Страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. На основании какого свойства алгебраические дроби приводят к общему знаменателю?

Алгебраические дроби приводят к общему знаменателю на основании основного свойства алгебраической дроби.

Это свойство гласит, что если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить (или разделить) на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Формульно это свойство выражается следующим образом:$$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $$где $A$, $B$, $C$ — многочлены, причем $B$ не равен нулю ($B \ne 0$) и $C$ не равен нулю ($C \ne 0$).

При приведении дробей к общему знаменателю мы используем это свойство. Для каждой дроби мы находим так называемый дополнительный множитель ($C$). Умножая и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот множитель, мы получаем новую дробь, равную первоначальной, но с нужным нам знаменателем. Выполнив эту операцию для всех дробей так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми, мы и приводим их к общему знаменателю. Это необходимо для выполнения операций сложения и вычитания алгебраических дробей.

Ответ: Алгебраические дроби приводят к общему знаменателю на основании основного свойства алгебраической дроби, которое заключается в том, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое выражение значение дроби не изменяется.

2. Сформулировать алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю — это тождественное преобразование, в результате которого несколько дробей с разными знаменателями заменяются на дроби с одинаковыми знаменателями, равные исходным. Этот процесс является ключевым при сложении и вычитании алгебраических дробей. Алгоритм этого преобразования следующий:

Шаг 1. Разложение знаменателей на множители

Необходимо полностью разложить на множители знаменатель каждой алгебраической дроби. Для этого применяются различные методы: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения, метод группировки и другие приемы факторизации многочленов.

Шаг 2. Составление общего знаменателя

Общий знаменатель представляет собой наименьшее общее кратное (НОК) всех исходных знаменателей. Чтобы его найти, нужно выписать все уникальные множители, встречающиеся в разложениях всех знаменателей. Каждый такой множитель берется в наибольшей степени, в которой он встречается в каком-либо из разложений. Общий знаменатель равен произведению этих множителей в указанных степенях.

Шаг 3. Нахождение дополнительных множителей

Для каждой дроби необходимо определить свой дополнительный множитель. Он находится путем деления общего знаменателя (полученного на шаге 2) на знаменатель данной дроби.

Шаг 4. Приведение дробей к новому знаменателю

Используя основное свойство дроби, нужно умножить числитель и знаменатель каждой исходной дроби на ее дополнительный множитель (найденный на шаге 3). После этого преобразования все дроби будут иметь одинаковый (общий) знаменатель.

Пример

Привести к общему знаменателю дроби $ \frac{x}{x^2 - 4} $ и $ \frac{3}{2x + 4} $.

1. Разложим знаменатели на множители:
Знаменатель первой дроби: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $ (разность квадратов).
Знаменатель второй дроби: $ 2x + 4 = 2(x+2) $ (вынесение общего множителя).

2. Составим общий знаменатель:
Уникальные множители: $ 2, (x-2), (x+2) $. Все они встречаются в первой степени.Общий знаменатель: $ 2(x-2)(x+2) $.

3. Найдем дополнительные множители:
Для дроби $ \frac{x}{(x-2)(x+2)} $ дополнительный множитель: $ \frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = 2 $.
Для дроби $ \frac{3}{2(x+2)} $ дополнительный множитель: $ \frac{2(x-2)(x+2)}{2(x+2)} = x-2 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:
Первая дробь: $ \frac{x \cdot 2}{(x-2)(x+2) \cdot 2} = \frac{2x}{2(x-2)(x+2)} $.
Вторая дробь: $ \frac{3 \cdot (x-2)}{2(x+2) \cdot (x-2)} = \frac{3x-6}{2(x-2)(x+2)} $.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $ 2(x-2)(x+2) $.

Ответ:
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
2. Найти наименьшее общее кратное всех знаменателей — это и будет общий знаменатель.
3. Для каждой дроби вычислить дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

1. Найти наименьшее общее кратное чисел:

1) 5, 15 и 25;

2) 16, 24 и 32;

3) 72 и 60;

4) 108 и 162.

