Номер 82, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 82, страница 30.

Условие.

82. Решить уравнение:

1) $\frac{(1 - 5x)^2}{48} - \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{8} = \frac{x + 0,25x^2}{12}$;

2) $\frac{0,03 - x^2}{9} - \frac{(0,1 + x)^2}{18} = \frac{(0,1 - x)(0,1 + x)}{6}$;

3) $\frac{(3x + 4)^2}{36} + \frac{3x(1 - x)}{18} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{12}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное уравнение: $ \frac{(1-5x)^2}{48} - \frac{(2x-1)(2x+1)}{8} = \frac{x+0,25x^2}{12} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 48, 8 и 12 равен 48.

$ 48 \cdot \frac{(1-5x)^2}{48} - 48 \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{8} = 48 \cdot \frac{x+0,25x^2}{12} $

После сокращения получаем:

$ (1-5x)^2 - 6(2x-1)(2x+1) = 4(x+0,25x^2) $

Теперь раскроем скобки. В левой части используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$ (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5x + (5x)^2) - 6((2x)^2 - 1^2) = 4x + 4 \cdot 0,25x^2 $

$ (1 - 10x + 25x^2) - 6(4x^2 - 1) = 4x + x^2 $

$ 1 - 10x + 25x^2 - 24x^2 + 6 = 4x + x^2 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (25x^2 - 24x^2) - 10x + (1+6) = 4x + x^2 $

$ x^2 - 10x + 7 = 4x + x^2 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ x^2 - x^2 - 10x - 4x = -7 $

$ -14x = -7 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-7}{-14} = \frac{1}{2} $ или $0,5$

Ответ: $0,5$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{0,03-x^2}{9} - \frac{(0,1+x)^2}{18} = \frac{(0,1-x)(0,1+x)}{6} $

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 9, 18 и 6 равен 18.

$ 18 \cdot \frac{0,03-x^2}{9} - 18 \cdot \frac{(0,1+x)^2}{18} = 18 \cdot \frac{(0,1-x)(0,1+x)}{6} $

После сокращения получаем:

$ 2(0,03-x^2) - (0,1+x)^2 = 3(0,1-x)(0,1+x) $

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов:

$ (0,06 - 2x^2) - (0,1^2 + 2 \cdot 0,1 \cdot x + x^2) = 3(0,1^2 - x^2) $

$ 0,06 - 2x^2 - (0,01 + 0,2x + x^2) = 3(0,01 - x^2) $

$ 0,06 - 2x^2 - 0,01 - 0,2x - x^2 = 0,03 - 3x^2 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (0,06-0,01) + (-2x^2 - x^2) - 0,2x = 0,03 - 3x^2 $

$ 0,05 - 3x^2 - 0,2x = 0,03 - 3x^2 $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$ -3x^2 + 3x^2 - 0,2x = 0,03 - 0,05 $

$ -0,2x = -0,02 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-0,02}{-0,2} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $ или $0,1$

Ответ: $0,1$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{(3x+4)^2}{36} + \frac{3x(1-x)}{18} = \frac{(x-4)(x+4)}{12} $

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 36, 18 и 12 равен 36.

$ 36 \cdot \frac{(3x+4)^2}{36} + 36 \cdot \frac{3x(1-x)}{18} = 36 \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{12} $

После сокращения получаем:

$ (3x+4)^2 + 2 \cdot 3x(1-x) = 3(x-4)(x+4) $

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$ ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2) + 6x(1-x) = 3(x^2 - 4^2) $

$ (9x^2 + 24x + 16) + (6x - 6x^2) = 3(x^2 - 16) $

$ 9x^2 + 24x + 16 + 6x - 6x^2 = 3x^2 - 48 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (9x^2 - 6x^2) + (24x + 6x) + 16 = 3x^2 - 48 $

$ 3x^2 + 30x + 16 = 3x^2 - 48 $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$ 3x^2 - 3x^2 + 30x = -48 - 16 $

$ 30x = -64 $

Найдем $x$:

$ x = -\frac{64}{30} $

Сократим дробь на 2:

$ x = -\frac{32}{15} $

Можно представить в виде смешанной дроби: $x = -2\frac{2}{15}$.

Ответ: $-\frac{32}{15}$.