1+a) \cdot (1-a)} = \frac{2a - 2a^2}{1-a^2}$.

Третья дробь $\frac{a^2}{1-a^2}$ уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{1+a}{1-a^2}$, $\frac{2a - 2a^2}{1-a^2}$ и $\frac{a^2}{1-a^2}$.

4) Даны дроби $\frac{6x}{x-y}$, $\frac{7xy}{x+y}$ и $\frac{3}{x^2-y^2}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x-y$.

Знаменатель второй дроби: $x+y$.

Знаменатель третьей дроби: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ (формула разности квадратов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Приведем каждую дробь к НОЗ.

Для первой дроби $\frac{6x}{x-y}$ дополнительный множитель равен $(x+y)$:

$\frac{6x}{x-y} = \frac{6x \cdot (x+y)}{(x-y) \cdot (x+y)} = \frac{6x^2 + 6xy}{x^2-y^2}$.

Для второй дроби $\frac{7xy}{x+y}$ дополнительный множитель равен $(x-y)$:

$\frac{7xy}{x+y} = \frac{7xy \cdot (x-y)}{(x+y) \cdot (x-y)} = \frac{7x^2y - 7xy^2}{x^2-y^2}$.

Третья дробь $\frac{3}{x^2-y^2}$ уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{6x^2 + 6xy}{x^2-y^2}$, $\frac{7x^2y - 7xy^2}{x^2-y^2}$ и $\frac{3}{x^2-y^2}$.

30. 1) $\frac{m+n}{2m-2n}$ И $\frac{n^2+m^2}{m^2-n^2}$;

2) $\frac{a-b}{5a+5b}$ И $\frac{a^2+b}{a^2-b^2}$;

3) $\frac{7}{(x-y)^2}$ И $\frac{5}{x-y}$;

4) $\frac{5c}{(c-2)^2}$ И $\frac{6}{c-2}$.

1) Чтобы привести дроби $\frac{m+n}{2m-2n}$ и $\frac{n^2+m^2}{m^2-n^2}$ к общему знаменателю, сначала разложим их знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $2m-2n = 2(m-n)$.

Знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители из обоих знаменателей. Таким образом, НОЗ равен $2(m-n)(m+n)$, что можно записать как $2(m^2-n^2)$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $\frac{2(m-n)(m+n)}{2(m-n)} = m+n$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(m+n)$:
$\frac{m+n}{2(m-n)} = \frac{(m+n)(m+n)}{2(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{2(m^2-n^2)} = \frac{m^2+2mn+n^2}{2(m^2-n^2)}$.

Для второй дроби дополнительный множитель равен $\frac{2(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = 2$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$\frac{n^2+m^2}{m^2-n^2} = \frac{(n^2+m^2) \cdot 2}{(m-n)(m+n) \cdot 2} = \frac{2m^2+2n^2}{2(m^2-n^2)}$.

Ответ: $\frac{m^2+2mn+n^2}{2(m^2-n^2)}$ и $\frac{2m^2+2n^2}{2(m^2-n^2)}$.

2) Приведем дроби $\frac{a-b}{5a+5b}$ и $\frac{a^2+b}{a^2-b^2}$ к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $5a+5b = 5(a+b)$.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $5(a-b)(a+b)$, или $5(a^2-b^2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{5(a-b)(a+b)}{5(a+b)} = a-b$.

Преобразуем первую дробь:
$\frac{a-b}{5(a+b)} = \frac{(a-b)(a-b)}{5(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{5(a^2-b^2)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{5(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = 5$.

Преобразуем вторую дробь:
$\frac{a^2+b}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+b) \cdot 5}{5(a^2-b^2)} = \frac{5a^2+5b}{5(a^2-b^2)}$.

Ответ: $\frac{a^2-2ab+b^2}{5(a^2-b^2)}$ и $\frac{5a^2+5b}{5(a^2-b^2)}$.

