Номер 33, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 33, страница 15.

Условие.

33. Решить уравнение:

1) $\frac{(2x+1)(x+3)}{75} - \frac{(4-x)(4+x)}{25} = \frac{x(x+2)}{15};$

2) $\frac{x(x-1)}{7} - \frac{2(x^2+1)}{28} = \frac{(x-1)(x+2)}{14};$

3) $\frac{(2-x)(2+x)}{3} - \frac{x-x^2}{4} = \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{7x^2}{36};$

4) $\frac{(x-2)^2}{5} + \frac{2x^2-3}{15} = \frac{(x-1)(x+1)}{3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано уравнение: $\frac{(2x + 1)(x + 3)}{75} - \frac{(4 - x)(4 + x)}{25} = \frac{x(x + 2)}{15}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 75, 25 и 15, которое равно 75.
$75 \cdot \frac{(2x + 1)(x + 3)}{75} - 75 \cdot \frac{(4 - x)(4 + x)}{25} = 75 \cdot \frac{x(x + 2)}{15}$.
$(2x + 1)(x + 3) - 3(4 - x)(4 + x) = 5x(x + 2)$.
Раскроем скобки. Для $(4-x)(4+x)$ используем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(2x^2 + 6x + x + 3) - 3(16 - x^2) = 5x^2 + 10x$.
$2x^2 + 7x + 3 - 48 + 3x^2 = 5x^2 + 10x$.
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(2x^2 + 3x^2) + 7x + (3 - 48) = 5x^2 + 10x$.
$5x^2 + 7x - 45 = 5x^2 + 10x$.
Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:
$7x - 45 = 10x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$-45 = 10x - 7x$.
$-45 = 3x$.
$x = \frac{-45}{3}$.
$x = -15$.
Ответ: $x = -15$.

2) Дано уравнение: $\frac{x(x - 1)}{7} - \frac{2(x^2 + 1)}{28} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{14}$.
Наименьший общий знаменатель для 7, 28 и 14 равен 28. Умножим обе части уравнения на 28:
$28 \cdot \frac{x(x - 1)}{7} - 28 \cdot \frac{2(x^2 + 1)}{28} = 28 \cdot \frac{(x - 1)(x + 2)}{14}$.
$4x(x - 1) - 2(x^2 + 1) = 2(x - 1)(x + 2)$.
Раскроем скобки:
$4x^2 - 4x - 2x^2 - 2 = 2(x^2 + 2x - x - 2)$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x^2 - 4x - 2 = 2(x^2 + x - 2)$.
$2x^2 - 4x - 2 = 2x^2 + 2x - 4$.
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-4x - 2 = 2x - 4$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-4x - 2x = -4 + 2$.
$-6x = -2$.
$x = \frac{-2}{-6}$.
$x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение: $\frac{(2 - x)(2 + x)}{3} - \frac{x - x^2}{4} = \frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{7x^2}{36}$.
Наименьший общий знаменатель для 3, 4, 9 и 36 равен 36. Умножим обе части на 36:
$36 \cdot \frac{(2 - x)(2 + x)}{3} - 36 \cdot \frac{x - x^2}{4} = 36 \cdot \frac{(x - 1)^2}{9} - 36 \cdot \frac{7x^2}{36}$.
$12(2 - x)(2 + x) - 9(x - x^2) = 4(x - 1)^2 - 7x^2$.
Применим формулы сокращенного умножения:
$12(4 - x^2) - 9(x - x^2) = 4(x^2 - 2x + 1) - 7x^2$.
Раскроем скобки:
$48 - 12x^2 - 9x + 9x^2 = 4x^2 - 8x + 4 - 7x^2$.
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-3x^2 - 9x + 48 = -3x^2 - 8x + 4$.
Прибавим $3x^2$ к обеим частям:
$-9x + 48 = -8x + 4$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$48 - 4 = 9x - 8x$.
$44 = x$.
Ответ: $x = 44$.

4) Дано уравнение: $\frac{(x - 2)^2}{5} + \frac{2x^2 - 3}{15} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{3}$.
Наименьший общий знаменатель для 5, 15 и 3 равен 15. Умножим обе части на 15:
$15 \cdot \frac{(x - 2)^2}{5} + 15 \cdot \frac{2x^2 - 3}{15} = 15 \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{3}$.
$3(x - 2)^2 + (2x^2 - 3) = 5(x - 1)(x + 1)$.
Применим формулы квадрата разности и разности квадратов:
$3(x^2 - 4x + 4) + 2x^2 - 3 = 5(x^2 - 1)$.
Раскроем скобки:
$3x^2 - 12x + 12 + 2x^2 - 3 = 5x^2 - 5$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - 12x + 9 = 5x^2 - 5$.
Вычтем $5x^2$ из обеих частей:
$-12x + 9 = -5$.
Перенесем 9 в правую часть:
$-12x = -5 - 9$.
$-12x = -14$.
$x = \frac{-14}{-12} = \frac{14}{12}$.
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{7}{6}$.
Ответ: $x = \frac{7}{6}$.