Страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

49. Упростить:

1) $\frac{2y+8}{y^2-4y+4} - \frac{7}{y-2}$;

2) $\frac{4+6x}{1+6x+9x^2} - \frac{2}{3x+1}$;

3) $\frac{2}{25-10a+a^2} - \frac{10}{a^2-25}$;

4) $\frac{1}{x^2-6x+9} + \frac{1}{(x+3)^2}$.

1) Упростим выражение $\frac{2y + 8}{y^2 - 4y + 4} - \frac{7}{y-2}$.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби. Выражение $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности, который можно представить в виде $(y-2)^2$.

Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{2y + 8}{(y-2)^2} - \frac{7}{y-2}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель здесь – $(y-2)^2$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(y-2)$:

$\frac{7}{y-2} = \frac{7 \cdot (y-2)}{(y-2) \cdot (y-2)} = \frac{7y - 14}{(y-2)^2}$.

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2y + 8}{(y-2)^2} - \frac{7y - 14}{(y-2)^2} = \frac{(2y + 8) - (7y - 14)}{(y-2)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2y + 8 - 7y + 14 = -5y + 22$.

Таким образом, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{22 - 5y}{(y-2)^2}$.

2) Упростим выражение $\frac{4 + 6x}{1 + 6x + 9x^2} - \frac{2}{3x + 1}$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби. Выражение $1 + 6x + 9x^2$ является полным квадратом суммы: $1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (3x) + (3x)^2 = (1 + 3x)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{4 + 6x}{(1 + 3x)^2} - \frac{2}{3x + 1}$.

Общий знаменатель дробей – $(1 + 3x)^2$ (или $(3x+1)^2$). Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(1+3x)$:

$\frac{2}{3x + 1} = \frac{2(3x + 1)}{(3x + 1)^2} = \frac{6x + 2}{(3x + 1)^2}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{4 + 6x}{(3x+1)^2} - \frac{6x + 2}{(3x+1)^2} = \frac{(4 + 6x) - (6x + 2)}{(3x+1)^2}$.

Упростим числитель:

$4 + 6x - 6x - 2 = 2$.

Получаем итоговый результат.

Ответ: $\frac{2}{(3x+1)^2}$.

3) Упростим выражение $\frac{2}{25 - 10a + a^2} - \frac{10}{a^2 - 25}$.

Разложим на множители знаменатели обеих дробей. Знаменатель первой дроби $25 - 10a + a^2$ – это полный квадрат разности: $(5-a)^2$ или $(a-5)^2$. Знаменатель второй дроби $a^2 - 25$ – это разность квадратов: $(a-5)(a+5)$.

Выражение можно переписать так: $\frac{2}{(a-5)^2} - \frac{10}{(a-5)(a+5)}$.

Наименьший общий знаменатель – это $(a-5)^2(a+5)$. Домножим первую дробь на $(a+5)$, а вторую на $(a-5)$:

$\frac{2(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{10(a-5)}{(a-5)(a+5)(a-5)} = \frac{2a+10}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{10a-50}{(a-5)^2(a+5)}$.

Теперь вычтем дроби:

$\frac{(2a + 10) - (10a - 50)}{(a-5)^2(a+5)}$.

Упростим числитель:

$2a + 10 - 10a + 50 = -8a + 60$.

В числителе можно вынести общий множитель 4: $4(15 - 2a)$.

Ответ: $\frac{60 - 8a}{(a-5)^2(a+5)}$ или $\frac{4(15-2a)}{(a-5)^2(a+5)}$.

4) Упростим выражение $\frac{1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{1}{(x+3)^2}$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $(x-3)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{1}{(x+3)^2}$.

Для сложения дробей найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей: $(x-3)^2(x+3)^2$.

Домножим первую дробь на $(x+3)^2$, а вторую на $(x-3)^2$:

$\frac{1 \cdot (x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} + \frac{1 \cdot (x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы сокращенного умножения:

$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$

Сложим их: $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2 + 18$.

Знаменатель можно представить как $((x-3)(x+3))^2 = (x^2 - 9)^2$.