3) Приведем дроби $\frac{7}{(x-y)^2}$ и $\frac{5}{x-y}$ к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $(x-y)^2$ и $(x-y)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это выражение $(x-y)$ в наивысшей встречающейся степени, то есть $(x-y)^2$.

Первая дробь $\frac{7}{(x-y)^2}$ уже имеет нужный знаменатель, поэтому она не изменяется.

Для второй дроби $\frac{5}{x-y}$ дополнительный множитель равен $\frac{(x-y)^2}{x-y} = x-y$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-y)$:
$\frac{5}{x-y} = \frac{5(x-y)}{(x-y)(x-y)} = \frac{5x-5y}{(x-y)^2}$.

Ответ: $\frac{7}{(x-y)^2}$ и $\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$.

4) Приведем дроби $\frac{5c}{(c-2)^2}$ и $\frac{6}{c-2}$ к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $(c-2)^2$ и $(c-2)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — это $(c-2)^2$.

Первая дробь $\frac{5c}{(c-2)^2}$ уже приведена к этому знаменателю.

Для второй дроби $\frac{6}{c-2}$ дополнительный множитель равен $\frac{(c-2)^2}{c-2} = c-2$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(c-2)$:
$\frac{6}{c-2} = \frac{6(c-2)}{(c-2)(c-2)} = \frac{6c-12}{(c-2)^2}$.

Ответ: $\frac{5c}{(c-2)^2}$ и $\frac{6c-12}{(c-2)^2}$.

31. Записать выражения в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) $a$ и $\frac{c}{b}$;

2) $ab, \frac{3c}{2b}$ и $\frac{a}{4b}$;

3) $ab, \frac{3}{4ab}$ и $\frac{2}{ab^2}$;

4) $3b$ и $\frac{7}{6a}$;

5) $a-b, \frac{1}{a+b}$ и $\frac{1}{a-b}$;

6) $a+b, \frac{3}{ab}$ и $\frac{1}{a-b}$.

1) Даны выражения $a$ и $\frac{c}{b}$. Чтобы привести их к общему знаменателю, представим выражение $a$ в виде дроби со знаменателем 1: $a = \frac{a}{1}$. Знаменатели данных дробей — это 1 и $b$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — это $b$.
Приведем дробь $\frac{a}{1}$ к знаменателю $b$, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $b$:
$\frac{a}{1} = \frac{a \cdot b}{1 \cdot b} = \frac{ab}{b}$.
Вторая дробь $\frac{c}{b}$ уже имеет требуемый знаменатель.
Ответ: $\frac{ab}{b}$ и $\frac{c}{b}$.

2) Даны выражения $ab$, $\frac{3c}{2b}$ и $\frac{a}{4b}$. Представим $ab$ в виде дроби $\frac{ab}{1}$. Знаменатели дробей — это $1$, $2b$ и $4b$. Наименьший общий знаменатель для них — $4b$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $4b$:
Для дроби $\frac{ab}{1}$ дополнительный множитель равен $4b$: $\frac{ab \cdot 4b}{1 \cdot 4b} = \frac{4ab^2}{4b}$.
Для дроби $\frac{3c}{2b}$ дополнительный множитель равен $2$: $\frac{3c \cdot 2}{2b \cdot 2} = \frac{6c}{4b}$.
Дробь $\frac{a}{4b}$ уже имеет знаменатель $4b$.
Ответ: $\frac{4ab^2}{4b}$, $\frac{6c}{4b}$ и $\frac{a}{4b}$.

3) Даны выражения $ab$, $\frac{3}{4ab}$ и $\frac{2}{ab^2}$. Представим $ab$ в виде дроби $\frac{ab}{1}$. Знаменатели дробей — это $1$, $4ab$ и $ab^2$. Наименьший общий знаменатель для них — $4ab^2$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $4ab^2$:
Для дроби $\frac{ab}{1}$ дополнительный множитель равен $4ab^2$: $\frac{ab \cdot 4ab^2}{1 \cdot 4ab^2} = \frac{4a^2b^3}{4ab^2}$.
Для дроби $\frac{3}{4ab}$ дополнительный множитель равен $b$: $\frac{3 \cdot b}{4ab \cdot b} = \frac{3b}{4ab^2}$.
Для дроби $\frac{2}{ab^2}$ дополнительный множитель равен $4$: $\frac{2 \cdot 4}{ab^2 \cdot 4} = \frac{8}{4ab^2}$.
Ответ: $\frac{4a^2b^3}{4ab^2}$, $\frac{3b}{4ab^2}$ и $\frac{8}{4ab^2}$.

