Номер 2, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 14.

Условие.

2. Сформулировать алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Решение 4.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю — это тождественное преобразование, в результате которого несколько дробей с разными знаменателями заменяются на дроби с одинаковыми знаменателями, равные исходным. Этот процесс является ключевым при сложении и вычитании алгебраических дробей. Алгоритм этого преобразования следующий:

Шаг 1. Разложение знаменателей на множители

Необходимо полностью разложить на множители знаменатель каждой алгебраической дроби. Для этого применяются различные методы: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения, метод группировки и другие приемы факторизации многочленов.

Шаг 2. Составление общего знаменателя

Общий знаменатель представляет собой наименьшее общее кратное (НОК) всех исходных знаменателей. Чтобы его найти, нужно выписать все уникальные множители, встречающиеся в разложениях всех знаменателей. Каждый такой множитель берется в наибольшей степени, в которой он встречается в каком-либо из разложений. Общий знаменатель равен произведению этих множителей в указанных степенях.

Шаг 3. Нахождение дополнительных множителей

Для каждой дроби необходимо определить свой дополнительный множитель. Он находится путем деления общего знаменателя (полученного на шаге 2) на знаменатель данной дроби.

Шаг 4. Приведение дробей к новому знаменателю

Используя основное свойство дроби, нужно умножить числитель и знаменатель каждой исходной дроби на ее дополнительный множитель (найденный на шаге 3). После этого преобразования все дроби будут иметь одинаковый (общий) знаменатель.

Пример

Привести к общему знаменателю дроби $ \frac{x}{x^2 - 4} $ и $ \frac{3}{2x + 4} $.

1. Разложим знаменатели на множители:
Знаменатель первой дроби: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $ (разность квадратов).
Знаменатель второй дроби: $ 2x + 4 = 2(x+2) $ (вынесение общего множителя).

2. Составим общий знаменатель:
Уникальные множители: $ 2, (x-2), (x+2) $. Все они встречаются в первой степени.Общий знаменатель: $ 2(x-2)(x+2) $.

3. Найдем дополнительные множители:
Для дроби $ \frac{x}{(x-2)(x+2)} $ дополнительный множитель: $ \frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = 2 $.
Для дроби $ \frac{3}{2(x+2)} $ дополнительный множитель: $ \frac{2(x-2)(x+2)}{2(x+2)} = x-2 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: $ \frac{x \cdot 2}{(x-2)(x+2) \cdot 2} = \frac{2x}{2(x-2)(x+2)} $.
Вторая дробь: $ \frac{3 \cdot (x-2)}{2(x+2) \cdot (x-2)} = \frac{3x-6}{2(x-2)(x+2)} $.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $ 2(x-2)(x+2) $.

Ответ:
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
2. Найти наименьшее общее кратное всех знаменателей — это и будет общий знаменатель.
3. Для каждой дроби вычислить дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.