Номер 29, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 29, страница 15.

Условие.

29. 1) $\frac{3b}{b-2}$ И $\frac{4}{b^2-4}$;

2) $\frac{7a}{x^2-9}$ И $\frac{a}{x+3}$;

3) $\frac{1}{1-a}$, $\frac{2a}{1+a}$ И $\frac{a^2}{1-a^2}$;

4) $\frac{6x}{x-y}$, $\frac{7xy}{x+y}$ И $\frac{3}{x^2-y^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Даны дроби $\frac{3b}{b-2}$ и $\frac{4}{b^2 - 4}$.

Задача состоит в том, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $b-2$.

Знаменатель второй дроби: $b^2 - 4$. Применяя формулу разности квадратов $a^2 - k^2 = (a-k)(a+k)$, получаем: $b^2 - 4 = (b-2)(b+2)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители, входящие в разложение каждого из знаменателей. Следовательно, НОЗ равен $(b-2)(b+2) = b^2 - 4$.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.

Для первой дроби $\frac{3b}{b-2}$ дополнительный множитель равен $(b+2)$. Умножим ее числитель и знаменатель на этот множитель:

$\frac{3b}{b-2} = \frac{3b \cdot (b+2)}{(b-2) \cdot (b+2)} = \frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4}$.

Вторая дробь $\frac{4}{b^2 - 4}$ уже имеет общий знаменатель, поэтому она остается без изменений.

Ответ: $\frac{3b^2 + 6b}{b^2 - 4}$ и $\frac{4}{b^2 - 4}$.

2) Даны дроби $\frac{7a}{x^2 - 9}$ и $\frac{a}{x+3}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $x+3$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей, то есть $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$.

Приведем дроби к НОЗ.

Первая дробь $\frac{7a}{x^2 - 9}$ уже приведена к общему знаменателю.

Для второй дроби $\frac{a}{x+3}$ дополнительным множителем будет $(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{a}{x+3} = \frac{a \cdot (x-3)}{(x+3) \cdot (x-3)} = \frac{ax - 3a}{x^2 - 9}$.

Ответ: $\frac{7a}{x^2 - 9}$ и $\frac{ax - 3a}{x^2 - 9}$.

3) Даны дроби $\frac{1}{1-a}$, $\frac{2a}{1+a}$ и $\frac{a^2}{1-a^2}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $1-a$.

Знаменатель второй дроби: $1+a$.

Знаменатель третьей дроби: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$ (формула разности квадратов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $(1-a)(1+a) = 1-a^2$.

Приведем каждую дробь к НОЗ.

Для первой дроби $\frac{1}{1-a}$ дополнительный множитель равен $(1+a)$:

$\frac{1}{1-a} = \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a) \cdot (1+a)} = \frac{1+a}{1-a^2}$.

Для второй дроби $\frac{2a}{1+a}$ дополнительный множитель равен $(1-a)$:

$\frac{2a}{1+a} = \frac{2a \cdot (1-a)}{(1+a) \cdot (1-a)} = \frac{2a - 2a^2}{1-a^2}$.

Третья дробь $\frac{a^2}{1-a^2}$ уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{1+a}{1-a^2}$, $\frac{2a - 2a^2}{1-a^2}$ и $\frac{a^2}{1-a^2}$.

4) Даны дроби $\frac{6x}{x-y}$, $\frac{7xy}{x+y}$ и $\frac{3}{x^2-y^2}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x-y$.

Знаменатель второй дроби: $x+y$.

Знаменатель третьей дроби: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ (формула разности квадратов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Приведем каждую дробь к НОЗ.

Для первой дроби $\frac{6x}{x-y}$ дополнительный множитель равен $(x+y)$:

$\frac{6x}{x-y} = \frac{6x \cdot (x+y)}{(x-y) \cdot (x+y)} = \frac{6x^2 + 6xy}{x^2-y^2}$.

Для второй дроби $\frac{7xy}{x+y}$ дополнительный множитель равен $(x-y)$:

$\frac{7xy}{x+y} = \frac{7xy \cdot (x-y)}{(x+y) \cdot (x-y)} = \frac{7x^2y - 7xy^2}{x^2-y^2}$.

Третья дробь $\frac{3}{x^2-y^2}$ уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{6x^2 + 6xy}{x^2-y^2}$, $\frac{7x^2y - 7xy^2}{x^2-y^2}$ и $\frac{3}{x^2-y^2}$.