1) 5, 15 и 25

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел, необходимо разложить их на простые множители. Наименьшее общее кратное будет произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях.

Разложим числа 5, 15 и 25 на простые множители:

Число 5 является простым: $5 = 5^1$

Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^1$

Разложение числа 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

В разложениях встречаются простые множители 3 и 5. Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^1$. Наибольшая степень для множителя 5 – это $5^2$.

Найдем НОК, перемножив эти множители в их наибольших степенях:

НОК(5, 15, 25) = $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$

Ответ: 75

2) 16, 24 и 32

Разложим числа 16, 24 и 32 на простые множители:

Разложение числа 16: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Разложение числа 24: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

Разложение числа 32: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$

В разложениях встречаются простые множители 2 и 3. Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^5$. Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^1$.

Найдем НОК:

НОК(16, 24, 32) = $2^5 \cdot 3^1 = 32 \cdot 3 = 96$

Ответ: 96

3) 72 и 60

Разложим числа 72 и 60 на простые множители:

Разложение числа 72: $72 = 8 \cdot 9 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^2$

Разложение числа 60: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$

Простые множители в разложениях: 2, 3 и 5. Возьмем каждый из них в наибольшей степени: $2^3$, $3^2$ и $5^1$.

Вычислим НОК:

НОК(72, 60) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$

Ответ: 360

4) 108 и 162

Разложим числа 108 и 162 на простые множители:

Разложение числа 108: $108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$

Разложение числа 162: $162 = 2 \cdot 81 = 2^1 \cdot 3^4$

В разложениях встречаются простые множители 2 и 3. Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^2$. Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^4$.

Найдем НОК:

НОК(108, 162) = $2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$

Ответ: 324

2. Выполнить действия:

1) $\frac{2}{7} - \frac{3}{11}$

2) $3\frac{1}{2} + 1\frac{2}{3}$

3) $\frac{5}{12} + \frac{17}{18}$

4) $\frac{7}{15} - \frac{4}{25}$

1) $\frac{2}{7} - \frac{3}{11}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 7 и 11, которые являются простыми, будет равен их произведению.

НОЗ(7, 11) = $7 \times 11 = 77$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и приведем их к новому знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель равен $77 \div 7 = 11$. Для второй дроби — $77 \div 11 = 7$.

$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 11}{7 \times 11} = \frac{22}{77}$

$\frac{3}{11} = \frac{3 \times 7}{11 \times 7} = \frac{21}{77}$

Теперь можно выполнить вычитание:

$\frac{22}{77} - \frac{21}{77} = \frac{22 - 21}{77} = \frac{1}{77}$

Ответ: $\frac{1}{77}$.

2) $3\frac{1}{2} + 1\frac{2}{3}$

Для сложения смешанных чисел можно отдельно сложить их целые и дробные части.

Сложим целые части: $3 + 1 = 4$.

Сложим дробные части: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. НОЗ(2, 3) = 6.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$

$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3 + 4}{6} = \frac{7}{6}$

Получилась неправильная дробь $\frac{7}{6}$. Преобразуем ее в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Теперь сложим результат сложения целых частей с результатом сложения дробных частей:

$4 + 1\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}$

Ответ: $5\frac{1}{6}$.

3) $\frac{5}{12} + \frac{17}{18}$

Для сложения дробей найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. Разложим их на простые множители:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

$18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2$

НОЗ(12, 18) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Приведем дроби к знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 12 = 3$. Для второй: $36 \div 18 = 2$.

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

$\frac{17}{18} = \frac{17 \times 2}{18 \times 2} = \frac{34}{36}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{15}{36} + \frac{34}{36} = \frac{15 + 34}{36} = \frac{49}{36}$

Так как числитель больше знаменателя, это неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$

Ответ: $1\frac{13}{36}$.

4) $\frac{7}{15} - \frac{4}{25}$

Для вычитания дробей найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 25. Разложим их на простые множители:

$15 = 3 \times 5$

$25 = 5 \times 5 = 5^2$

НОЗ(15, 25) = $3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75$.

