Номер 79, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 79, страница 29.

Условие.

79. Доказать, что если $-1 < x < 0$ или $0 < x < 1$, то значение выражения $\left(\frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{4x}\right)$ отрицательно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения необходимо упростить выражение и проанализировать его знак на заданных интервалах.

Исходное выражение: $ \left( \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{4x} \right) $

Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $x+1 \neq 0$, $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$. Следовательно, $x \neq -1$, $x \neq 1$, $x \neq 0$. Заданные в условии интервалы ($-1 < x < 0$ и $0 < x < 1$) полностью входят в область допустимых значений.

1. Упрощение первого множителя

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2-1$:

$ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)^2 - (x+1)^2}{(x+1)(x-1)} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$ (x-1)^2 - (x+1)^2 = ((x-1) - (x+1))((x-1) + (x+1)) = (x-1-x-1)(x-1+x+1) = (-2)(2x) = -4x $

Таким образом, первый множитель равен:

$ \frac{-4x}{x^2-1} $

2. Упрощение второго множителя

Приведем слагаемые во второй скобке к общему знаменателю $4x$:

$ \frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{4x} = \frac{1 \cdot 2x}{2 \cdot 2x} - \frac{x \cdot x}{4 \cdot x} - \frac{1}{4x} = \frac{2x - x^2 - 1}{4x} $

Вынесем знак минус из числителя:

$ \frac{-(x^2 - 2x + 1)}{4x} $

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-1)^2$:

$ \frac{-(x-1)^2}{4x} $

3. Перемножение и итоговое упрощение

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$ \left( \frac{-4x}{x^2-1} \right) \cdot \left( \frac{-(x-1)^2}{4x} \right) $

Произведение двух отрицательных сомножителей дает положительный результат. Сокращаем $4x$ в числителе и знаменателе (так как $x \neq 0$):

$ \frac{4x \cdot (x-1)^2}{(x^2-1) \cdot 4x} = \frac{(x-1)^2}{x^2-1} $

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ и сократим дробь на $(x-1)$ (так как $x \neq 1$):

$ \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1} $

4. Анализ знака полученного выражения

Итак, нам нужно определить знак выражения $ \frac{x-1}{x+1} $ на интервалах $-1 < x < 0$ и $0 < x < 1$.

• Случай 1: $-1 < x < 0$

  Числитель: $x-1$. Так как $x < 0$, то $x-1$ будет отрицательным.

  Знаменатель: $x+1$. Так как $x > -1$, то $x+1$ будет положительным.

  Дробь, у которой числитель отрицательный, а знаменатель положительный, имеет отрицательное значение. Следовательно, $ \frac{x-1}{x+1} < 0 $.

• Случай 2: $0 < x < 1$

  Числитель: $x-1$. Так как $x < 1$, то $x-1$ будет отрицательным.

  Знаменатель: $x+1$. Так как $x > 0$, то $x+1$ будет положительным.

  Дробь, у которой числитель отрицательный, а знаменатель положительный, также имеет отрицательное значение. Следовательно, $ \frac{x-1}{x+1} < 0 $.

Мы показали, что на обоих указанных в условии интервалах значение выражения отрицательно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходное выражение тождественно равно дроби $ \frac{x-1}{x+1} $, которая отрицательна для всех $x$ из интервалов $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, так как в этих случаях числитель $x-1$ отрицателен, а знаменатель $x+1$ положителен.