Страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Как складываются алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями?

1. Для того чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. После этого, если возможно, следует упростить (сократить) полученную дробь.

Это правило можно выразить общей формулой. Если у нас есть дроби $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$, где $A$, $B$ и $C$ являются многочленами и $C \neq 0$, то их сумма вычисляется так:
$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

Аналогично выполняется и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$

Пошаговый алгоритм:
1. Убедиться, что знаменатели дробей идентичны.
2. Сложить или вычесть числители. При этом важно правильно раскрыть скобки, особенно при вычитании, когда знаки во втором числителе меняются на противоположные.
3. Записать новую дробь, числитель которой — это сумма или разность исходных числителей, а знаменатель — общий знаменатель.
4. Упростить (сократить) полученную дробь, если это возможно. Для этого нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить одинаковые множители.

Пример:
Сложим дроби $\frac{x^2}{x+4}$ и $\frac{8x+16}{x+4}$.
Знаменатели дробей одинаковы ($x+4$), поэтому складываем их числители:
$\frac{x^2}{x+4} + \frac{8x+16}{x+4} = \frac{x^2 + 8x + 16}{x+4}$
Теперь необходимо проверить, можно ли упростить полученную дробь. Для этого разложим числитель на множители. Выражение $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x+4)^2}{x+4}$
Сократим общий множитель $(x+4)$ в числителе и знаменателе. При этом следует учесть область допустимых значений: знаменатель не должен равняться нулю, то есть $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.
После сокращения получаем:
$x+4$

Ответ: Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Формула сложения: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$.

2. Сформулировать алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями.

Для сложения или вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю. Этот процесс выполняется согласно следующему алгоритму:

1. Разложить знаменатели на множители.
   Каждый знаменатель, если это возможно, нужно представить в виде произведения простых многочленов (например, используя формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки или группировку).
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   Наименьший общий знаменатель равен произведению всех уникальных множителей, входящих в разложения знаменателей исходных дробей, причем каждый множитель берется с наибольшей степенью, с которой он встречается в разложениях.
3. Найти дополнительные множители для каждой дроби.
   Для каждой дроби дополнительный множитель находится путем деления наименьшего общего знаменателя (НОЗ) на знаменатель этой дроби.
4. Привести дроби к общему знаменателю.
   Числитель и знаменатель каждой дроби умножаются на ее дополнительный множитель. В результате все дроби будут иметь одинаковый знаменатель, равный НОЗ.
5. Выполнить сложение или вычитание числителей.
   Полученные числители складываются или вычитаются в соответствии со знаками, стоящими перед дробями. Результат записывается в числитель новой дроби, а знаменателем остается наименьший общий знаменатель.
   Важно: при вычитании дроби числитель вычитаемой дроби заключается в скобки, чтобы правильно раскрыть знаки.
6. Упростить полученную дробь.
   В числителе раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. Затем, если возможно, числитель раскладывается на множители и полученная дробь сокращается, если в числителе и знаменателе есть одинаковые множители.

Пример:

Сложить дроби: $ \frac{y+2}{y^2-y} + \frac{y-2}{y^2-1} $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ y^2 - y = y(y-1) $

$ y^2 - 1 = (y-1)(y+1) $

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ):

Уникальные множители: $y$, $(y-1)$, $(y+1)$.

НОЗ = $ y(y-1)(y+1) $

3. Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{y(y-1)(y+1)}{y(y-1)} = y+1 $

Для второй дроби: $ \frac{y(y-1)(y+1)}{(y-1)(y+1)} = y $

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(y+2)(y+1)}{y(y-1)(y+1)} + \frac{(y-2)y}{y(y-1)(y+1)} $

5. Выполним сложение числителей:

$ \frac{(y+2)(y+1) + y(y-2)}{y(y-1)(y+1)} $

6. Упростим полученную дробь:

Раскроем скобки в числителе:

$ (y+2)(y+1) = y^2 + y + 2y + 2 = y^2 + 3y + 2 $

$ y(y-2) = y^2 - 2y $

Сложим выражения в числителе:

$ (y^2 + 3y + 2) + (y^2 - 2y) = 2y^2 + y + 2 $

Получаем дробь:

$ \frac{2y^2+y+2}{y(y-1)(y+1)} $

Квадратный трехчлен $2y^2+y+2$ не имеет действительных корней (дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -15 < 0$) и не раскладывается на множители, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями состоит из следующих шагов: сначала знаменатели раскладываются на множители для нахождения наименьшего общего знаменателя (НОЗ). Затем для каждой дроби определяется дополнительный множитель, на который умножается ее числитель. После приведения всех дробей к общему знаменателю выполняется сложение или вычитание полученных числителей, и результат записывается над общим знаменателем. На последнем шаге полученная дробь упрощается путем приведения подобных слагаемых в числителе и, если возможно, сокращения. Итоговый вид дроби: $ \frac{y+2}{y^2-y} + \frac{y-2}{y^2-1} = \frac{2y^2+y+2}{y(y-1)(y+1)} $.