Приведем дроби к знаменателю 75. Дополнительный множитель для первой дроби: $75 \div 15 = 5$. Для второй: $75 \div 25 = 3$.

$\frac{7}{15} = \frac{7 \times 5}{15 \times 5} = \frac{35}{75}$

$\frac{4}{25} = \frac{4 \times 3}{25 \times 3} = \frac{12}{75}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{35}{75} - \frac{12}{75} = \frac{35 - 12}{75} = \frac{23}{75}$

Дробь $\frac{23}{75}$ является несократимой, так как 23 — простое число.

Ответ: $\frac{23}{75}$.

3. Найти частное:

1) $30a^2b^3c : (5ab^2)$;

2) $48x^5y^6 : (-16x^3y^3)$.

1) Чтобы найти частное одночленов $30a^2b^3c$ и $5ab^2$, необходимо разделить коэффициент первого одночлена на коэффициент второго, а затем для каждой переменной вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя.

Представим деление в виде дроби:

$30a^2b^3c : (5ab^2) = \frac{30a^2b^3c}{5ab^2}$

Разделим числовые коэффициенты:

$\frac{30}{5} = 6$

Разделим степени с основанием $a$:

$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a^1 = a$

Разделим степени с основанием $b$:

$\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b$

Переменная $c$ есть только в делимом, поэтому она остается в результате.

Соединим все полученные части:

$6 \cdot a \cdot b \cdot c = 6abc$

Ответ: $6abc$

2) Аналогично найдем частное для второго выражения $48x^5y^6 : (-16x^3y^3)$.

Представим деление в виде дроби:

$48x^5y^6 : (-16x^3y^3) = \frac{48x^5y^6}{-16x^3y^3}$

Разделим числовые коэффициенты:

$\frac{48}{-16} = -3$

Разделим степени с основанием $x$:

$\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$

Разделим степени с основанием $y$:

$\frac{y^6}{y^3} = y^{6-3} = y^3$

Объединим полученные результаты:

$-3 \cdot x^2 \cdot y^3 = -3x^2y^3$

Ответ: $-3x^2y^3$

Привести дроби к общему знаменателю (25–30).

25. 1) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{3} $;

2) $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{3}{14} $;

3) $ \frac{1}{3a} $ и $ \frac{2}{a} $;

4) $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{2b} $.

1) Даны дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели данных дробей — это 2 и 3.

Найдем НОК(2, 3). Так как 2 и 3 являются взаимно простыми числами, их наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(2, 3) = 2 \times 3 = 6$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{2}$ равен $6 \div 2 = 3$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{2}{3}$ равен $6 \div 3 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$

Таким образом, мы привели исходные дроби к общему знаменателю 6.

Ответ: $\frac{3}{6}$ и $\frac{4}{6}$.

2) Даны дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{14}$.

Знаменатели дробей — 7 и 14. Найдем их наименьшее общее кратное.

Заметим, что 14 делится на 7 без остатка ($14 = 7 \times 2$). Следовательно, НОК(7, 14) равно 14.

Общий знаменатель — 14.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{5}{7}$ равен $14 \div 7 = 2$.

Знаменатель второй дроби $\frac{3}{14}$ уже равен общему знаменателю, поэтому она остается без изменений (или ее дополнительный множитель равен 1).

Приведем первую дробь к знаменателю 14:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 2}{7 \times 2} = \frac{10}{14}$

Вторая дробь остается $\frac{3}{14}$.

Ответ: $\frac{10}{14}$ и $\frac{3}{14}$.

3) Даны дроби $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{a}$.

Знаменатели дробей — $3a$ и $a$ (при условии, что $a \neq 0$).

Найдем наименьший общий знаменатель. Он должен содержать все множители из обоих знаменателей в наивысшей степени. Знаменатель $3a$ состоит из множителей 3 и $a$. Знаменатель $a$ состоит из множителя $a$. Таким образом, наименьший общий знаменатель — это $3a$.

