Страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

60. 1) $\frac{7-x}{a+b} \cdot \frac{a-b}{7-x}$;

2) $\frac{x-y}{2a} \cdot \frac{4b}{x-y}$;

3) $\frac{c+d}{c-d} : \frac{c}{c-d}$;

4) $\frac{a-b}{2b} : \frac{a-b}{6b^2}$;

5) $\frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$;

6) $\frac{ab+b^2}{9} : \frac{b^2}{3a}$.

1) $\frac{7-x}{a+b} \cdot \frac{a-b}{7-x}$

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{7-x}{a+b} \cdot \frac{a-b}{7-x} = \frac{(7-x) \cdot (a-b)}{(a+b) \cdot (7-x)}$

Сократим общие множители $(7-x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $7-x \neq 0$):

$\frac{\cancel{(7-x)} \cdot (a-b)}{(a+b) \cdot \cancel{(7-x)}} = \frac{a-b}{a+b}$

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

2) $\frac{x-y}{2a} \cdot \frac{4b}{x-y}$

Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{x-y}{2a} \cdot \frac{4b}{x-y} = \frac{(x-y) \cdot 4b}{2a \cdot (x-y)}$

Сократим общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$):

$\frac{\cancel{(x-y)} \cdot 4b}{2a \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{4b}{2a}$

Теперь сократим числовые коэффициенты:

$\frac{4b}{2a} = \frac{2 \cdot 2 \cdot b}{2 \cdot a} = \frac{2b}{a}$

Ответ: $\frac{2b}{a}$

3) $\frac{c+d}{c-d} : \frac{c}{c-d}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{c+d}{c-d} : \frac{c}{c-d} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{c-d}{c}$

Теперь перемножим числители и знаменатели:

$\frac{(c+d) \cdot (c-d)}{(c-d) \cdot c}$

Сократим общий множитель $(c-d)$ (при условии, что $c-d \neq 0$):

$\frac{(c+d) \cdot \cancel{(c-d)}}{\cancel{(c-d)} \cdot c} = \frac{c+d}{c}$

Ответ: $\frac{c+d}{c}$

4) $\frac{a-b}{2b} : \frac{a-b}{6b^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a-b}{2b} : \frac{a-b}{6b^2} = \frac{a-b}{2b} \cdot \frac{6b^2}{a-b}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{(a-b) \cdot 6b^2}{2b \cdot (a-b)}$

Сократим общий множитель $(a-b)$ (при условии, что $a-b \neq 0$), а также общие множители в коэффициентах и переменных:

$\frac{\cancel{(a-b)} \cdot 6b^2}{2b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{6b^2}{2b} = \frac{3 \cdot \cancel{2} \cdot b \cdot \cancel{b}}{\cancel{2} \cdot \cancel{b}} = 3b$

Ответ: $3b$

5) $\frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$

Сначала разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 - ab = a(a-b)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{a(a-b)}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{a(a-b) \cdot b^2}{b \cdot a}$

Сократим общие множители $a$ и $b$:

$\frac{\cancel{a}(a-b) \cdot b^{\cancel{2}}}{\cancel{b} \cdot \cancel{a}} = (a-b) \cdot b = b(a-b)$

Ответ: $b(a-b)$

6) $\frac{ab+b^2}{9} : \frac{b^2}{3a}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{3a}{b^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки:

$ab+b^2 = b(a+b)$

Подставим в выражение:

$\frac{b(a+b)}{9} \cdot \frac{3a}{b^2}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{b(a+b) \cdot 3a}{9 \cdot b^2}$

Сократим общие множители. Числовые коэффициенты: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Переменные: $\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}$.

$\frac{\cancel{b}(a+b) \cdot \cancel{3}a}{\cancel{9}_3 \cdot b^{\cancel{2}}_b} = \frac{(a+b)a}{3b} = \frac{a(a+b)}{3b}$

Ответ: $\frac{a(a+b)}{3b}$

61. 1) $\frac{1-a}{3b^2} \cdot \frac{b^3}{1-a^2}$;

2) $\frac{5m}{m^2-n^2} : \frac{15m^3}{m-n}$;

3) $\frac{3(x+y)}{4y^2(x^2+y^2)} \cdot \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$;

4) $\frac{5(a-b)}{3(a^2+b^2)} : \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$.

1) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{1-a}{3b^2} \cdot \frac{b^3}{1-a^2} = \frac{(1-a) \cdot b^3}{3b^2 \cdot (1-a^2)} $

Разложим знаменатель $1-a^2$ на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.

Подставим разложенное выражение обратно в дробь: $ \frac{(1-a)b^3}{3b^2(1-a)(1+a)} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель — это $(1-a)$. Также можно сократить $b^2$ (так как $b^3/b^2 = b$): $ \frac{\cancel{(1-a)} \cdot b^3}{3b^2\cancel{(1-a)}(1+a)} = \frac{b^3}{3b^2(1+a)} = \frac{b}{3(1+a)} $

Ответ: $ \frac{b}{3(1+a)} $

2) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{5m}{m^2-n^2} : \frac{15m^3}{m-n} = \frac{5m}{m^2-n^2} \cdot \frac{m-n}{15m^3} = \frac{5m(m-n)}{(m^2-n^2) \cdot 15m^3} $

Разложим знаменатель $m^2-n^2$ на множители по формуле разности квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

$ \frac{5m(m-n)}{(m-n)(m+n) \cdot 15m^3} $

Сократим общие множители: $(m-n)$, $5$ и $m$. $ \frac{\cancel{5}\cancel{m}\cancel{(m-n)}}{\cancel{(m-n)}(m+n) \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot m^{\cancel{3}}_2} = \frac{1}{3m^2(m+n)} $

Ответ: $ \frac{1}{3m^2(m+n)} $

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели.

$ \frac{3(x+y)}{4y^2(x^2+y^2)} \cdot \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{3(x+y)(x^2+y^2)}{4y^2(x^2+y^2)(x^2-y^2)} $

Разложим выражение $x^2-y^2$ в знаменателе по формуле разности квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

$ \frac{3(x+y)(x^2+y^2)}{4y^2(x^2+y^2)(x-y)(x+y)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+y)$ и $(x^2+y^2)$.

$ \frac{3\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+y^2)}}{4y^2\cancel{(x^2+y^2)}(x-y)\cancel{(x+y)}} = \frac{3}{4y^2(x-y)} $

Ответ: $ \frac{3}{4y^2(x-y)} $

4) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{5(a-b)}{3(a^2+b^2)} : \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{5(a-b)}{3(a^2+b^2)} \cdot \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2} $

Запишем произведение в виде одной дроби: $ \frac{5(a-b)(a^2+b^2)}{3(a^2+b^2)(a-b)^2} $

Сократим общие множители $(a^2+b^2)$ и $(a-b)$. Учтем, что $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.

$ \frac{5\cancel{(a-b)}\cancel{(a^2+b^2)}}{3\cancel{(a^2+b^2)}(a-b)^{\cancel{2}}} = \frac{5}{3(a-b)} $

Ответ: $ \frac{5}{3(a-b)} $

62. Найти значение выражения:

1) $ \frac{a^2 - b^2}{3a + 3b} \cdot \frac{3a^2}{5b - 5a} $ при $a=2,5;$

2) $ \frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} : \frac{a + 5}{9 - a^2} $ при $a=1;$

3) $ \frac{5x^2 - 5y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3x^2 + 3y^2}{10y - 10x} $ при $x=\frac{5}{6}$, $y=\frac{2}{3};$

4) $ \frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} : \frac{6m - 6n}{n + p} $ при $m=-9$, $n=-3.$

1) Сначала упростим выражение $\frac{a^2 - b^2}{3a + 3b} \cdot \frac{3a^2}{5b - 5a}$.

Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$3a + 3b = 3(a + b)$
$5b - 5a = 5(b - a) = -5(a - b)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители:
$\frac{(a - b)(a + b)}{3(a + b)} \cdot \frac{3a^2}{-5(a - b)} = \frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a + b)}}{\cancel{3}\cancel{(a + b)}} \cdot \frac{\cancel{3}a^2}{-5\cancel{(a - b)}} = \frac{a^2}{-5} = -\frac{a^2}{5}$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $a = 2,5$:
$-\frac{(2,5)^2}{5} = -\frac{6,25}{5} = -1,25$.

Ответ: -1,25

2) Рассмотрим выражение $\frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} : \frac{a + 5}{9 - a^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} \cdot \frac{9 - a^2}{a + 5}$.