3. Как можно упростить результат действий с алгебраическими дробями?

Чтобы упростить результат действий с алгебраическими дробями, то есть выполнить сокращение дроби, необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Основной принцип заключается в разложении числителя и знаменателя на множители и последующем сокращении общих из них.

1. Разложение числителя и знаменателя на множители

Это ключевой этап. Для разложения многочленов в числителе и знаменателе на множители используются следующие основные методы:

• Вынесение общего множителя за скобки. Например, $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
• Применение формул сокращенного умножения:
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  • Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  • Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  • Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
  • Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Метод группировки. Применяется, когда у всех слагаемых нет общего множителя, но их можно сгруппировать так, чтобы у каждой группы появился свой общий множитель. Например, $xy - 2y + 3x - 6 = y(x - 2) + 3(x - 2) = (x-2)(y+3)$.
• Разложение квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ раскладывается на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Сокращение дроби

После того как числитель и знаменатель разложены на множители, нужно найти одинаковые (общие) множители и разделить на них и числитель, и знаменатель. Это действие основано на основном свойстве дроби.

Пример:

Допустим, в результате выполненных действий мы получили дробь, которую нужно упростить:

$\frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2 - 1}$

Шаг 1: Разложим на множители числитель.
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 + 2x + 1)$.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Таким образом, числитель равен $2(x+1)^2$.

Шаг 2: Разложим на множители знаменатель.
Знаменатель $x^2 - 1$ — это разность квадратов: $x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$.

Шаг 3: Подставим разложенные выражения в дробь и сократим.
$\frac{2(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

Общий множитель здесь — $(x+1)$. Сокращаем на него (при условии, что $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$):

$\frac{2\cancel{(x+1)}(x+1)}{(x-1)\cancel{(x+1)}} = \frac{2(x+1)}{x-1}$

Результат упрощен. Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: Чтобы упростить результат действий с алгебраическими дробями, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители всеми доступными способами, а затем сократить дробь на все общие множители.

1. Вычислить:

1) $\frac{3}{19} + \frac{7}{19}$;

2) $\frac{5}{11} - \frac{7}{9}$;

3) $1\frac{2}{3} + 2\frac{3}{5}$;

4) $\frac{3}{40} + \frac{1}{10}$;

5) $\frac{7}{24} - \frac{5}{36}$.

1)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{3}{19} + \frac{7}{19} = \frac{3+7}{19} = \frac{10}{19}$

Ответ: $\frac{10}{19}$

2)

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 11 и 9 — это их произведение, так как они являются взаимно простыми числами. Общий знаменатель: $11 \cdot 9 = 99$.

$\frac{5}{11} - \frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} - \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{45}{99} - \frac{77}{99} = \frac{45 - 77}{99} = -\frac{32}{99}$

Ответ: $-\frac{32}{99}$

3)

Для сложения смешанных чисел можно сложить их целые и дробные части по отдельности.

$1\frac{2}{3} + 2\frac{3}{5} = (1 + 2) + (\frac{2}{3} + \frac{3}{5})$

Складываем целые части: $1 + 2 = 3$.

Складываем дробные части, предварительно приведя их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.

$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15}$

Так как дробная часть получилась неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$.

Теперь сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей: $3 + 1\frac{4}{15} = 4\frac{4}{15}$.

Ответ: $4\frac{4}{15}$

4)

Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 40 и 10 — это 40. Дополнительный множитель для второй дроби равен $40 \div 10 = 4$.

$\frac{3}{40} + \frac{1}{10} = \frac{3}{40} + \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{3}{40} + \frac{4}{40} = \frac{3+4}{40} = \frac{7}{40}$

Ответ: $\frac{7}{40}$

5)

Чтобы вычесть дроби, приведем их к наименьшему общему знаменателю (НОК). Найдем НОК для чисел 24 и 36.

