Страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

77. Выполнить действия:

1) $(\frac{c - d}{c^2 + dc} - \frac{c}{d^2 + cd}) : (\frac{d^2}{c^3 - cd^2} + \frac{1}{c + d});$

2) $(\frac{2n}{k + 2n} - \frac{4n^2}{k^2 + 4nk + 4n^2}) : (\frac{2n}{k^2 - 4n^2} + \frac{1}{2n - k});$

3) $(\frac{2q}{2q + m} - \frac{4q^2}{4q^2 + 4mq + m^2}) : (\frac{2q}{4q^2 - m^2} + \frac{1}{m - 2q}).$

1)

Исходное выражение: $(\frac{c-d}{c^2+dc} - \frac{c}{d^2+cd}) : (\frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d})$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{c-d}{c^2+dc} - \frac{c}{d^2+cd} = \frac{c-d}{c(c+d)} - \frac{c}{d(c+d)} = \frac{d(c-d) - c \cdot c}{cd(c+d)} = \frac{cd-d^2-c^2}{cd(c+d)}$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Также разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов, и приведем к общему знаменателю:

$\frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d} = \frac{d^2}{c(c^2-d^2)} + \frac{1}{c+d} = \frac{d^2}{c(c-d)(c+d)} + \frac{c(c-d)}{c(c-d)(c+d)} = \frac{d^2+c^2-cd}{c(c-d)(c+d)}$

Теперь выполним деление. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{cd-d^2-c^2}{cd(c+d)} : \frac{d^2+c^2-cd}{c(c-d)(c+d)} = \frac{-(c^2-cd+d^2)}{cd(c+d)} \cdot \frac{c(c-d)(c+d)}{c^2-cd+d^2}$

Сократим одинаковые множители $(c^2-cd+d^2)$, $c$ и $(c+d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-1}{d} \cdot \frac{c-d}{1} = \frac{-(c-d)}{d} = \frac{d-c}{d}$

Ответ: $\frac{d-c}{d}$

2)

Исходное выражение: $(\frac{2n}{k+2n} - \frac{4n^2}{k^2+4nk+4n^2}) : (\frac{2n}{k^2-4n^2} + \frac{1}{2n-k})$

Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель второй дроби является полным квадратом $(k+2n)^2$:

$\frac{2n}{k+2n} - \frac{4n^2}{(k+2n)^2} = \frac{2n(k+2n)}{(k+2n)^2} - \frac{4n^2}{(k+2n)^2} = \frac{2nk+4n^2-4n^2}{(k+2n)^2} = \frac{2nk}{(k+2n)^2}$

Упростим выражение во второй скобке. Знаменатель первой дроби — это разность квадратов $k^2-4n^2=(k-2n)(k+2n)$. Знаменатель второй дроби $2n-k = -(k-2n)$:

$\frac{2n}{(k-2n)(k+2n)} + \frac{1}{-(k-2n)} = \frac{2n}{(k-2n)(k+2n)} - \frac{1}{k-2n} = \frac{2n-(k+2n)}{(k-2n)(k+2n)} = \frac{2n-k-2n}{(k-2n)(k+2n)} = \frac{-k}{(k-2n)(k+2n)}$

Выполним деление:

$\frac{2nk}{(k+2n)^2} : \frac{-k}{(k-2n)(k+2n)} = \frac{2nk}{(k+2n)^2} \cdot \frac{(k-2n)(k+2n)}{-k}$

Сократим одинаковые множители $k$ и $(k+2n)$:

$\frac{2n}{k+2n} \cdot \frac{k-2n}{-1} = \frac{2n(k-2n)}{-(k+2n)} = \frac{-2n(k-2n)}{k+2n} = \frac{2n(2n-k)}{k+2n}$

Ответ: $\frac{2n(2n-k)}{k+2n}$

3)

Исходное выражение: $(\frac{2q}{2q+m} - \frac{4q^2}{4q^2+4mq+m^2}) : (\frac{2q}{4q^2-m^2} + \frac{1}{m-2q})$

Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель второй дроби — это полный квадрат $(2q+m)^2$:

$\frac{2q}{2q+m} - \frac{4q^2}{(2q+m)^2} = \frac{2q(2q+m)}{(2q+m)^2} - \frac{4q^2}{(2q+m)^2} = \frac{4q^2+2mq-4q^2}{(2q+m)^2} = \frac{2mq}{(2q+m)^2}$