Разложим на множители числители и знаменатели:
$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$
$a^2 - 3a = a(a - 3)$
$9 - a^2 = (3 - a)(3 + a) = -(a - 3)(a + 3)$

Подставим и сократим общие множители:
$\frac{(a - 5)(a + 5)}{a(a - 3)} \cdot \frac{-(a - 3)(a + 3)}{a + 5} = \frac{(a - 5)\cancel{(a + 5)}}{a\cancel{(a - 3)}} \cdot \frac{-\cancel{(a - 3)}(a + 3)}{\cancel{(a + 5)}} = \frac{-(a - 5)(a + 3)}{a}$.

Подставим значение $a = 1$:
$\frac{-(1 - 5)(1 + 3)}{1} = \frac{-(-4)(4)}{1} = 16$.

Ответ: 16

3) Упростим выражение $\frac{5x^2 - 5y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3x^2 + 3y^2}{10y - 10x}$.

Разложим на множители числители и знаменатели:
$5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2) = 5(x - y)(x + y)$
$3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)$
$10y - 10x = 10(y - x) = -10(x - y)$

Подставим в исходное выражение и выполним сокращение:
$\frac{5(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3(x^2 + y^2)}{-10(x - y)} = \frac{\cancel{5}\cancel{(x - y)}(x + y)}{\cancel{x^2 + y^2}} \cdot \frac{3\cancel{(x^2 + y^2)}}{-\cancel{10}_2\cancel{(x - y)}} = -\frac{3(x + y)}{2}$.

Теперь подставим заданные значения $x = \frac{5}{6}$ и $y = \frac{2}{3}$.
Сначала найдем сумму $x + y$, приведя дроби к общему знаменателю:
$x + y = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденную сумму в упрощенное выражение:
$-\frac{3}{2} \cdot (x + y) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{4}$.

Ответ: $-\frac{9}{4}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} : \frac{6m - 6n}{n + p}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} \cdot \frac{n + p}{6m - 6n}$.

Разложим на множители:
$3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m)$
$n^2 + np = n(n + p)$
$6m - 6n = 6(m - n) = -6(n - m)$

Подставим и сократим:
$\frac{3(n - m)(n + m)}{n(n + p)} \cdot \frac{n + p}{-6(n - m)} = \frac{\cancel{3}\cancel{(n - m)}(n + m)}{n\cancel{(n + p)}} \cdot \frac{\cancel{n + p}}{-\cancel{6}_2\cancel{(n - m)}} = \frac{n + m}{-2n} = -\frac{n + m}{2n}$.

Подставим значения $m = -9$ и $n = -3$:
$-\frac{-3 + (-9)}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -(2) = -2$.

Ответ: -2

63. Проверить, верно ли равенство:

1) $\frac{a^2 + b^2}{x^3 + x^2 y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{a^4 - b^4} = \frac{x - y}{x(a^2 - b^2)};$

2) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^4 b - b^5}{a^2 b - ab^2} = \frac{1}{a^2 - b^2}.$

1)Для проверки верности равенства упростим его левую часть.
$ \frac{a^2 + b^2}{x^3 + x^2y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{a^4 - b^4} $
Разложим на множители знаменатели и числители дробей, используя вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов:
$ x^3 + x^2y = x^2(x + y) $
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
$ a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $
Подставим разложенные выражения в левую часть равенства и выполним сокращение:
$ \frac{\cancel{a^2 + b^2}}{x^2\cancel{(x + y)}} \cdot \frac{(x - y)\cancel{(x + y)}}{(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}} = \frac{x - y}{x^2(a^2 - b^2)} $
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:
$ \frac{x - y}{x^2(a^2 - b^2)} \neq \frac{x - y}{x(a^2 - b^2)} $
Левая и правая части не равны, так как в знаменателе левой части стоит $x^2$, а в правой — $x$. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: Равенство неверно.

2)Для проверки верности равенства преобразуем его левую часть. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^4b - b^5}{a^2b - ab^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab} \cdot \frac{a^2b - ab^2}{a^4b - b^5} $
Разложим на множители числители и знаменатели, используя вынесение общего множителя и формулу разности квадратов:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
$ a^2b - ab^2 = ab(a - b) $
$ a^4b - b^5 = b(a^4 - b^4) = b(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $
Подставим разложенные выражения в левую часть и выполним сокращение:
$ \frac{\cancel{a^2 + b^2}}{\cancel{a}\cancel{(a - b)}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{b}\cancel{(a - b)}}{\cancel{b}(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}} = \frac{1}{a^2 - b^2} $
Полученный результат совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