Разложим знаменатели на простые множители:

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

НОК(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Теперь найдем дополнительные множители и выполним вычитание:

$\frac{7}{24} - \frac{5}{36} = \frac{7 \cdot (72 \div 24)}{72} - \frac{5 \cdot (72 \div 36)}{72} = \frac{7 \cdot 3}{72} - \frac{5 \cdot 2}{72} = \frac{21}{72} - \frac{10}{72} = \frac{21 - 10}{72} = \frac{11}{72}$

Ответ: $\frac{11}{72}$

2. Выполнить действия:

1) $21x^5y^6 \cdot 2y^3;$

2) $3a^4b^5 \cdot 6a^2b;$

3) $(4a^6 - b) \cdot ab;$

4) $2xy^3 \cdot (x + y);$

5) $27a^3b^8 : (3ab^2);$

6) $(a - 3b) \cdot (3b + a).$

1) Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые коэффициенты и сложить показатели степеней с одинаковыми основаниями.

Выполним умножение коэффициентов: $21 \cdot 2 = 42$.

Выполним умножение степеней: $x^5$ остается без изменений, так как во втором множителе нет переменной $x$. Для $y$ складываем показатели: $y^6 \cdot y^3 = y^{6+3} = y^9$.

Соединяем результаты: $21x^5y^6 \cdot 2y^3 = (21 \cdot 2) \cdot x^5 \cdot (y^6 \cdot y^3) = 42x^5y^9$.

Ответ: $42x^5y^9$

2) Аналогично первому пункту, перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Умножение коэффициентов: $3 \cdot 6 = 18$.

Умножение степеней: $a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6$. $b^5 \cdot b = b^{5+1} = b^6$.

Соединяем результаты: $3a^4b^5 \cdot 6a^2b = (3 \cdot 6) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (b^5 \cdot b^1) = 18a^6b^6$.

Ответ: $18a^6b^6$

3) Для умножения многочлена на одночлен нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Используем распределительный закон умножения.

$(4a^6 - b) \cdot ab = 4a^6 \cdot ab - b \cdot ab$.

Умножаем первый член: $4a^6 \cdot ab = 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b = 4a^{6+1}b = 4a^7b$.

Умножаем второй член: $b \cdot ab = a \cdot b \cdot b = ab^{1+1} = ab^2$.

Результат: $4a^7b - ab^2$.

Ответ: $4a^7b - ab^2$

4) Используем распределительный закон умножения, как и в предыдущем примере.

$2xy^3 \cdot (x + y) = 2xy^3 \cdot x + 2xy^3 \cdot y$.

Умножаем на $x$: $2xy^3 \cdot x = 2 \cdot x \cdot x \cdot y^3 = 2x^{1+1}y^3 = 2x^2y^3$.

Умножаем на $y$: $2xy^3 \cdot y = 2x \cdot y^3 \cdot y = 2xy^{3+1} = 2xy^4$.

Складываем результаты: $2x^2y^3 + 2xy^4$.

Ответ: $2x^2y^3 + 2xy^4$

5) Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно разделить их числовые коэффициенты и вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя для каждой переменной.

$27a^3b^8 : (3ab^2) = \frac{27a^3b^8}{3ab^2}$.

Делим коэффициенты: $27 : 3 = 9$.

Делим степени: $a^3 : a^1 = a^{3-1} = a^2$. $b^8 : b^2 = b^{8-2} = b^6$.

Соединяем результаты: $9a^2b^6$.

Ответ: $9a^2b^6$

6) В этом примере мы умножаем два двучлена. Можно заметить, что это формула разности квадратов.

Переставим слагаемые во второй скобке: $(3b + a) = (a + 3b)$.

Выражение принимает вид: $(a - 3b)(a + 3b)$.

Используем формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x=a$ и $y=3b$.

$(a - 3b)(a + 3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 3^2 \cdot b^2 = a^2 - 9b^2$.

Ответ: $a^2 - 9b^2$

3. Привести к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{1}{6x^2}$ и $\frac{1}{4x}$;

2) $\frac{1}{3x^2y}$, $\frac{1}{12xy^2}$ и $\frac{1}{18x^2y^3}$;

3) $\frac{1}{(x+y)^2}$ и $\frac{1}{(x+y)^3}$;

4) $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{b-a}$;

5) $\frac{1}{4x^2-1}$ и $\frac{1}{1+2x}$.

1) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{6x^2}$ и $\frac{1}{4x}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей $6x^2$ и $4x$.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 6 и 4. Разложим их на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $4 = 2^2$. НОК(6, 4) = $2^2 \cdot 3 = 12$.

2. Находим НОК для переменных частей $x^2$ и $x$. Для этого выбираем каждую переменную с наибольшим показателем степени. В данном случае это $x^2$.

3. Наименьший общий знаменатель равен произведению НОК коэффициентов и НОК переменных: $12x^2$.

Теперь определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби.