4) Даны выражения $3b$ и $\frac{7}{6a}$. Представим $3b$ в виде дроби $\frac{3b}{1}$. Знаменатели дробей — $1$ и $6a$. Наименьший общий знаменатель — $6a$.
Приведем дробь $\frac{3b}{1}$ к знаменателю $6a$, умножив числитель и знаменатель на $6a$:
$\frac{3b}{1} = \frac{3b \cdot 6a}{1 \cdot 6a} = \frac{18ab}{6a}$.
Вторая дробь $\frac{7}{6a}$ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $\frac{18ab}{6a}$ и $\frac{7}{6a}$.

5) Даны выражения $a-b$, $\frac{1}{a+b}$ и $\frac{1}{a-b}$. Представим $a-b$ в виде дроби $\frac{a-b}{1}$. Знаменатели дробей — $1$, $a+b$ и $a-b$. Наименьший общий знаменатель — это произведение $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $a^2-b^2$:
Для $\frac{a-b}{1}$ дополнительный множитель $(a+b)(a-b)$: $\frac{(a-b) \cdot (a+b)(a-b)}{1 \cdot (a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2-b^2}$.
Для $\frac{1}{a+b}$ дополнительный множитель $(a-b)$: $\frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a^2-b^2}$.
Для $\frac{1}{a-b}$ дополнительный множитель $(a+b)$: $\frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2-b^2}$, $\frac{a-b}{a^2-b^2}$ и $\frac{a+b}{a^2-b^2}$.

6) Даны выражения $a+b$, $\frac{3}{ab}$ и $\frac{1}{a-b}$. Представим $a+b$ как дробь $\frac{a+b}{1}$. Знаменатели дробей — $1$, $ab$ и $a-b$. Так как у них нет общих множителей, наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ab(a-b)$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $ab(a-b)$:
Для $\frac{a+b}{1}$ дополнительный множитель $ab(a-b)$: $\frac{(a+b) \cdot ab(a-b)}{1 \cdot ab(a-b)} = \frac{ab(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} = \frac{ab(a^2-b^2)}{ab(a-b)}$.
Для $\frac{3}{ab}$ дополнительный множитель $(a-b)$: $\frac{3 \cdot (a-b)}{ab(a-b)} = \frac{3(a-b)}{ab(a-b)}$.
Для $\frac{1}{a-b}$ дополнительный множитель $ab$: $\frac{1 \cdot ab}{(a-b) \cdot ab} = \frac{ab}{ab(a-b)}$.
Ответ: $\frac{ab(a^2-b^2)}{ab(a-b)}$, $\frac{3(a-b)}{ab(a-b)}$ и $\frac{ab}{ab(a-b)}$.

32. Привести к общему знаменателю:

1) $ \frac{1}{a^2 - 4b^2} $, $ \frac{1}{3a^2 + 6ab} $ и $ \frac{1}{2ab - a^2} $;

2) $ \frac{5}{4x - 4} $, $ \frac{4x}{1 - x^2} $ и $ \frac{1}{3x^2 + 3x} $;

3) $ \frac{5x}{x^2 - 4} $, $ \frac{3x + y}{x^2 + 4x + 4} $ и $ \frac{y - x}{x^2 - 4x + 4} $;

4) $ \frac{3a}{2a - 3} $, $ \frac{4a}{2a + 3} $ и $ \frac{5b}{4a^2 c - 9c} $.