Первая дробь $\frac{1}{3a}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{2}{a}$ найдем дополнительный множитель: $\frac{3a}{a} = 3$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{2}{a} = \frac{2 \times 3}{a \times 3} = \frac{6}{3a}$

Дроби, приведенные к общему знаменателю, — это $\frac{1}{3a}$ и $\frac{6}{3a}$.

Ответ: $\frac{1}{3a}$ и $\frac{6}{3a}$.

4) Даны дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{2b}$.

Знаменатели дробей — $b$ и $2b$ (при условии, что $b \neq 0$).

Найдем наименьший общий знаменатель. Знаменатель $2b$ делится на знаменатель $b$ без остатка ($\frac{2b}{b} = 2$). Следовательно, наименьший общий знаменатель — это $2b$.

Для первой дроби $\frac{a}{b}$ дополнительный множитель равен $\frac{2b}{b} = 2$.

Вторая дробь $\frac{a}{2b}$ уже имеет знаменатель $2b$, поэтому она остается без изменений.

Приведем первую дробь к знаменателю $2b$:

$\frac{a}{b} = \frac{a \times 2}{b \times 2} = \frac{2a}{2b}$

Вторая дробь остается $\frac{a}{2b}$.

Ответ: $\frac{2a}{2b}$ и $\frac{a}{2b}$.

26. 1) $\frac{a}{b}$ И $\frac{b^2}{a}$;

2) $\frac{3b}{4a}$ И $\frac{a^2}{2b}$;

3) $\frac{b}{a}$, $\frac{a^2}{2b}$ И $\frac{c}{2ab}$;

4) $\frac{b}{3a}$, $\frac{3c}{2b}$ И $\frac{c}{6ab}$.

1) Даны дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{b^2}{a} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Знаменатели дробей - это $ b $ и $ a $. Их наименьшее общее кратное (НОК), которое и является НОЗ, равно $ ab $.
Далее найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:
- для первой дроби $ \frac{a}{b} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab}{b} = a $;
- для второй дроби $ \frac{b^2}{a} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab}{a} = b $.
Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a^2}{ab} $;
$ \frac{b^2}{a} = \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b^3}{ab} $.
Ответ: $ \frac{a^2}{ab} $ и $ \frac{b^3}{ab} $.

2) Даны дроби $ \frac{3b}{4a} $ и $ \frac{a^2}{2b} $.
Найдем НОЗ для знаменателей $ 4a $ и $ 2b $. Наименьшее общее кратное для коэффициентов 4 и 2 равно 4. Для переменных $ a $ и $ b $ - это $ ab $. Таким образом, НОЗ равен $ 4ab $.
Найдем дополнительные множители: для первой дроби это $ \frac{4ab}{4a} = b $, для второй - $ \frac{4ab}{2b} = 2a $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{3b}{4a} = \frac{3b \cdot b}{4a \cdot b} = \frac{3b^2}{4ab} $;
$ \frac{a^2}{2b} = \frac{a^2 \cdot 2a}{2b \cdot 2a} = \frac{2a^3}{4ab} $.
Ответ: $ \frac{3b^2}{4ab} $ и $ \frac{2a^3}{4ab} $.

3) Даны дроби $ \frac{b}{a} $, $ \frac{a^2}{2b} $ и $ \frac{c}{2ab} $.
Найдем НОЗ для знаменателей $ a $, $ 2b $ и $ 2ab $. НОК для коэффициентов 1, 2, 2 равно 2. НОК для переменных частей $ a $, $ b $ и $ ab $ равно $ ab $. Следовательно, НОЗ равен $ 2ab $.
Найдем дополнительные множители:
- для $ \frac{b}{a} $ это $ \frac{2ab}{a} = 2b $;
- для $ \frac{a^2}{2b} $ это $ \frac{2ab}{2b} = a $;
- для $ \frac{c}{2ab} $ знаменатель уже является НОЗ, поэтому дополнительный множитель равен 1.
Преобразуем дроби:
$ \frac{b}{a} = \frac{b \cdot 2b}{a \cdot 2b} = \frac{2b^2}{2ab} $;
$ \frac{a^2}{2b} = \frac{a^2 \cdot a}{2b \cdot a} = \frac{a^3}{2ab} $;
$ \frac{c}{2ab} = \frac{c \cdot 1}{2ab \cdot 1} = \frac{c}{2ab} $.
Ответ: $ \frac{2b^2}{2ab} $, $ \frac{a^3}{2ab} $ и $ \frac{c}{2ab} $.