Упростим выражение во второй скобке. Знаменатель первой дроби — это разность квадратов $4q^2-m^2=(2q-m)(2q+m)$. Знаменатель второй дроби $m-2q = -(2q-m)$:

$\frac{2q}{(2q-m)(2q+m)} + \frac{1}{-(2q-m)} = \frac{2q}{(2q-m)(2q+m)} - \frac{1}{2q-m} = \frac{2q-(2q+m)}{(2q-m)(2q+m)} = \frac{2q-2q-m}{(2q-m)(2q+m)} = \frac{-m}{(2q-m)(2q+m)}$

Выполним деление:

$\frac{2mq}{(2q+m)^2} : \frac{-m}{(2q-m)(2q+m)} = \frac{2mq}{(2q+m)^2} \cdot \frac{(2q-m)(2q+m)}{-m}$

Сократим одинаковые множители $m$ и $(2q+m)$:

$\frac{2q}{2q+m} \cdot \frac{2q-m}{-1} = \frac{2q(2q-m)}{-(2q+m)} = \frac{-2q(2q-m)}{2q+m} = \frac{2q(m-2q)}{2q+m}$

Ответ: $\frac{2q(m-2q)}{2q+m}$

78. Доказать, что если $x + \frac{1}{x} = a$, то $x^3 + \frac{1}{x^3} = a(a^2 - 3)$.

Для доказательства данного утверждения, начнем с исходного равенства:

$x + \frac{1}{x} = a$

Наша цель — выразить $x^3 + \frac{1}{x^3}$ через $a$. Для этого возведем обе части исходного равенства в третью степень (в куб):

$(x + \frac{1}{x})^3 = a^3$

Для раскрытия скобок в левой части воспользуемся формулой куба суммы: $(p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$. Эту формулу также удобно представить в виде: $(p+q)^3 = p^3 + q^3 + 3pq(p+q)$.

Применим эту формулу, где $p = x$ и $q = \frac{1}{x}$:

$x^3 + (\frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x + \frac{1}{x}) = a^3$

Упростим полученное выражение. Произведение $x \cdot \frac{1}{x}$ равно 1:

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot 1 \cdot (x + \frac{1}{x}) = a^3$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = a^3$

Теперь подставим в это равенство значение $x + \frac{1}{x}$ из исходного условия, то есть заменим $x + \frac{1}{x}$ на $a$:

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3a = a^3$

Чтобы найти искомое выражение $x^3 + \frac{1}{x^3}$, перенесем $3a$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a$

В правой части вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = a(a^2 - 3)$

Таким образом, мы доказали требуемое тождество.

Ответ: Утверждение доказано. Если $x + \frac{1}{x} = a$, то $x^3 + \frac{1}{x^3}$ действительно равно $a(a^2 - 3)$.

79. Доказать, что если $-1 < x < 0$ или $0 < x < 1$, то значение выражения $\left(\frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{4x}\right)$ отрицательно.

Для доказательства данного утверждения необходимо упростить выражение и проанализировать его знак на заданных интервалах.

Исходное выражение: $ \left( \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{4x} \right) $

Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $x+1 \neq 0$, $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$. Следовательно, $x \neq -1$, $x \neq 1$, $x \neq 0$. Заданные в условии интервалы ($-1 < x < 0$ и $0 < x < 1$) полностью входят в область допустимых значений.

1. Упрощение первого множителя

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2-1$:

$ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)^2 - (x+1)^2}{(x+1)(x-1)} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$ (x-1)^2 - (x+1)^2 = ((x-1) - (x+1))((x-1) + (x+1)) = (x-1-x-1)(x-1+x+1) = (-2)(2x) = -4x $

Таким образом, первый множитель равен:

$ \frac{-4x}{x^2-1} $

2. Упрощение второго множителя

Приведем слагаемые во второй скобке к общему знаменателю $4x$:

$ \frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{4x} = \frac{1 \cdot 2x}{2 \cdot 2x} - \frac{x \cdot x}{4 \cdot x} - \frac{1}{4x} = \frac{2x - x^2 - 1}{4x} $

Вынесем знак минус из числителя:

$ \frac{-(x^2 - 2x + 1)}{4x} $

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-1)^2$:

