Номер 26, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 26, страница 14.

Условие.

26. 1) $\frac{a}{b}$ И $\frac{b^2}{a}$;

2) $\frac{3b}{4a}$ И $\frac{a^2}{2b}$;

3) $\frac{b}{a}$, $\frac{a^2}{2b}$ И $\frac{c}{2ab}$;

4) $\frac{b}{3a}$, $\frac{3c}{2b}$ И $\frac{c}{6ab}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Даны дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{b^2}{a} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Знаменатели дробей - это $ b $ и $ a $. Их наименьшее общее кратное (НОК), которое и является НОЗ, равно $ ab $.
Далее найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:
- для первой дроби $ \frac{a}{b} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab}{b} = a $;
- для второй дроби $ \frac{b^2}{a} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab}{a} = b $.
Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a^2}{ab} $;
$ \frac{b^2}{a} = \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b^3}{ab} $.
Ответ: $ \frac{a^2}{ab} $ и $ \frac{b^3}{ab} $.

2) Даны дроби $ \frac{3b}{4a} $ и $ \frac{a^2}{2b} $.
Найдем НОЗ для знаменателей $ 4a $ и $ 2b $. Наименьшее общее кратное для коэффициентов 4 и 2 равно 4. Для переменных $ a $ и $ b $ - это $ ab $. Таким образом, НОЗ равен $ 4ab $.
Найдем дополнительные множители: для первой дроби это $ \frac{4ab}{4a} = b $, для второй - $ \frac{4ab}{2b} = 2a $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{3b}{4a} = \frac{3b \cdot b}{4a \cdot b} = \frac{3b^2}{4ab} $;
$ \frac{a^2}{2b} = \frac{a^2 \cdot 2a}{2b \cdot 2a} = \frac{2a^3}{4ab} $.
Ответ: $ \frac{3b^2}{4ab} $ и $ \frac{2a^3}{4ab} $.

3) Даны дроби $ \frac{b}{a} $, $ \frac{a^2}{2b} $ и $ \frac{c}{2ab} $.
Найдем НОЗ для знаменателей $ a $, $ 2b $ и $ 2ab $. НОК для коэффициентов 1, 2, 2 равно 2. НОК для переменных частей $ a $, $ b $ и $ ab $ равно $ ab $. Следовательно, НОЗ равен $ 2ab $.
Найдем дополнительные множители:
- для $ \frac{b}{a} $ это $ \frac{2ab}{a} = 2b $;
- для $ \frac{a^2}{2b} $ это $ \frac{2ab}{2b} = a $;
- для $ \frac{c}{2ab} $ знаменатель уже является НОЗ, поэтому дополнительный множитель равен 1.
Преобразуем дроби:
$ \frac{b}{a} = \frac{b \cdot 2b}{a \cdot 2b} = \frac{2b^2}{2ab} $;
$ \frac{a^2}{2b} = \frac{a^2 \cdot a}{2b \cdot a} = \frac{a^3}{2ab} $;
$ \frac{c}{2ab} = \frac{c \cdot 1}{2ab \cdot 1} = \frac{c}{2ab} $.
Ответ: $ \frac{2b^2}{2ab} $, $ \frac{a^3}{2ab} $ и $ \frac{c}{2ab} $.

4) Даны дроби $ \frac{b}{3a} $, $ \frac{3c}{2b} $ и $ \frac{c}{6ab} $.
Найдем НОЗ для знаменателей $ 3a $, $ 2b $ и $ 6ab $. НОК для числовых коэффициентов 3, 2 и 6 равно 6. НОК для переменных частей $ a $, $ b $ и $ ab $ равно $ ab $. Следовательно, НОЗ равен $ 6ab $.
Найдем дополнительные множители:
- для $ \frac{b}{3a} $ это $ \frac{6ab}{3a} = 2b $;
- для $ \frac{3c}{2b} $ это $ \frac{6ab}{2b} = 3a $;
- для $ \frac{c}{6ab} $ дополнительный множитель равен 1.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{b}{3a} = \frac{b \cdot 2b}{3a \cdot 2b} = \frac{2b^2}{6ab} $;
$ \frac{3c}{2b} = \frac{3c \cdot 3a}{2b \cdot 3a} = \frac{9ac}{6ab} $;
$ \frac{c}{6ab} = \frac{c \cdot 1}{6ab \cdot 1} = \frac{c}{6ab} $.
Ответ: $ \frac{2b^2}{6ab} $, $ \frac{9ac}{6ab} $ и $ \frac{c}{6ab} $.