1) Чтобы привести дроби $\frac{1}{a^2 - 4b^2}$, $\frac{1}{3a^2 + 6ab}$ и $\frac{1}{2ab - a^2}$ к общему знаменателю, сначала разложим каждый знаменатель на множители.
Знаменатель первой дроби: $a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$ (формула разности квадратов).
Знаменатель второй дроби: $3a^2 + 6ab = 3a(a + 2b)$ (вынесение общего множителя за скобки).
Знаменатель третьей дроби: $2ab - a^2 = a(2b - a) = -a(a - 2b)$ (вынесение общего множителя и смена знака).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен включать все уникальные множители в их наивысшей степени. Множители: $3$, $a$, $(a - 2b)$, $(a + 2b)$.
Таким образом, НОЗ равен $3a(a - 2b)(a + 2b) = 3a(a^2 - 4b^2)$.
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.
Для дроби $\frac{1}{a^2 - 4b^2} = \frac{1}{(a - 2b)(a + 2b)}$ дополнительный множитель: $3a$.
$\frac{1 \cdot 3a}{(a - 2b)(a + 2b) \cdot 3a} = \frac{3a}{3a(a^2 - 4b^2)}$.
Для дроби $\frac{1}{3a^2 + 6ab} = \frac{1}{3a(a + 2b)}$ дополнительный множитель: $(a - 2b)$.
$\frac{1 \cdot (a - 2b)}{3a(a + 2b) \cdot (a - 2b)} = \frac{a - 2b}{3a(a^2 - 4b^2)}$.
Для дроби $\frac{1}{2ab - a^2} = \frac{1}{-a(a - 2b)}$ дополнительный множитель: $-3(a + 2b)$.
$\frac{1 \cdot (-3(a + 2b))}{-a(a - 2b) \cdot (-3(a + 2b))} = \frac{-3a - 6b}{3a(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{-3a - 6b}{3a(a^2 - 4b^2)}$.
Ответ: $\frac{3a}{3a(a^2 - 4b^2)}$, $\frac{a - 2b}{3a(a^2 - 4b^2)}$, $\frac{-3a - 6b}{3a(a^2 - 4b^2)}$.

2) Чтобы привести дроби $\frac{5}{4x - 4}$, $\frac{4x}{1 - x^2}$ и $\frac{1}{3x^2 + 3x}$ к общему знаменателю, разложим знаменатели на множители.
$4x - 4 = 4(x - 1)$.
$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(x + 1)$.
$3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) находим как произведение всех уникальных множителей в наивысшей степени. Множители: $4$, $3$, $x$, $(x-1)$, $(x+1)$. НОК(4, 3) = 12.
НОЗ = $12x(x - 1)(x + 1) = 12x(x^2 - 1)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Для $\frac{5}{4(x - 1)}$ дополнительный множитель: $3x(x + 1)$.
$\frac{5 \cdot 3x(x + 1)}{4(x - 1) \cdot 3x(x + 1)} = \frac{15x^2 + 15x}{12x(x^2 - 1)}$.
Для $\frac{4x}{1 - x^2} = \frac{4x}{-(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $-12x$.
$\frac{4x \cdot (-12x)}{-(x - 1)(x + 1) \cdot (-12x)} = \frac{-48x^2}{12x(x^2 - 1)}$.
Для $\frac{1}{3x(x + 1)}$ дополнительный множитель: $4(x - 1)$.
$\frac{1 \cdot 4(x - 1)}{3x(x + 1) \cdot 4(x - 1)} = \frac{4x - 4}{12x(x^2 - 1)}$.
Ответ: $\frac{15x^2 + 15x}{12x(x^2 - 1)}$, $\frac{-48x^2}{12x(x^2 - 1)}$, $\frac{4x - 4}{12x(x^2 - 1)}$.