4) Даны дроби $ \frac{b}{3a} $, $ \frac{3c}{2b} $ и $ \frac{c}{6ab} $.
Найдем НОЗ для знаменателей $ 3a $, $ 2b $ и $ 6ab $. НОК для числовых коэффициентов 3, 2 и 6 равно 6. НОК для переменных частей $ a $, $ b $ и $ ab $ равно $ ab $. Следовательно, НОЗ равен $ 6ab $.
Найдем дополнительные множители:
- для $ \frac{b}{3a} $ это $ \frac{6ab}{3a} = 2b $;
- для $ \frac{3c}{2b} $ это $ \frac{6ab}{2b} = 3a $;
- для $ \frac{c}{6ab} $ дополнительный множитель равен 1.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{b}{3a} = \frac{b \cdot 2b}{3a \cdot 2b} = \frac{2b^2}{6ab} $;
$ \frac{3c}{2b} = \frac{3c \cdot 3a}{2b \cdot 3a} = \frac{9ac}{6ab} $;
$ \frac{c}{6ab} = \frac{c \cdot 1}{6ab \cdot 1} = \frac{c}{6ab} $.
Ответ: $ \frac{2b^2}{6ab} $, $ \frac{9ac}{6ab} $ и $ \frac{c}{6ab} $.

27. 1) $\frac{1}{2p^2}$, $\frac{1}{6pk}$ И $\frac{1}{3k^2}$;

2) $\frac{1}{6b^2}$, $\frac{a^2+b^2}{9a^2b^2}$ И $\frac{3-a}{18ab^2}$;

3) $\frac{2a}{b^2}$, $\frac{4}{15a^2b}$ И $\frac{3}{20a^3b^4}$;

4) $\frac{7}{20x^4y}$, $\frac{31}{6xy^3}$ И $\frac{4}{3x^2y^4}$.

1) Даны дроби $ \frac{1}{2p^2} $, $ \frac{1}{6pk} $ и $ \frac{1}{3k^2} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $ 2p^2 $, $ 6pk $ и $ 3k^2 $.
1. Найдем НОК числовых коэффициентов: НОК(2, 6, 3) = 6.
2. Для каждой переменной выберем наибольшую степень, в которой она встречается в знаменателях: для $ p $ это $ p^2 $, для $ k $ это $ k^2 $.
3. Общий знаменатель равен произведению НОК коэффициентов и переменных в наибольших степенях: $ 6p^2k^2 $.
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.
Для дроби $ \frac{1}{2p^2} $ дополнительный множитель равен $ \frac{6p^2k^2}{2p^2} = 3k^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3k^2}{2p^2 \cdot 3k^2} = \frac{3k^2}{6p^2k^2} $.
Для дроби $ \frac{1}{6pk} $ дополнительный множитель равен $ \frac{6p^2k^2}{6pk} = pk $. Получаем: $ \frac{1 \cdot pk}{6pk \cdot pk} = \frac{pk}{6p^2k^2} $.
Для дроби $ \frac{1}{3k^2} $ дополнительный множитель равен $ \frac{6p^2k^2}{3k^2} = 2p^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 2p^2}{3k^2 \cdot 2p^2} = \frac{2p^2}{6p^2k^2} $.
Ответ: $ \frac{3k^2}{6p^2k^2} $, $ \frac{pk}{6p^2k^2} $, $ \frac{2p^2}{6p^2k^2} $.