$ \frac{-(x-1)^2}{4x} $

3. Перемножение и итоговое упрощение

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$ \left( \frac{-4x}{x^2-1} \right) \cdot \left( \frac{-(x-1)^2}{4x} \right) $

Произведение двух отрицательных сомножителей дает положительный результат. Сокращаем $4x$ в числителе и знаменателе (так как $x \neq 0$):

$ \frac{4x \cdot (x-1)^2}{(x^2-1) \cdot 4x} = \frac{(x-1)^2}{x^2-1} $

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ и сократим дробь на $(x-1)$ (так как $x \neq 1$):

$ \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1} $

4. Анализ знака полученного выражения

Итак, нам нужно определить знак выражения $ \frac{x-1}{x+1} $ на интервалах $-1 < x < 0$ и $0 < x < 1$.

• Случай 1: $-1 < x < 0$

  Числитель: $x-1$. Так как $x < 0$, то $x-1$ будет отрицательным.

  Знаменатель: $x+1$. Так как $x > -1$, то $x+1$ будет положительным.

  Дробь, у которой числитель отрицательный, а знаменатель положительный, имеет отрицательное значение. Следовательно, $ \frac{x-1}{x+1} < 0 $.

• Случай 2: $0 < x < 1$

  Числитель: $x-1$. Так как $x < 1$, то $x-1$ будет отрицательным.

  Знаменатель: $x+1$. Так как $x > 0$, то $x+1$ будет положительным.

  Дробь, у которой числитель отрицательный, а знаменатель положительный, также имеет отрицательное значение. Следовательно, $ \frac{x-1}{x+1} < 0 $.

Мы показали, что на обоих указанных в условии интервалах значение выражения отрицательно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходное выражение тождественно равно дроби $ \frac{x-1}{x+1} $, которая отрицательна для всех $x$ из интервалов $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, так как в этих случаях числитель $x-1$ отрицателен, а знаменатель $x+1$ положителен.

80. Решить уравнение:

1) $2x + \frac{6x-5}{7} = \frac{8x+7}{3}$;

2) $\frac{x+5}{24} - \frac{3x-8}{16} = 1$;

3) $2x+1+\frac{2x-1}{6} = \frac{7x-13}{4}$;

4) $\frac{3(2x-2,5)}{5} - 2x + 2,5 = \frac{2-x}{2}$.

1) Дано уравнение $2x + \frac{6x-5}{7} = \frac{8x+7}{3}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 3, которое равно 21:
$21 \cdot (2x + \frac{6x-5}{7}) = 21 \cdot \frac{8x+7}{3}$
$21 \cdot 2x + 21 \cdot \frac{6x-5}{7} = 21 \cdot \frac{8x+7}{3}$
$42x + 3(6x-5) = 7(8x+7)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$42x + 18x - 15 = 56x + 49$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$60x - 15 = 56x + 49$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$60x - 56x = 49 + 15$
$4x = 64$
Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{64}{4}$
$x = 16$
Ответ: $16$.

2) Дано уравнение $\frac{x+5}{24} - \frac{3x-8}{16} = 1$.
Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 24 и 16. $НОК(24, 16) = 48$. Умножим обе части уравнения на 48:
$48 \cdot (\frac{x+5}{24} - \frac{3x-8}{16}) = 48 \cdot 1$
$48 \cdot \frac{x+5}{24} - 48 \cdot \frac{3x-8}{16} = 48$
$2(x+5) - 3(3x-8) = 48$
Раскроем скобки. Важно учесть знак минус перед второй дробью, который изменит знаки в числителе:
$2x + 10 - 9x + 24 = 48$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2x - 9x) + (10 + 24) = 48$
$-7x + 34 = 48$
Перенесем 34 в правую часть:
$-7x = 48 - 34$
$-7x = 14$
Разделим обе части на -7:
$x = \frac{14}{-7}$
$x = -2$
Ответ: $-2$.

