Номер 86, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 86, страница 30.

Условие.

86. 1) $(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}) \cdot \frac{4a^2-4}{3};$

2) $\frac{a^2-c^2}{a+b} \cdot \frac{a^2-b^2}{ac+c^2} \cdot (a + \frac{ac}{a-c});$

3) $(\frac{b}{a^2+ab} + \frac{2}{a+b} + \frac{a}{b^2+ab}) : \frac{a^2-b^2}{4ab};$

4) $\frac{c^2-ac}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{c^2-a^2} : (c - \frac{ac}{a+c}).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Исходное выражение: $ (\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}) \cdot \frac{4a^2-4}{3} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ 2a-2 = 2(a-1) $

$ 2a^2-2 = 2(a^2-1) = 2(a-1)(a+1) $

$ 2a+2 = 2(a+1) $

Общий знаменатель для дробей в скобках равен $ 2(a-1)(a+1) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{a+1}{2(a-1)} = \frac{(a+1)(a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{2(a-1)(a+1)} $

$ \frac{a+3}{2(a+1)} = \frac{(a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2-a+3a-3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a-3}{2(a-1)(a+1)} $

Теперь выполним сложение и вычитание в скобках:

$ \frac{a^2+2a+1}{2(a-1)(a+1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a^2+2a-3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(a^2+2a+1) + 6 - (a^2+2a-3)}{2(a-1)(a+1)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2+2a+1+6-a^2-2a+3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{10}{2(a-1)(a+1)} = \frac{5}{(a-1)(a+1)} $

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь $ \frac{4a^2-4}{3} $. Разложим ее числитель на множители: $ 4a^2-4 = 4(a^2-1) = 4(a-1)(a+1) $.

$ \frac{5}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{4(a-1)(a+1)}{3} $

Сократим общие множители $ (a-1)(a+1) $:

$ \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} $

Ответ: $ \frac{20}{3} $

2)

Исходное выражение: $ \frac{a^2-c^2}{a+b} \cdot \frac{a^2-b^2}{ac+c^2} \cdot (a + \frac{ac}{a-c}) $

Сначала упростим выражение в скобках:

$ a + \frac{ac}{a-c} = \frac{a(a-c)}{a-c} + \frac{ac}{a-c} = \frac{a^2-ac+ac}{a-c} = \frac{a^2}{a-c} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей в исходном выражении:

$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $

$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $

$ ac+c^2 = c(a+c) $

Подставим все упрощенные и разложенные части в исходное выражение:

$ \frac{(a-c)(a+c)}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{c(a+c)} \cdot \frac{a^2}{a-c} $

Сократим общие множители: $ (a-c) $, $ (a+c) $ и $ (a+b) $.

$ \frac{\cancel{(a-c)}\cancel{(a+c)}}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{c\cancel{(a+c)}} \cdot \frac{a^2}{\cancel{a-c}} = \frac{a-b}{c} \cdot a^2 = \frac{a^2(a-b)}{c} $

Ответ: $ \frac{a^2(a-b)}{c} $

3)

Исходное выражение: $ (\frac{b}{a^2+ab} + \frac{2}{a+b} + \frac{a}{b^2+ab}) : \frac{a^2-b^2}{4ab} $

Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя:

$ a^2+ab = a(a+b) $

$ b^2+ab = b(b+a) = b(a+b) $

Общий знаменатель: $ ab(a+b) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{b}{a(a+b)} = \frac{b \cdot b}{ab(a+b)} = \frac{b^2}{ab(a+b)} $

$ \frac{2}{a+b} = \frac{2 \cdot ab}{ab(a+b)} = \frac{2ab}{ab(a+b)} $

$ \frac{a}{b(a+b)} = \frac{a \cdot a}{ab(a+b)} = \frac{a^2}{ab(a+b)} $

Сложим дроби в скобках:

$ \frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab(a+b)} $

Числитель является полным квадратом: $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $.

$ \frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} = \frac{a+b}{ab} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{a+b}{ab} : \frac{a^2-b^2}{4ab} = \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{4ab}{a^2-b^2} $

Разложим $ a^2-b^2 $ по формуле разности квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.

$ \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{4ab}{(a-b)(a+b)} $

Сократим общие множители $ (a+b) $ и $ ab $:

$ \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{4\cancel{ab}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{4}{a-b} $

Ответ: $ \frac{4}{a-b} $

4)

Исходное выражение: $ \frac{c^2-ac}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{c^2-a^2} : (c - \frac{ac}{a+c}) $

Сначала упростим выражение в скобках:

$ c - \frac{ac}{a+c} = \frac{c(a+c)}{a+c} - \frac{ac}{a+c} = \frac{ac+c^2-ac}{a+c} = \frac{c^2}{a+c} $

Теперь заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{c^2-ac}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{c^2-a^2} \cdot \frac{a+c}{c^2} $

Разложим числители и знаменатели на множители:

$ c^2-ac = c(c-a) $

$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $

$ c^2-a^2 = (c-a)(c+a) $

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{c(c-a)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{(c-a)(c+a)} \cdot \frac{a+c}{c^2} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{c}\cancel{(c-a)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{(c-a)}\cancel{(c+a)}} \cdot \frac{\cancel{a+c}}{c^{\cancel{2}}} = \frac{1}{(a+b)c} $

Ответ: $ \frac{1}{c(a+b)} $