2) Даны дроби $ \frac{1}{6b^2} $, $ \frac{a^2+b^2}{9a^2b^2} $ и $ \frac{3-a}{18ab^2} $.
Найдем НОК знаменателей: $ 6b^2 $, $ 9a^2b^2 $ и $ 18ab^2 $.
1. НОК числовых коэффициентов: НОК(6, 9, 18) = 18.
2. Наибольшая степень для переменной $ a $ - это $ a^2 $, для $ b $ - это $ b^2 $.
3. Общий знаменатель: $ 18a^2b^2 $.
Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{1}{6b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{18a^2b^2}{6b^2} = 3a^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3a^2}{6b^2 \cdot 3a^2} = \frac{3a^2}{18a^2b^2} $.
Для дроби $ \frac{a^2+b^2}{9a^2b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{18a^2b^2}{9a^2b^2} = 2 $. Получаем: $ \frac{(a^2+b^2) \cdot 2}{9a^2b^2 \cdot 2} = \frac{2(a^2+b^2)}{18a^2b^2} $.
Для дроби $ \frac{3-a}{18ab^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{18a^2b^2}{18ab^2} = a $. Получаем: $ \frac{(3-a) \cdot a}{18ab^2 \cdot a} = \frac{a(3-a)}{18a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{3a^2}{18a^2b^2} $, $ \frac{2(a^2+b^2)}{18a^2b^2} $, $ \frac{a(3-a)}{18a^2b^2} $.

3) Даны дроби $ \frac{2a}{b^2} $, $ \frac{4}{15a^2b} $ и $ \frac{3}{20a^3b^4} $.
Найдем НОК знаменателей: $ b^2 $, $ 15a^2b $ и $ 20a^3b^4 $.
1. НОК числовых коэффициентов: НОК(1, 15, 20) = 60.
2. Наибольшая степень для переменной $ a $ - это $ a^3 $, для $ b $ - это $ b^4 $.
3. Общий знаменатель: $ 60a^3b^4 $.
Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{2a}{b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{60a^3b^4}{b^2} = 60a^3b^2 $. Получаем: $ \frac{2a \cdot 60a^3b^2}{b^2 \cdot 60a^3b^2} = \frac{120a^4b^2}{60a^3b^4} $.
Для дроби $ \frac{4}{15a^2b} $ дополнительный множитель: $ \frac{60a^3b^4}{15a^2b} = 4ab^3 $. Получаем: $ \frac{4 \cdot 4ab^3}{15a^2b \cdot 4ab^3} = \frac{16ab^3}{60a^3b^4} $.
Для дроби $ \frac{3}{20a^3b^4} $ дополнительный множитель: $ \frac{60a^3b^4}{20a^3b^4} = 3 $. Получаем: $ \frac{3 \cdot 3}{20a^3b^4 \cdot 3} = \frac{9}{60a^3b^4} $.
Ответ: $ \frac{120a^4b^2}{60a^3b^4} $, $ \frac{16ab^3}{60a^3b^4} $, $ \frac{9}{60a^3b^4} $.

4) Даны дроби $ \frac{7}{20x^4y} $, $ \frac{31}{6xy^3} $ и $ \frac{4}{3x^2y^4} $.
Найдем НОК знаменателей: $ 20x^4y $, $ 6xy^3 $ и $ 3x^2y^4 $.
1. НОК числовых коэффициентов: НОК(20, 6, 3) = 60.
2. Наибольшая степень для переменной $ x $ - это $ x^4 $, для $ y $ - это $ y^4 $.
3. Общий знаменатель: $ 60x^4y^4 $.
Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{7}{20x^4y} $ дополнительный множитель: $ \frac{60x^4y^4}{20x^4y} = 3y^3 $. Получаем: $ \frac{7 \cdot 3y^3}{20x^4y \cdot 3y^3} = \frac{21y^3}{60x^4y^4} $.
Для дроби $ \frac{31}{6xy^3} $ дополнительный множитель: $ \frac{60x^4y^4}{6xy^3} = 10x^3y $. Получаем: $ \frac{31 \cdot 10x^3y}{6xy^3 \cdot 10x^3y} = \frac{310x^3y}{60x^4y^4} $.
Для дроби $ \frac{4}{3x^2y^4} $ дополнительный множитель: $ \frac{60x^4y^4}{3x^2y^4} = 20x^2 $. Получаем: $ \frac{4 \cdot 20x^2}{3x^2y^4 \cdot 20x^2} = \frac{80x^2}{60x^4y^4} $.
Ответ: $ \frac{21y^3}{60x^4y^4} $, $ \frac{310x^3y}{60x^4y^4} $, $ \frac{80x^2}{60x^4y^4} $.

