Номер 30, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 30, страница 15.

Условие.

30. 1) $\frac{m+n}{2m-2n}$ И $\frac{n^2+m^2}{m^2-n^2}$;

2) $\frac{a-b}{5a+5b}$ И $\frac{a^2+b}{a^2-b^2}$;

3) $\frac{7}{(x-y)^2}$ И $\frac{5}{x-y}$;

4) $\frac{5c}{(c-2)^2}$ И $\frac{6}{c-2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы привести дроби $\frac{m+n}{2m-2n}$ и $\frac{n^2+m^2}{m^2-n^2}$ к общему знаменателю, сначала разложим их знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $2m-2n = 2(m-n)$.

Знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители из обоих знаменателей. Таким образом, НОЗ равен $2(m-n)(m+n)$, что можно записать как $2(m^2-n^2)$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $\frac{2(m-n)(m+n)}{2(m-n)} = m+n$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(m+n)$:
$\frac{m+n}{2(m-n)} = \frac{(m+n)(m+n)}{2(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{2(m^2-n^2)} = \frac{m^2+2mn+n^2}{2(m^2-n^2)}$.

Для второй дроби дополнительный множитель равен $\frac{2(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = 2$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$\frac{n^2+m^2}{m^2-n^2} = \frac{(n^2+m^2) \cdot 2}{(m-n)(m+n) \cdot 2} = \frac{2m^2+2n^2}{2(m^2-n^2)}$.

Ответ: $\frac{m^2+2mn+n^2}{2(m^2-n^2)}$ и $\frac{2m^2+2n^2}{2(m^2-n^2)}$.

2) Приведем дроби $\frac{a-b}{5a+5b}$ и $\frac{a^2+b}{a^2-b^2}$ к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $5a+5b = 5(a+b)$.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $5(a-b)(a+b)$, или $5(a^2-b^2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{5(a-b)(a+b)}{5(a+b)} = a-b$.

Преобразуем первую дробь:
$\frac{a-b}{5(a+b)} = \frac{(a-b)(a-b)}{5(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{5(a^2-b^2)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{5(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = 5$.

Преобразуем вторую дробь:
$\frac{a^2+b}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+b) \cdot 5}{5(a^2-b^2)} = \frac{5a^2+5b}{5(a^2-b^2)}$.

Ответ: $\frac{a^2-2ab+b^2}{5(a^2-b^2)}$ и $\frac{5a^2+5b}{5(a^2-b^2)}$.

3) Приведем дроби $\frac{7}{(x-y)^2}$ и $\frac{5}{x-y}$ к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $(x-y)^2$ и $(x-y)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это выражение $(x-y)$ в наивысшей встречающейся степени, то есть $(x-y)^2$.

Первая дробь $\frac{7}{(x-y)^2}$ уже имеет нужный знаменатель, поэтому она не изменяется.

Для второй дроби $\frac{5}{x-y}$ дополнительный множитель равен $\frac{(x-y)^2}{x-y} = x-y$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-y)$:
$\frac{5}{x-y} = \frac{5(x-y)}{(x-y)(x-y)} = \frac{5x-5y}{(x-y)^2}$.

Ответ: $\frac{7}{(x-y)^2}$ и $\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$.

4) Приведем дроби $\frac{5c}{(c-2)^2}$ и $\frac{6}{c-2}$ к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $(c-2)^2$ и $(c-2)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — это $(c-2)^2$.

Первая дробь $\frac{5c}{(c-2)^2}$ уже приведена к этому знаменателю.

Для второй дроби $\frac{6}{c-2}$ дополнительный множитель равен $\frac{(c-2)^2}{c-2} = c-2$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(c-2)$:
$\frac{6}{c-2} = \frac{6(c-2)}{(c-2)(c-2)} = \frac{6c-12}{(c-2)^2}$.

Ответ: $\frac{5c}{(c-2)^2}$ и $\frac{6c-12}{(c-2)^2}$.