Номер 2, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 18.

Условие.

2. Сформулировать алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями.

Решение 4.

Для сложения или вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю. Этот процесс выполняется согласно следующему алгоритму:

1. Разложить знаменатели на множители.
   Каждый знаменатель, если это возможно, нужно представить в виде произведения простых многочленов (например, используя формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки или группировку).
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   Наименьший общий знаменатель равен произведению всех уникальных множителей, входящих в разложения знаменателей исходных дробей, причем каждый множитель берется с наибольшей степенью, с которой он встречается в разложениях.
3. Найти дополнительные множители для каждой дроби.
   Для каждой дроби дополнительный множитель находится путем деления наименьшего общего знаменателя (НОЗ) на знаменатель этой дроби.
4. Привести дроби к общему знаменателю.
   Числитель и знаменатель каждой дроби умножаются на ее дополнительный множитель. В результате все дроби будут иметь одинаковый знаменатель, равный НОЗ.
5. Выполнить сложение или вычитание числителей.
   Полученные числители складываются или вычитаются в соответствии со знаками, стоящими перед дробями. Результат записывается в числитель новой дроби, а знаменателем остается наименьший общий знаменатель.
   Важно: при вычитании дроби числитель вычитаемой дроби заключается в скобки, чтобы правильно раскрыть знаки.
6. Упростить полученную дробь.
   В числителе раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. Затем, если возможно, числитель раскладывается на множители и полученная дробь сокращается, если в числителе и знаменателе есть одинаковые множители.

Пример:

Сложить дроби: $ \frac{y+2}{y^2-y} + \frac{y-2}{y^2-1} $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ y^2 - y = y(y-1) $

$ y^2 - 1 = (y-1)(y+1) $

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ):

Уникальные множители: $y$, $(y-1)$, $(y+1)$.

НОЗ = $ y(y-1)(y+1) $

3. Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{y(y-1)(y+1)}{y(y-1)} = y+1 $

Для второй дроби: $ \frac{y(y-1)(y+1)}{(y-1)(y+1)} = y $

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(y+2)(y+1)}{y(y-1)(y+1)} + \frac{(y-2)y}{y(y-1)(y+1)} $

5. Выполним сложение числителей:

$ \frac{(y+2)(y+1) + y(y-2)}{y(y-1)(y+1)} $

6. Упростим полученную дробь:

Раскроем скобки в числителе:

$ (y+2)(y+1) = y^2 + y + 2y + 2 = y^2 + 3y + 2 $

$ y(y-2) = y^2 - 2y $

Сложим выражения в числителе:

$ (y^2 + 3y + 2) + (y^2 - 2y) = 2y^2 + y + 2 $

Получаем дробь:

$ \frac{2y^2+y+2}{y(y-1)(y+1)} $

Квадратный трехчлен $2y^2+y+2$ не имеет действительных корней (дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -15 < 0$) и не раскладывается на множители, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями состоит из следующих шагов: сначала знаменатели раскладываются на множители для нахождения наименьшего общего знаменателя (НОЗ). Затем для каждой дроби определяется дополнительный множитель, на который умножается ее числитель. После приведения всех дробей к общему знаменателю выполняется сложение или вычитание полученных числителей, и результат записывается над общим знаменателем. На последнем шаге полученная дробь упрощается путем приведения подобных слагаемых в числителе и, если возможно, сокращения. Итоговый вид дроби: $ \frac{y+2}{y^2-y} + \frac{y-2}{y^2-1} = \frac{2y^2+y+2}{y(y-1)(y+1)} $.