3) Дано уравнение $2x + 1 + \frac{2x-1}{6} = \frac{7x-13}{4}$.
Наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4 равно 12. Умножим все члены уравнения на 12:
$12 \cdot (2x + 1 + \frac{2x-1}{6}) = 12 \cdot \frac{7x-13}{4}$
$12 \cdot 2x + 12 \cdot 1 + 12 \cdot \frac{2x-1}{6} = 12 \cdot \frac{7x-13}{4}$
$24x + 12 + 2(2x-1) = 3(7x-13)$
Раскроем скобки:
$24x + 12 + 4x - 2 = 21x - 39$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(24x + 4x) + (12 - 2) = 21x - 39$
$28x + 10 = 21x - 39$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$28x - 21x = -39 - 10$
$7x = -49$
Найдем $x$:
$x = \frac{-49}{7}$
$x = -7$
Ответ: $-7$.

4) Дано уравнение $\frac{3(2x-2,5)}{5} - 2x + 2,5 = \frac{2-x}{2}$.
Чтобы избавиться от дробей и десятичного числа, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2, то есть на 10:
$10 \cdot (\frac{3(2x-2,5)}{5} - 2x + 2,5) = 10 \cdot \frac{2-x}{2}$
$10 \cdot \frac{3(2x-2,5)}{5} - 10 \cdot 2x + 10 \cdot 2,5 = 5(2-x)$
$2 \cdot 3(2x-2,5) - 20x + 25 = 5(2-x)$
$6(2x-2,5) - 20x + 25 = 10 - 5x$
Раскроем скобки:
$12x - 15 - 20x + 25 = 10 - 5x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(12x - 20x) + (-15 + 25) = 10 - 5x$
$-8x + 10 = 10 - 5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-8x + 5x = 10 - 10$
$-3x = 0$
Найдем $x$:
$x = \frac{0}{-3}$
$x = 0$
Ответ: $0$.

81. Найти неизвестное число x из пропорции:

1) $\frac{a}{x} = \frac{2b}{3}$;

2) $\frac{4a}{3b} = \frac{2x}{a}$;

3) $\frac{x}{a+b} = \frac{a}{(a+b)^2}$;

4) $\frac{a+1}{a-1} = \frac{a^2-1}{ax}$.

1)

Дана пропорция: $\frac{a}{x} = \frac{2b}{3}$.

Для нахождения неизвестного члена пропорции $x$ воспользуемся основным свойством пропорции (правилом перекрестного умножения): произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$a \cdot 3 = x \cdot 2b$

$3a = 2bx$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на $2b$ (при условии, что $b \neq 0$ и $a \neq 0$ для нетривиального решения):

$x = \frac{3a}{2b}$

Ответ: $x = \frac{3a}{2b}$.

2)

Дана пропорция: $\frac{4a}{3b} = \frac{2x}{a}$.

Применяем основное свойство пропорции:

$4a \cdot a = 3b \cdot 2x$

$4a^2 = 6bx$

Выразим $x$, разделив обе части уравнения на $6b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$x = \frac{4a^2}{6b}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2a^2}{3b}$

Ответ: $x = \frac{2a^2}{3b}$.

3)

Дана пропорция: $\frac{x}{a+b} = \frac{a}{(a+b)^2}$.

Для того чтобы пропорция имела смысл, необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $a+b \neq 0$.

Используем правило перекрестного умножения:

$x \cdot (a+b)^2 = a \cdot (a+b)$

Разделим обе части уравнения на $(a+b)$, так как мы установили, что $(a+b) \neq 0$:

$x \cdot (a+b) = a$

Теперь, чтобы найти $x$, снова разделим обе части на $(a+b)$:

$x = \frac{a}{a+b}$

Ответ: $x = \frac{a}{a+b}$.

4)

Дана пропорция: $\frac{a+1}{a-1} = \frac{a^2-1}{ax}$.

Область допустимых значений: $a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$ и $ax \neq 0 \implies a \neq 0, x \neq 0$.

Применим основное свойство пропорции:

$(a+1) \cdot ax = (a-1) \cdot (a^2-1)$

Используем формулу разности квадратов для выражения $a^2-1$: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Подставим это в уравнение:

$(a+1) \cdot ax = (a-1) \cdot (a-1)(a+1)$

$(a+1)ax = (a-1)^2(a+1)$

Если $a+1 \neq 0$ (то есть $a \neq -1$), мы можем разделить обе части уравнения на $(a+1)$:

$ax = (a-1)^2$

Теперь разделим обе части на $a$ (мы уже знаем, что $a \neq 0$):

$x = \frac{(a-1)^2}{a}$

Ответ: $x = \frac{(a-1)^2}{a}$.