Итоговое выражение: $\frac{2x^2 + 18}{(x^2 - 9)^2}$. В числителе можно вынести за скобки 2: $\frac{2(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}$.

Ответ: $\frac{2x^2 + 18}{(x^2-9)^2}$ или $\frac{2(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

50. Решить уравнение:

1) $\frac{4x-3}{2} - \frac{5-2x}{3} - \frac{3x-4}{3} = 5;$

2) $2x + \frac{3x-1}{2} - \frac{5x-2}{3} = 2;$

3) $\frac{8x+7}{6} - \frac{5x-2}{2} = 3 - \frac{3-2x}{4};$

4) $\frac{4z}{3} - 17 + \frac{3z-17}{4} = \frac{z+5}{2}.$

1) $\frac{4x - 3}{2} - \frac{5 - 2x}{3} - \frac{3x - 4}{3} = 5$
Сначала сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем 3:
$\frac{4x - 3}{2} - (\frac{5 - 2x}{3} + \frac{3x - 4}{3}) = 5$
$\frac{4x - 3}{2} - \frac{5 - 2x + 3x - 4}{3} = 5$
$\frac{4x - 3}{2} - \frac{x + 1}{3} = 5$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:
$6 \cdot \frac{4x - 3}{2} - 6 \cdot \frac{x + 1}{3} = 6 \cdot 5$
$3(4x - 3) - 2(x + 1) = 30$
Раскроем скобки:
$12x - 9 - 2x - 2 = 30$
Приведем подобные слагаемые:
$10x - 11 = 30$
Перенесем -11 в правую часть с противоположным знаком:
$10x = 30 + 11$
$10x = 41$
$x = \frac{41}{10}$
$x = 4.1$
Ответ: $x=4.1$

2) $2x + \frac{3x - 1}{2} - \frac{5x - 2}{3} = 2$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:
$6 \cdot 2x + 6 \cdot \frac{3x - 1}{2} - 6 \cdot \frac{5x - 2}{3} = 6 \cdot 2$
$12x + 3(3x - 1) - 2(5x - 2) = 12$
Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью, он меняет знаки в скобках.
$12x + 9x - 3 - 10x + 4 = 12$
Приведем подобные слагаемые:
$(12x + 9x - 10x) + (-3 + 4) = 12$
$11x + 1 = 12$
Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:
$11x = 12 - 1$
$11x = 11$
$x = \frac{11}{11}$
$x = 1$
Ответ: $x=1$

3) $\frac{8x + 7}{6} - \frac{5x - 2}{2} = 3 - \frac{3 - 2x}{4}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6, 2 и 4, то есть на 12:
$12 \cdot \frac{8x + 7}{6} - 12 \cdot \frac{5x - 2}{2} = 12 \cdot 3 - 12 \cdot \frac{3 - 2x}{4}$
$2(8x + 7) - 6(5x - 2) = 36 - 3(3 - 2x)$
Раскроем скобки:
$16x + 14 - 30x + 12 = 36 - 9 + 6x$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:
$-14x + 26 = 27 + 6x$
Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа в другую:
$26 - 27 = 6x + 14x$
$-1 = 20x$
$x = -\frac{1}{20}$
Ответ: $x = -\frac{1}{20}$

4) $\frac{4z}{3} - 17 + \frac{3z - 17}{4} = \frac{z + 5}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 2, то есть на 12:
$12 \cdot \frac{4z}{3} - 12 \cdot 17 + 12 \cdot \frac{3z - 17}{4} = 12 \cdot \frac{z + 5}{2}$
$4(4z) - 204 + 3(3z - 17) = 6(z + 5)$
$16z - 204 + 9z - 51 = 6z + 30$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$25z - 255 = 6z + 30$
Перенесем слагаемые с z в левую сторону, а числа в правую:
$25z - 6z = 30 + 255$
$19z = 285$
$z = \frac{285}{19}$
$z = 15$
Ответ: $z=15$

51. Найти разность дробей:

1) $\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1};$

2) $\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2};$

3) $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b};$

4) $\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3}.$

1) $\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1}$

Чтобы найти разность дробей, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби — это формула разности кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$. Знаменатель второй дроби — $a^2+a+1$. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен $(a-1)(a^2+a+1) = a^3-1$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a-1)$:
$\frac{1}{a^2+a+1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a-1}{a^3-1}$.

Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{a-1}{a^3-1} = \frac{(a+1) - (a-1)}{a^3-1}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{a+1 - a + 1}{a^3-1} = \frac{2}{a^3-1}$.

Ответ: $\frac{2}{a^3-1}$.

2) $\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2}$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби — это формула суммы кубов: $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Знаменатель второй дроби — $a+2$. Общим знаменателем будет выражение $(a+2)(a^2-2a+4) = a^3+8$.

Домножим вторую дробь на недостающий множитель $(a^2-2a+4)$:
$\frac{1}{a+2} = \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a^2-2a+4}{a^3+8}$.

Выполним вычитание:
$\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{a^2-2a+4}{a^3+8} = \frac{(a^2+4) - (a^2-2a+4)}{a^3+8}$.

Упростим числитель:
$\frac{a^2+4 - a^2+2a-4}{a^3+8} = \frac{2a}{a^3+8}$.

Ответ: $\frac{2a}{a^3+8}$.

3) $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b}$

Найдем общий знаменатель. Заметим, что знаменатели являются множителями в формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Следовательно, общий знаменатель — это $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Домножим первую дробь на $(a+b)$, а вторую на $(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{(a+b)(a+b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)} - \frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a+b)^2 - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}$.

Упростим выражение в числителе:
$\frac{a^2+2ab+b^2 - a^2+ab-b^2}{a^3+b^3} = \frac{3ab}{a^3+b^3}$.

Ответ: $\frac{3ab}{a^3+b^3}$.

4) $\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби — это разность кубов: $m^3-27 = m^3-3^3 = (m-3)(m^2+3m+9)$. Знаменатель второй дроби — $m-3$. Общий знаменатель: $(m-3)(m^2+3m+9) = m^3-27$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(m^2+3m+9)$:
$\frac{1}{m-3} = \frac{1 \cdot (m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2+3m+9}{m^3-27}$.

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{m^2+3m+9}{m^3-27} = \frac{(m^2-3m+9) - (m^2+3m+9)}{m^3-27}$.

Упростим числитель:
$\frac{m^2-3m+9 - m^2-3m-9}{m^3-27} = \frac{-6m}{m^3-27}$.

Ответ: $\frac{-6m}{m^3-27}$.

52. Найти значение выражения:

1) $ \frac{8a^2}{a^3-1} + \frac{a+1}{a^2+a+1} $ при $a=2;$

2) $ \frac{3c^2-c+8}{c^3-1} - \frac{c-1}{c^2+c+1} + \frac{2}{1-c} $ при $c=1\frac{1}{2}. $

1) Сначала упростим данное выражение. Знаменатель первой дроби $a^3 - 1$ является разностью кубов и может быть разложен на множители по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Применяя эту формулу, получаем: $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{8a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} + \frac{a+1}{a^2+a+1}$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, которым является $(a-1)(a^2+a+1)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a-1)$:

$\frac{a+1}{a^2+a+1} = \frac{(a+1)(a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a^2-1}{a^3-1}$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{8a^2}{a^3-1} + \frac{a^2-1}{a^3-1} = \frac{8a^2 + a^2 - 1}{a^3-1} = \frac{9a^2 - 1}{a^3-1}$.

Подставим значение $a=2$ в упрощенное выражение:

$\frac{9(2)^2 - 1}{2^3 - 1} = \frac{9 \cdot 4 - 1}{8 - 1} = \frac{36 - 1}{7} = \frac{35}{7} = 5$.

Ответ: 5

2) Упростим выражение, приведя все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $c^3-1 = (c-1)(c^2+c+1)$ и $1-c = -(c-1)$.

Исходное выражение: $\frac{3c^2-c+8}{c^3-1} - \frac{c-1}{c^2+c+1} + \frac{2}{1-c}$.