64. Упростить:

1) $\frac{a - 5}{a^2 + 6a + 9} \cdot \frac{(a + 3)^2}{a^2 - 25};$

2) $\frac{b^2 - 8b + 16}{b + 3} : \frac{(b - 4)^2}{b^2 - 9};$

3) $\frac{a^2 - 49}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{a + b}{a - 7};$

4) $\frac{a^2 - 2a + 1}{2a + 1} : \frac{a - 1}{4a^2 - 1}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{a-5}{a^2 + 6a + 9} \cdot \frac{(a+3)^2}{a^2 - 25}$ разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Знаменатель первой дроби $a^2 + 6a + 9$ является полным квадратом суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a+3)^2$.
Знаменатель второй дроби $a^2 - 25$ является разностью квадратов: $a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5)$.
Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:
$\frac{a-5}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a+3)^2}{(a-5)(a+5)}$
Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(a-5)$ и $(a+3)^2$.
$\frac{\cancel{a-5}}{\cancel{(a+3)^2}} \cdot \frac{\cancel{(a+3)^2}}{(\cancel{a-5})(a+5)} = \frac{1}{a+5}$
Ответ: $\frac{1}{a+5}$

2) Для упрощения выражения $\frac{b^2 - 8b + 16}{b+3} : \frac{(b-4)^2}{b^2 - 9}$ заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель).
$\frac{b^2 - 8b + 16}{b+3} \cdot \frac{b^2 - 9}{(b-4)^2}$
Теперь разложим числители на множители.
Числитель первой дроби $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b-4)^2$.
Числитель второй дроби $b^2 - 9$ является разностью квадратов: $b^2 - 3^2 = (b-3)(b+3)$.
Подставим разложенные выражения:
$\frac{(b-4)^2}{b+3} \cdot \frac{(b-3)(b+3)}{(b-4)^2}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(b-4)^2$ и $(b+3)$.
$\frac{\cancel{(b-4)^2}}{\cancel{b+3}} \cdot \frac{(b-3)(\cancel{b+3})}{\cancel{(b-4)^2}} = b-3$
Ответ: $b-3$

3) Упростим выражение $\frac{a^2 - 49}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{a+b}{a-7}$. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители.
Числитель $a^2 - 49$ — это разность квадратов: $a^2 - 7^2 = (a-7)(a+7)$.
Знаменатель $a^2 + 2ab + b^2$ — это полный квадрат суммы: $(a+b)^2$.
Перепишем выражение с разложенными множителями:
$\frac{(a-7)(a+7)}{(a+b)^2} \cdot \frac{a+b}{a-7}$
Сократим общие множители $(a-7)$ и $(a+b)$. Обратите внимание, что $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$.
$\frac{(\cancel{a-7})(a+7)}{(\cancel{a+b})(a+b)} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a-7}} = \frac{a+7}{a+b}$
Ответ: $\frac{a+7}{a+b}$

4) Упростим выражение $\frac{a^2 - 2a + 1}{2a+1} : \frac{a-1}{4a^2 - 1}$. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{a^2 - 2a + 1}{2a+1} \cdot \frac{4a^2 - 1}{a-1}$
Разложим на множители многочлены в числителях.
Числитель первой дроби $a^2 - 2a + 1$ — это полный квадрат разности: $(a-1)^2$.
Числитель второй дроби $4a^2 - 1$ — это разность квадратов: $(2a)^2 - 1^2 = (2a-1)(2a+1)$.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(a-1)^2}{2a+1} \cdot \frac{(2a-1)(2a+1)}{a-1}$
Сократим общие множители $(a-1)$ и $(2a+1)$.
$\frac{(a-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{2a+1}} \cdot \frac{(2a-1)(\cancel{2a+1})}{\cancel{a-1}} = (a-1)(2a-1)$
Ответ можно оставить в виде произведения множителей.
Ответ: $(a-1)(2a-1)$

65. Решить уравнение:

