Номер 1, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1, страница 18.

Условие.

1. Как складываются алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями?

Решение 4.

1. Для того чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. После этого, если возможно, следует упростить (сократить) полученную дробь.

Это правило можно выразить общей формулой. Если у нас есть дроби $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$, где $A$, $B$ и $C$ являются многочленами и $C \neq 0$, то их сумма вычисляется так:
$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

Аналогично выполняется и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$

Пошаговый алгоритм:
1. Убедиться, что знаменатели дробей идентичны.
2. Сложить или вычесть числители. При этом важно правильно раскрыть скобки, особенно при вычитании, когда знаки во втором числителе меняются на противоположные.
3. Записать новую дробь, числитель которой — это сумма или разность исходных числителей, а знаменатель — общий знаменатель.
4. Упростить (сократить) полученную дробь, если это возможно. Для этого нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить одинаковые множители.

Пример:
Сложим дроби $\frac{x^2}{x+4}$ и $\frac{8x+16}{x+4}$.
Знаменатели дробей одинаковы ($x+4$), поэтому складываем их числители:
$\frac{x^2}{x+4} + \frac{8x+16}{x+4} = \frac{x^2 + 8x + 16}{x+4}$
Теперь необходимо проверить, можно ли упростить полученную дробь. Для этого разложим числитель на множители. Выражение $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x+4)^2}{x+4}$
Сократим общий множитель $(x+4)$ в числителе и знаменателе. При этом следует учесть область допустимых значений: знаменатель не должен равняться нулю, то есть $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.
После сокращения получаем:
$x+4$

Ответ: Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Формула сложения: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$.