28. 1) $ \frac{1}{x-y} $ и $ \frac{1}{x+y} $;

2) $ \frac{7a}{3x-y} $ и $ \frac{6b}{3x+y} $;

3) $ \frac{5}{2x-2} $ и $ \frac{3}{4x-4} $;

4) $ \frac{3x}{4x+4y} $ и $ \frac{x}{8x+8y} $.

Для того чтобы привести дроби $\frac{1}{x-y}$ и $\frac{1}{x+y}$ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели $(x-y)$ и $(x+y)$ являются взаимно простыми выражениями, так как не имеют общих множителей. Следовательно, их наименьший общий знаменатель равен их произведению.
Общий знаменатель: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ (по формуле разности квадратов).
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{x-y}$ равен $(x+y)$: $\frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y}{x^2 - y^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{x+y}$ равен $(x-y)$: $\frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x^2 - y^2}$.

Ответ: $\frac{x+y}{x^2 - y^2}$ и $\frac{x-y}{x^2 - y^2}$.

Рассмотрим дроби $\frac{7a}{3x-y}$ и $\frac{6b}{3x+y}$. Знаменатели $(3x-y)$ и $(3x+y)$ не имеют общих множителей. Их наименьший общий знаменатель будет равен их произведению.
Общий знаменатель: $(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(3x+y)$: $\frac{7a}{3x-y} = \frac{7a(3x+y)}{(3x-y)(3x+y)} = \frac{21ax + 7ay}{9x^2 - y^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $(3x-y)$: $\frac{6b}{3x+y} = \frac{6b(3x-y)}{(3x+y)(3x-y)} = \frac{18bx - 6by}{9x^2 - y^2}$.

Ответ: $\frac{21ax + 7ay}{9x^2 - y^2}$ и $\frac{18bx - 6by}{9x^2 - y^2}$.

Даны дроби $\frac{5}{2x-2}$ и $\frac{3}{4x-4}$. Для нахождения общего знаменателя сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $2x-2 = 2(x-1)$.
Знаменатель второй дроби: $4x-4 = 4(x-1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное выражений $2(x-1)$ и $4(x-1)$. НОК для числовых коэффициентов 2 и 4 равно 4. Общий множитель $(x-1)$ берется в первой степени. Таким образом, НОЗ = $4(x-1)$.
Приведем первую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для нее: $\frac{4(x-1)}{2(x-1)} = 2$. $\frac{5}{2(x-1)} = \frac{5 \cdot 2}{2(x-1) \cdot 2} = \frac{10}{4(x-1)}$.
Знаменатель второй дроби уже является наименьшим общим знаменателем, поэтому она остается без изменений: $\frac{3}{4x-4} = \frac{3}{4(x-1)}$.

Ответ: $\frac{10}{4(x-1)}$ и $\frac{3}{4(x-1)}$.

Даны дроби $\frac{3x}{4x+4y}$ и $\frac{x}{8x+8y}$. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $4x+4y = 4(x+y)$.
Знаменатель второй дроби: $8x+8y = 8(x+y)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $4(x+y)$ и $8(x+y)$ находится как НОК коэффициентов и общих буквенных множителей. НОК(4, 8) = 8. Общий множитель $(x+y)$. Следовательно, НОЗ = $8(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{8(x+y)}{4(x+y)} = 2$. $\frac{3x}{4(x+y)} = \frac{3x \cdot 2}{4(x+y) \cdot 2} = \frac{6x}{8(x+y)}$.
Вторая дробь уже имеет наименьший общий знаменатель, поэтому ее преобразовывать не нужно: $\frac{x}{8x+8y} = \frac{x}{8(x+y)}$.

Ответ: $\frac{6x}{8(x+y)}$ и $\frac{x}{8(x+y)}$.