1) $\frac{3(x-11)}{4} = \frac{3(x+1)}{5} - \frac{2(2x-5)}{11}$

2) $\frac{2(5x+2)}{9} - 1 = \frac{4(33+2x)}{5} - \frac{5(1-11x)}{9}$

3) $\frac{8(x+10)}{15} - 24\frac{1}{2} = \frac{7x}{10} - \frac{2(11x-5)}{5}$

4) $\frac{2(x-4)}{3} + \frac{3x+13}{8} = \frac{3(2x-3)}{5} - 7$

1) Решим уравнение $ \frac{3(x - 11)}{4} = \frac{3(x + 1)}{5} - \frac{2(2x - 5)}{11} $.
Сначала раскроем скобки в числителях дробей:
$ \frac{3x - 33}{4} = \frac{3x + 3}{5} - \frac{4x - 10}{11} $
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5 и 11. Так как эти числа взаимно простые, НОК(4, 5, 11) = 4 × 5 × 11 = 220.
$ 220 \cdot \frac{3x - 33}{4} = 220 \cdot \frac{3x + 3}{5} - 220 \cdot \frac{4x - 10}{11} $
$ 55(3x - 33) = 44(3x + 3) - 20(4x - 10) $
Теперь раскроем скобки:
$ 165x - 1815 = 132x + 132 - 80x + 200 $
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$ 165x - 1815 = (132x - 80x) + (132 + 200) $
$ 165x - 1815 = 52x + 332 $
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$ 165x - 52x = 332 + 1815 $
$ 113x = 2147 $
Найдем $x$:
$ x = \frac{2147}{113} $
$ x = 19 $
Ответ: 19

2) Решим уравнение $ \frac{2(5x + 2)}{9} - 1 = \frac{4(33 + 2x)}{5} - \frac{5(1 - 11x)}{9} $.
Раскроем скобки в числителях:
$ \frac{10x + 4}{9} - 1 = \frac{132 + 8x}{5} - \frac{5 - 55x}{9} $
НОК знаменателей 9 и 5 равно 45. Умножим обе части уравнения на 45:
$ 45 \cdot \frac{10x + 4}{9} - 45 \cdot 1 = 45 \cdot \frac{132 + 8x}{5} - 45 \cdot \frac{5 - 55x}{9} $
$ 5(10x + 4) - 45 = 9(132 + 8x) - 5(5 - 55x) $
Раскроем скобки:
$ 50x + 20 - 45 = 1188 + 72x - 25 + 275x $
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$ 50x - 25 = (72x + 275x) + (1188 - 25) $
$ 50x - 25 = 347x + 1163 $
Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а числа — в левой:
$ -25 - 1163 = 347x - 50x $
$ -1188 = 297x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{-1188}{297} $
$ x = -4 $
Ответ: -4

3) Решим уравнение $ \frac{8(x + 10)}{15} - 24\frac{1}{2} = \frac{7x}{10} - \frac{2(11x - 5)}{5} $.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $ 24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{49}{2} $. Раскроем скобки в числителях:
$ \frac{8x + 80}{15} - \frac{49}{2} = \frac{7x}{10} - \frac{22x - 10}{5} $
НОК знаменателей 15, 2, 10, 5 равно 30. Умножим обе части уравнения на 30:
$ 30 \cdot \frac{8x + 80}{15} - 30 \cdot \frac{49}{2} = 30 \cdot \frac{7x}{10} - 30 \cdot \frac{22x - 10}{5} $
$ 2(8x + 80) - 15(49) = 3(7x) - 6(22x - 10) $
Выполним умножение и раскроем скобки:
$ 16x + 160 - 735 = 21x - 132x + 60 $
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$ 16x - 575 = -111x + 60 $
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$ 16x + 111x = 60 + 575 $
$ 127x = 635 $
Найдем $x$:
$ x = \frac{635}{127} $
$ x = 5 $
Ответ: 5

4) Решим уравнение $ \frac{2(x - 4)}{3} + \frac{3x + 13}{8} = \frac{3(2x - 3)}{5} - 7 $.
Раскроем скобки в числителях:
$ \frac{2x - 8}{3} + \frac{3x + 13}{8} = \frac{6x - 9}{5} - 7 $
НОК знаменателей 3, 8, 5 равно 3 × 8 × 5 = 120. Умножим обе части уравнения на 120:
$ 120 \cdot \frac{2x - 8}{3} + 120 \cdot \frac{3x + 13}{8} = 120 \cdot \frac{6x - 9}{5} - 120 \cdot 7 $
$ 40(2x - 8) + 15(3x + 13) = 24(6x - 9) - 840 $
Раскроем скобки:
$ 80x - 320 + 45x + 195 = 144x - 216 - 840 $
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$ (80x + 45x) + (-320 + 195) = 144x - (216 + 840) $
$ 125x - 125 = 144x - 1056 $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$ -125 + 1056 = 144x - 125x $
$ 931 = 19x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{931}{19} $
$ x = 49 $
Ответ: 49

66. Решить уравнение относительно $x$, если $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq b$, $a \neq -b$:

1) $\frac{a+b}{x} = \frac{a^2-b^2}{a}$;

2) $\frac{x}{a^2-b^2} = \frac{ab}{a^2-ab}$;

3) $\frac{a^2-2ab+b^2}{b} = \frac{a^2-b^2}{x}$;

4) $\frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3} = \frac{x}{a^2+2ab+b^2}$.