3) Чтобы привести дроби $\frac{5x}{x^2 - 4}$, $\frac{3x + y}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{y - x}{x^2 - 4x + 4}$ к общему знаменателю, разложим знаменатели на множители.
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (разность квадратов).
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ (квадрат суммы).
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ (квадрат разности).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать каждый множитель в наивысшей из встречающихся степеней.
НОЗ = $(x - 2)^2(x + 2)^2 = ((x - 2)(x + 2))^2 = (x^2 - 4)^2$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Для $\frac{5x}{x^2 - 4}$ дополнительный множитель: $(x^2 - 4)$.
$\frac{5x \cdot (x^2 - 4)}{(x^2 - 4) \cdot (x^2 - 4)} = \frac{5x(x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2}$.
Для $\frac{3x + y}{(x + 2)^2}$ дополнительный множитель: $(x - 2)^2$.
$\frac{(3x + y) \cdot (x - 2)^2}{(x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2} = \frac{(3x + y)(x - 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$.
Для $\frac{y - x}{(x - 2)^2}$ дополнительный множитель: $(x + 2)^2$.
$\frac{(y - x) \cdot (x + 2)^2}{(x - 2)^2 \cdot (x + 2)^2} = \frac{(y - x)(x + 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$.
Ответ: $\frac{5x(x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2}$, $\frac{(3x + y)(x - 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$, $\frac{(y - x)(x + 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$.

4) Чтобы привести дроби $\frac{3a}{2a - 3}$, $\frac{4a}{2a + 3}$ и $\frac{5b}{4a^2c - 9c}$ к общему знаменателю, разложим знаменатели на множители.
Знаменатели $2a - 3$ и $2a + 3$ являются простыми.
$4a^2c - 9c = c(4a^2 - 9) = c(2a - 3)(2a + 3)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей: $c(2a - 3)(2a + 3) = c(4a^2 - 9)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Для $\frac{3a}{2a - 3}$ дополнительный множитель: $c(2a + 3)$.
$\frac{3a \cdot c(2a + 3)}{(2a - 3) \cdot c(2a + 3)} = \frac{3ac(2a + 3)}{c(4a^2 - 9)} = \frac{6a^2c + 9ac}{c(4a^2 - 9)}$.
Для $\frac{4a}{2a + 3}$ дополнительный множитель: $c(2a - 3)$.
$\frac{4a \cdot c(2a - 3)}{(2a + 3) \cdot c(2a - 3)} = \frac{4ac(2a - 3)}{c(4a^2 - 9)} = \frac{8a^2c - 12ac}{c(4a^2 - 9)}$.
Знаменатель третьей дроби $\frac{5b}{c(4a^2 - 9)}$ уже является общим, поэтому она не изменяется (дополнительный множитель 1).
Ответ: $\frac{6a^2c + 9ac}{c(4a^2 - 9)}$, $\frac{8a^2c - 12ac}{c(4a^2 - 9)}$, $\frac{5b}{c(4a^2 - 9)}$.

33. Решить уравнение:

1) $\frac{(2x+1)(x+3)}{75} - \frac{(4-x)(4+x)}{25} = \frac{x(x+2)}{15};$

2) $\frac{x(x-1)}{7} - \frac{2(x^2+1)}{28} = \frac{(x-1)(x+2)}{14};$

3) $\frac{(2-x)(2+x)}{3} - \frac{x-x^2}{4} = \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{7x^2}{36};$

4) $\frac{(x-2)^2}{5} + \frac{2x^2-3}{15} = \frac{(x-1)(x+1)}{3}.$

1) Дано уравнение: $\frac{(2x + 1)(x + 3)}{75} - \frac{(4 - x)(4 + x)}{25} = \frac{x(x + 2)}{15}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 75, 25 и 15, которое равно 75.
$75 \cdot \frac{(2x + 1)(x + 3)}{75} - 75 \cdot \frac{(4 - x)(4 + x)}{25} = 75 \cdot \frac{x(x + 2)}{15}$.
$(2x + 1)(x + 3) - 3(4 - x)(4 + x) = 5x(x + 2)$.
Раскроем скобки. Для $(4-x)(4+x)$ используем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(2x^2 + 6x + x + 3) - 3(16 - x^2) = 5x^2 + 10x$.
$2x^2 + 7x + 3 - 48 + 3x^2 = 5x^2 + 10x$.
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(2x^2 + 3x^2) + 7x + (3 - 48) = 5x^2 + 10x$.
$5x^2 + 7x - 45 = 5x^2 + 10x$.
Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:
$7x - 45 = 10x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$-45 = 10x - 7x$.
$-45 = 3x$.
$x = \frac{-45}{3}$.
$x = -15$.
Ответ: $x = -15$.