Для дроби $\frac{1}{6x^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{12x^2}{6x^2} = 2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:

$\frac{1}{6x^2} = \frac{1 \cdot 2}{6x^2 \cdot 2} = \frac{2}{12x^2}$.

Для дроби $\frac{1}{4x}$ дополнительный множитель равен $\frac{12x^2}{4x} = 3x$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:

$\frac{1}{4x} = \frac{1 \cdot 3x}{4x \cdot 3x} = \frac{3x}{12x^2}$.

Ответ: $\frac{2}{12x^2}$ и $\frac{3x}{12x^2}$.

2) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{3x^2y}$, $\frac{1}{12xy^2}$ и $\frac{1}{18x^2y^3}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для знаменателей $3x^2y$, $12xy^2$ и $18x^2y^3$.

1. Находим НОК числовых коэффициентов 3, 12 и 18. Разложим их на простые множители: $3 = 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(3, 12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

2. Находим НОК для переменных частей. Для переменной $x$ наибольшая степень $x^2$. Для переменной $y$ наибольшая степень $y^3$. НОК переменных частей равно $x^2y^3$.

3. Наименьший общий знаменатель равен $36x^2y^3$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $\frac{1}{3x^2y}$: $\frac{36x^2y^3}{3x^2y} = 12y^2$. Тогда $\frac{1 \cdot 12y^2}{3x^2y \cdot 12y^2} = \frac{12y^2}{36x^2y^3}$.

Для $\frac{1}{12xy^2}$: $\frac{36x^2y^3}{12xy^2} = 3xy$. Тогда $\frac{1 \cdot 3xy}{12xy^2 \cdot 3xy} = \frac{3xy}{36x^2y^3}$.

Для $\frac{1}{18x^2y^3}$: $\frac{36x^2y^3}{18x^2y^3} = 2$. Тогда $\frac{1 \cdot 2}{18x^2y^3 \cdot 2} = \frac{2}{36x^2y^3}$.

Ответ: $\frac{12y^2}{36x^2y^3}$, $\frac{3xy}{36x^2y^3}$ и $\frac{2}{36x^2y^3}$.

3) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{(x+y)^2}$ и $\frac{1}{(x+y)^3}$.

Знаменатели дробей представляют собой степени одного и того же выражения $(x+y)$.

В качестве общего знаменателя выбираем выражение с наибольшим показателем степени. В данном случае это $(x+y)^3$.

Найдем дополнительные множители:

Для дроби $\frac{1}{(x+y)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{(x+y)^3}{(x+y)^2} = x+y$.

Умножим числитель и знаменатель: $\frac{1 \cdot (x+y)}{(x+y)^2 \cdot (x+y)} = \frac{x+y}{(x+y)^3}$.

Для дроби $\frac{1}{(x+y)^3}$ знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1. Дробь остается без изменений.

Ответ: $\frac{x+y}{(x+y)^3}$ и $\frac{1}{(x+y)^3}$.

4) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{b-a}$.

Знаменатели $a-b$ и $b-a$ являются противоположными выражениями, так как $b-a = -(a-b)$.

Можно привести дроби к общему знаменателю $a-b$. Первая дробь $\frac{1}{a-b}$ уже имеет такой знаменатель.

Преобразуем вторую дробь. Вынесем -1 за скобки в знаменателе:

$\frac{1}{b-a} = \frac{1}{-(a-b)}$.

Перенесем знак "минус" из знаменателя в числитель:

$\frac{1}{-(a-b)} = -\frac{1}{a-b} = \frac{-1}{a-b}$.

Теперь обе дроби приведены к общему знаменателю $a-b$.

Ответ: $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{-1}{a-b}$.

5) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{4x^2-1}$ и $\frac{1}{1+2x}$.

Для нахождения общего знаменателя разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби $4x^2-1$ является разностью квадратов $(2x)^2 - 1^2$.

Используем формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$.

Знаменатель второй дроби: $1+2x$, что то же самое, что и $2x+1$.

Итак, знаменатели дробей: $(2x-1)(2x+1)$ и $(2x+1)$.

Наименьший общий знаменатель должен содержать все множители в их наивысшей степени. Таким образом, НОЗ равен $(2x-1)(2x+1)$, что равно $4x^2-1$.

Первая дробь $\frac{1}{4x^2-1}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{1}{1+2x}$ дополнительный множитель равен $\frac{(2x-1)(2x+1)}{2x+1} = 2x-1$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(2x-1)$:

$\frac{1}{1+2x} = \frac{1 \cdot (2x-1)}{(1+2x)(2x-1)} = \frac{2x-1}{4x^2-1}$.

Ответ: $\frac{1}{4x^2-1}$ и $\frac{2x-1}{4x^2-1}$.