1) Исходное уравнение: $ \frac{a+b}{x} = \frac{a^2-b^2}{a} $. Данное уравнение является пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$ x \cdot (a^2-b^2) = a \cdot (a+b) $
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $ (a^2-b^2) $.
$ x = \frac{a(a+b)}{a^2-b^2} $
Используем формулу разности квадратов для знаменателя: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ x = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} $
Согласно условию, $ a \neq -b $, что означает $ a+b \neq 0 $. Следовательно, мы можем сократить дробь на $ (a+b) $.
$ x = \frac{a}{a-b} $
Проверка ограничений: в исходном уравнении $x$ и $a$ находятся в знаменателях. По условию $a \neq 0$. Полученное выражение для $x$ не равно нулю, так как $a \neq 0$. Знаменатель $a-b \neq 0$ по условию $a \neq b$.
Ответ: $x = \frac{a}{a-b}$

2) Исходное уравнение: $ \frac{x}{a^2-b^2} = \frac{ab}{a^2-ab} $.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $ (a^2-b^2) $.
$ x = \frac{ab(a^2-b^2)}{a^2-ab} $
Разложим на множители числитель и знаменатель правой части.
Числитель: $ ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b) $.
Знаменатель: $ a^2-ab = a(a-b) $.
Подставим разложенные выражения:
$ x = \frac{ab(a-b)(a+b)}{a(a-b)} $
По условию $ a \neq 0 $ и $ a \neq b $ (т.е. $ a-b \neq 0 $), мы можем сократить общие множители $a$ и $ (a-b) $.
$ x = b(a+b) $
Проверка ограничений: знаменатели в исходном уравнении $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ и $ a^2-ab = a(a-b) $ не равны нулю, так как $a \neq b$, $a \neq -b$ и $a \neq 0$.
Ответ: $x = b(a+b)$

3) Исходное уравнение: $ \frac{a^2-2ab+b^2}{b} = \frac{a^2-b^2}{x} $.
Это пропорция. Применяя основное свойство, получаем:
$ x \cdot (a^2-2ab+b^2) = b \cdot (a^2-b^2) $
Выразим $x$:
$ x = \frac{b(a^2-b^2)}{a^2-2ab+b^2} $
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $ b(a^2-b^2) = b(a-b)(a+b) $.
Знаменатель: $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $.
Подставим разложенные выражения:
$ x = \frac{b(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} $
По условию $ a \neq b $, значит $ a-b \neq 0 $. Сокращаем дробь на $ (a-b) $.
$ x = \frac{b(a+b)}{a-b} $
Проверка ограничений: в исходном уравнении в знаменателях стоят $b$ и $x$. По условию $b \neq 0$. Полученное выражение для $x$ не равно нулю, так как $b \neq 0$ и $a+b \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{b(a+b)}{a-b}$

4) Исходное уравнение: $ \frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3} = \frac{x}{a^2+2ab+b^2} $.
Выразим $x$ из пропорции:
$ x = \frac{(ab^2-b^3)(a^2+2ab+b^2)}{a^3b-ab^3} $
Упростим выражение, разложив его части на множители.
$ ab^2-b^3 = b^2(a-b) $
$ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $
$ a^3b-ab^3 = ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b) $
Подставим разложенные выражения в формулу для $x$:
$ x = \frac{b^2(a-b)(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)} $
Согласно условиям $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$, все множители $a, b, (a-b), (a+b)$ не равны нулю. Следовательно, мы можем сократить дробь на $a, b, (a-b)$ и $(a+b)$.
$ x = \frac{b \cdot (a+b)}{a} $
Проверка ограничений: знаменатели в исходном уравнении $ a^3b-ab^3 = ab(a-b)(a+b) $ и $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $ не равны нулю в силу заданных условий.
Ответ: $x = \frac{b(a+b)}{a}$