2) Дано уравнение: $\frac{x(x - 1)}{7} - \frac{2(x^2 + 1)}{28} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{14}$.
Наименьший общий знаменатель для 7, 28 и 14 равен 28. Умножим обе части уравнения на 28:
$28 \cdot \frac{x(x - 1)}{7} - 28 \cdot \frac{2(x^2 + 1)}{28} = 28 \cdot \frac{(x - 1)(x + 2)}{14}$.
$4x(x - 1) - 2(x^2 + 1) = 2(x - 1)(x + 2)$.
Раскроем скобки:
$4x^2 - 4x - 2x^2 - 2 = 2(x^2 + 2x - x - 2)$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x^2 - 4x - 2 = 2(x^2 + x - 2)$.
$2x^2 - 4x - 2 = 2x^2 + 2x - 4$.
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-4x - 2 = 2x - 4$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-4x - 2x = -4 + 2$.
$-6x = -2$.
$x = \frac{-2}{-6}$.
$x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение: $\frac{(2 - x)(2 + x)}{3} - \frac{x - x^2}{4} = \frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{7x^2}{36}$.
Наименьший общий знаменатель для 3, 4, 9 и 36 равен 36. Умножим обе части на 36:
$36 \cdot \frac{(2 - x)(2 + x)}{3} - 36 \cdot \frac{x - x^2}{4} = 36 \cdot \frac{(x - 1)^2}{9} - 36 \cdot \frac{7x^2}{36}$.
$12(2 - x)(2 + x) - 9(x - x^2) = 4(x - 1)^2 - 7x^2$.
Применим формулы сокращенного умножения:
$12(4 - x^2) - 9(x - x^2) = 4(x^2 - 2x + 1) - 7x^2$.
Раскроем скобки:
$48 - 12x^2 - 9x + 9x^2 = 4x^2 - 8x + 4 - 7x^2$.
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-3x^2 - 9x + 48 = -3x^2 - 8x + 4$.
Прибавим $3x^2$ к обеим частям:
$-9x + 48 = -8x + 4$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$48 - 4 = 9x - 8x$.
$44 = x$.
Ответ: $x = 44$.

4) Дано уравнение: $\frac{(x - 2)^2}{5} + \frac{2x^2 - 3}{15} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{3}$.
Наименьший общий знаменатель для 5, 15 и 3 равен 15. Умножим обе части на 15:
$15 \cdot \frac{(x - 2)^2}{5} + 15 \cdot \frac{2x^2 - 3}{15} = 15 \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{3}$.
$3(x - 2)^2 + (2x^2 - 3) = 5(x - 1)(x + 1)$.
Применим формулы квадрата разности и разности квадратов:
$3(x^2 - 4x + 4) + 2x^2 - 3 = 5(x^2 - 1)$.
Раскроем скобки:
$3x^2 - 12x + 12 + 2x^2 - 3 = 5x^2 - 5$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - 12x + 9 = 5x^2 - 5$.
Вычтем $5x^2$ из обеих частей:
$-12x + 9 = -5$.
Перенесем 9 в правую часть:
$-12x = -5 - 9$.
$-12x = -14$.
$x = \frac{-14}{-12} = \frac{14}{12}$.
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{7}{6}$.
Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

34. Привести дроби к общему знаменателю:

1) $\frac{5a}{a^3 - 27}$, $\frac{a - 3}{a^2 + 3a + 9}$ и $\frac{1}{a - 3}$;

2) $\frac{3}{x + 2}$, $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$ и $\frac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}$;

3) $\frac{2m}{(m - n)^3}$, $\frac{2n}{(m - n)^2}$ и $\frac{1}{m^2 - n^2}$;

4) $\frac{1}{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}$, $\frac{2}{k^2 - 1}$ и $\frac{3}{k^2 + 2k + 1}$.

1) Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $a^3 - 27$. Это формула разности кубов: $a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Знаменатель второй дроби: $a^2 + 3a + 9$. Это неполный квадрат суммы, который не раскладывается на множители в действительных числах.
Знаменатель третьей дроби: $a - 3$.
Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) будет произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени. В данном случае НОЗ = $(a - 3)(a^2 + 3a + 9) = a^3 - 27$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и приведем их к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{5a}{a^3 - 27}$ знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1. Дробь остается $\frac{5a}{a^3 - 27}$.
Для дроби $\frac{a - 3}{a^2 + 3a + 9}$ дополнительный множитель равен $(a - 3)$. Умножим числитель и знаменатель на него: $\frac{(a - 3)(a - 3)}{(a^2 + 3a + 9)(a - 3)} = \frac{(a-3)^2}{a^3 - 27} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a^3 - 27}$.
Для дроби $\frac{1}{a - 3}$ дополнительный множитель равен $(a^2 + 3a + 9)$. Умножим числитель и знаменатель на него: $\frac{1 \cdot (a^2 + 3a + 9)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} = \frac{a^2 + 3a + 9}{a^3 - 27}$.
Ответ: $\frac{5a}{a^3 - 27}$, $\frac{a^2 - 6a + 9}{a^3 - 27}$, $\frac{a^2 + 3a + 9}{a^3 - 27}$.

2) Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x + 2$.
Знаменатель второй дроби: $x^3 + 8$. Это формула суммы кубов: $x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Знаменатель третьей дроби: $x^2 - 2x + 4$. Это неполный квадрат разности.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 8$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{3}{x + 2}$ дополнительный множитель равен $(x^2 - 2x + 4)$. Получаем: $\frac{3(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{3x^2 - 6x + 12}{x^3 + 8}$.
Для дроби $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$ знаменатель уже является общим. Дробь остается $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$.
Для дроби $\frac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}$ дополнительный множитель равен $(x + 2)$. Получаем: $\frac{(x + 2)(x + 2)}{(x^2 - 2x + 4)(x + 2)} = \frac{(x + 2)^2}{x^3 + 8} = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^3 + 8}$.
Ответ: $\frac{3x^2 - 6x + 12}{x^3 + 8}$, $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$, $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^3 + 8}$.

3) Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $(m - n)^3$.
Знаменатель второй дроби: $(m - n)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $m^2 - n^2$. Это формула разности квадратов: $(m - n)(m + n)$.
Для нахождения НОЗ берем каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается. НОЗ = $(m - n)^3(m + n)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{2m}{(m - n)^3}$ дополнительный множитель равен $(m + n)$. Получаем: $\frac{2m(m + n)}{(m - n)^3(m + n)} = \frac{2m^2 + 2mn}{(m - n)^3(m + n)}$.
Для дроби $\frac{2n}{(m - n)^2}$ дополнительный множитель равен $(m - n)(m + n)$. Получаем: $\frac{2n(m - n)(m + n)}{(m - n)^2(m - n)(m + n)} = \frac{2n(m^2 - n^2)}{(m - n)^3(m + n)} = \frac{2nm^2 - 2n^3}{(m - n)^3(m + n)}$.
Для дроби $\frac{1}{m^2 - n^2} = \frac{1}{(m - n)(m + n)}$ дополнительный множитель равен $(m - n)^2$. Получаем: $\frac{1 \cdot (m - n)^2}{(m - n)(m + n)(m - n)^2} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m - n)^3(m + n)}$.
Ответ: $\frac{2m^2 + 2mn}{(m - n)^3(m + n)}$, $\frac{2nm^2 - 2n^3}{(m - n)^3(m + n)}$, $\frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m - n)^3(m + n)}$.

4) Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Знаменатель первой дроби: $k^3 + 3k^2 + 3k + 1$. Это формула куба суммы: $(k + 1)^3$.
Знаменатель второй дроби: $k^2 - 1$. Это формула разности квадратов: $(k - 1)(k + 1)$.
Знаменатель третьей дроби: $k^2 + 2k + 1$. Это формула квадрата суммы: $(k + 1)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению множителей $(k-1)$ и $(k+1)$ в их наивысших степенях: $(k - 1)(k + 1)^3$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{1}{(k + 1)^3}$ дополнительный множитель равен $(k - 1)$. Получаем: $\frac{1 \cdot (k - 1)}{(k + 1)^3(k - 1)} = \frac{k - 1}{(k + 1)^3(k - 1)}$.
Для дроби $\frac{2}{(k - 1)(k + 1)}$ дополнительный множитель равен $(k + 1)^2$. Получаем: $\frac{2(k + 1)^2}{(k - 1)(k + 1)(k + 1)^2} = \frac{2(k^2 + 2k + 1)}{(k + 1)^3(k - 1)} = \frac{2k^2 + 4k + 2}{(k + 1)^3(k - 1)}$.
Для дроби $\frac{3}{(k + 1)^2}$ дополнительный множитель равен $(k - 1)(k + 1) = k^2 - 1$. Получаем: $\frac{3(k - 1)(k + 1)}{(k + 1)^2(k - 1)(k + 1)} = \frac{3(k^2 - 1)}{(k + 1)^3(k - 1)} = \frac{3k^2 - 3}{(k + 1)^3(k - 1)}$.
Ответ: $\frac{k - 1}{(k + 1)^3(k - 1)}$, $\frac{2k^2 + 4k + 2}{(k + 1)^3(k - 1)}$, $\frac{3k^2 - 3}{(k + 1)^3(k - 1)}$.

35. Пусть $n$ — натуральное число. Найти общий знаменатель дробей:

1) $ \frac{1}{x^{4n} - y^{4n}} $, $ \frac{1}{x^{2n} - y^{2n}} $ и $ \frac{1}{x^n - y^n} $

2) $ \frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} $, $ \frac{1}{a^n - b^n} $ и $ \frac{1}{a^n + b^n} $

1) Чтобы найти общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{x^{4n} - y^{4n}} $, $ \frac{1}{x^{2n} - y^{2n}} $ и $ \frac{1}{x^n - y^n} $, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Для этого разложим каждый знаменатель на множители, применяя формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $.

Разложим первый знаменатель:
$ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) $.

Разложим второй знаменатель, который также является множителем в первом:
$ x^{2n} - y^{2n} = (x^n)^2 - (y^n)^2 = (x^n - y^n)(x^n + y^n) $.

Таким образом, мы видим, что:
Знаменатель первой дроби: $ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) = (x^n - y^n)(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n}) $.
Знаменатель второй дроби: $ x^{2n} - y^{2n} = (x^n - y^n)(x^n + y^n) $.
Знаменатель третьей дроби: $ x^n - y^n $.

Наименьший общий знаменатель должен содержать все множители каждого знаменателя. Мы видим, что второй и третий знаменатели являются делителями первого знаменателя. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен первому знаменателю.

Ответ: $ x^{4n} - y^{4n} $.

2) Чтобы найти общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} $, $ \frac{1}{a^n - b^n} $ и $ \frac{1}{a^n + b^n} $, найдем НОК их знаменателей.

Разложим первый знаменатель на множители по формуле разности квадратов:
$ a^{2n} - b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $.

Сравним знаменатели:
Знаменатель первой дроби: $ a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $.
Знаменатель второй дроби: $ a^n - b^n $.
Знаменатель третьей дроби: $ a^n + b^n $.

Первый знаменатель является произведением второго и третьего знаменателей. Это означает, что он делится нацело и на второй, и на третий знаменатели. Таким образом, он и является их наименьшим общим кратным.

Ответ: $ a^{2n} - b^{2n} $.