Перепишем последнюю дробь: $\frac{2}{1-c} = \frac{2}{-(c-1)} = -\frac{2}{c-1}$.

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{3c^2-c+8}{(c-1)(c^2+c+1)} - \frac{c-1}{c^2+c+1} - \frac{2}{c-1}$.

Общий знаменатель: $(c-1)(c^2+c+1) = c^3-1$.

Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю:

$\frac{c-1}{c^2+c+1} = \frac{(c-1)(c-1)}{(c-1)(c^2+c+1)} = \frac{c^2-2c+1}{c^3-1}$.

$\frac{2}{c-1} = \frac{2(c^2+c+1)}{(c-1)(c^2+c+1)} = \frac{2c^2+2c+2}{c^3-1}$.

Подставим все в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{3c^2-c+8}{c^3-1} - \frac{c^2-2c+1}{c^3-1} - \frac{2c^2+2c+2}{c^3-1} = \frac{(3c^2-c+8) - (c^2-2c+1) - (2c^2+2c+2)}{c^3-1}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$3c^2-c+8 - c^2+2c-1 - 2c^2-2c-2 = (3c^2-c^2-2c^2) + (-c+2c-2c) + (8-1-2) = 0 - c + 5 = 5-c$.

Упрощенное выражение: $\frac{5-c}{c^3-1}$.

Теперь подставим значение $c = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$:

$\frac{5 - \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^3 - 1} = \frac{\frac{10}{2} - \frac{3}{2}}{\frac{27}{8} - 1} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{27}{8} - \frac{8}{8}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{19}{8}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{8}{19} = \frac{7 \cdot 4}{19} = \frac{28}{19}$.

Ответ: $\frac{28}{19}$

53. Упростить выражение, если $n$ — натуральное число:

1) $\frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n - b^n}$

2) $\frac{a^n + b^n}{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n}$

1)

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$$ \frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n - b^n} $$

Знаменатель первой дроби $a^{2n} - b^{2n}$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a^n$ и $y = b^n$:

$$ a^{2n} - b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $$

Видно, что знаменатель первой дроби является общим знаменателем для всех трех дробей. Приведем вторую и третью дроби к этому знаменателю:

$$ \frac{1}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} + \frac{1 \cdot (a^n - b^n)}{(a^n + b^n)(a^n - b^n)} - \frac{1 \cdot (a^n + b^n)}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} $$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним сложение и вычитание их числителей:

$$ \frac{1 + (a^n - b^n) - (a^n + b^n)}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{1 + a^n - b^n - a^n - b^n}{a^{2n} - b^{2n}} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{1 - 2b^n}{a^{2n} - b^{2n}} $$

Ответ: $ \frac{1 - 2b^n}{a^{2n} - b^{2n}} $

2)

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{a^n + b^n}{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Знаменатель первой дроби $a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^n$ и $y = b^n$:

$$ a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n} = (a^n)^2 + 2(a^n)(b^n) + (b^n)^2 = (a^n + b^n)^2 $$

Подставим полученное выражение в знаменатель первой дроби:

$$ \frac{a^n + b^n}{(a^n + b^n)^2} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Сократим первую дробь на $(a^n + b^n)$:

$$ \frac{1}{a^n + b^n} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Сложим первые две дроби, так как они имеют одинаковые знаменатели:

$$ \frac{2}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Теперь приведем эти две дроби к общему знаменателю $a^n(a^n + b^n)$:

$$ \frac{2 \cdot a^n}{a^n(a^n + b^n)} - \frac{1 \cdot (a^n + b^n)}{a^n(a^n + b^n)} $$

Выполним вычитание дробей:

$$ \frac{2a^n - (a^n + b^n)}{a^n(a^n + b^n)} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$$ \frac{2a^n - a^n - b^n}{a^n(a^n + b^n)} = \frac{a^n - b^n}{a^n(a^n + b^n)} $$

Ответ: $ \frac{a^n - b^n}{a^n(a^n + b^n)} $