Номер 76, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 76, страница 28.

Условие.

76. Найти значение выражения:

1) $x^2 - \frac{x^3 - 4xy^2}{x^3 - 2x^2y + xy^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - 2y}$ при $x = -5, y = -\frac{1}{2};$

2) $\frac{3}{2} - \frac{3n^2 - 6n + 3}{2n^2 + 2n + 2} \cdot \frac{n - 1}{n^3 + n^2 + n}$ при $n = \frac{1}{3};$

3) $\left(\frac{3}{a - b} - \frac{3a}{b^2 - a^2}\right) : \frac{6a + 3b}{a^2 + 2ab + b^2}$ при $a = 3\frac{1}{4}, b = -0,75;$

4) $\left(\frac{mn}{m^2 - n^2} + \frac{n}{2n - 2m}\right) \cdot \frac{m^2 - n^2}{2n}$ при $m = 6\frac{1}{2}, n = -1,5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Выражение: $x^2 - \frac{x^3 - 4xy^2}{x^3 - 2x^2y + xy^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - 2y}$

Разложим на множители первую дробь:

Числитель: $x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x - 2y)(x + 2y)$

Знаменатель: $x^3 - 2x^2y + xy^2 = x(x^2 - 2xy + y^2) = x(x - y)^2$

Разложим на множители вторую дробь:

Числитель: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Знаменатель: $x - 2y$

Подставим разложенные выражения обратно и выполним умножение дробей:

$\frac{x(x - 2y)(x + 2y)}{x(x - y)^2} \cdot \frac{(x - y)^2}{x - 2y}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $x$, $(x - 2y)$ и $(x - y)^2$.

После сокращения от дробей остается: $x + 2y$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$x^2 - (x + 2y) = x^2 - x - 2y$

Подставим значения $x = -5$ и $y = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$(-5)^2 - (-5) - 2(-\frac{1}{2}) = 25 + 5 + 1 = 31$

Ответ: 31

2) Сначала упростим выражение. Выполним деление дробей, предварительно разложив их числители и знаменатели на множители.

Выражение: $\frac{3}{2} - \frac{3n^2 - 6n + 3}{2n^2 + 2n + 2} : \frac{n-1}{n^3 + n^2 + n}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{3n^2 - 6n + 3}{2n^2 + 2n + 2} \cdot \frac{n^3 + n^2 + n}{n-1}$

Разложим на множители:

$3n^2 - 6n + 3 = 3(n^2 - 2n + 1) = 3(n-1)^2$

$2n^2 + 2n + 2 = 2(n^2 + n + 1)$

$n^3 + n^2 + n = n(n^2 + n + 1)$

Подставим разложенные выражения:

$\frac{3(n-1)^2}{2(n^2 + n + 1)} \cdot \frac{n(n^2 + n + 1)}{n-1}$

Сократим одинаковые множители $(n-1)$ и $(n^2 + n + 1)$. Получим:

$\frac{3(n-1)n}{2}$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$\frac{3}{2} - \frac{3n(n-1)}{2} = \frac{3 - (3n^2 - 3n)}{2} = \frac{3 - 3n^2 + 3n}{2}$

Подставим значение $n = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $\frac{3}{2} - \frac{3n(n-1)}{2}$:

$\frac{3}{2} - \frac{3 \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 1)}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{3}{3})}{2} = \frac{3}{2} - \frac{-\frac{2}{3}}{2} = \frac{3}{2} - (-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{3}$

Приведем к общему знаменателю 6:

$\frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{9+2}{6} = \frac{11}{6}$

Ответ: $\frac{11}{6}$

3) Сначала упростим выражение. Начнем с действий в скобках.

Выражение: $(\frac{3}{a-b} - \frac{3a}{b^2 - a^2}) : \frac{6a+3b}{a^2+2ab+b^2}$

Упростим выражение в скобках: $\frac{3}{a-b} - \frac{3a}{b^2 - a^2}$. Заметим, что $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -(a-b)(a+b)$.

$\frac{3}{a-b} - \frac{3a}{-(a-b)(a+b)} = \frac{3}{a-b} + \frac{3a}{(a-b)(a+b)}$

Приведем к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{3(a+b) + 3a}{(a-b)(a+b)} = \frac{3a + 3b + 3a}{(a-b)(a+b)} = \frac{6a + 3b}{(a-b)(a+b)}$

Теперь выполним деление:

$\frac{6a + 3b}{(a-b)(a+b)} : \frac{6a+3b}{a^2+2ab+b^2}$

Заметим, что $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Заменим деление на умножение:

$\frac{6a + 3b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{6a+3b}$

Сократим одинаковые множители $(6a+3b)$ и $(a+b)$. Получим:

$\frac{a+b}{a-b}$

Подставим значения $a = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ и $b = -0,75 = -\frac{3}{4}$:

$a+b = \frac{13}{4} + (-\frac{3}{4}) = \frac{13-3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$a-b = \frac{13}{4} - (-\frac{3}{4}) = \frac{13+3}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Найдем значение выражения: $\frac{a+b}{a-b} = \frac{5/2}{4} = \frac{5}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$

4) Сначала упростим выражение. Начнем с действий в скобках.

Выражение: $(\frac{mn}{m^2 - n^2} + \frac{n}{2n - 2m}) \cdot \frac{m^2 - n^2}{2n}$

Упростим выражение в скобках: $\frac{mn}{m^2 - n^2} + \frac{n}{2n - 2m}$. Заметим, что $2n - 2m = -2(m - n)$.

$\frac{mn}{(m-n)(m+n)} + \frac{n}{-2(m-n)} = \frac{mn}{(m-n)(m+n)} - \frac{n}{2(m-n)}$

Приведем к общему знаменателю $2(m-n)(m+n)$:

$\frac{2mn - n(m+n)}{2(m-n)(m+n)} = \frac{2mn - mn - n^2}{2(m-n)(m+n)} = \frac{mn - n^2}{2(m-n)(m+n)}$

Вынесем $n$ за скобки в числителе: $\frac{n(m-n)}{2(m-n)(m+n)}$. Сократим $(m-n)$:

$\frac{n}{2(m+n)}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{n}{2(m+n)} \cdot \frac{m^2 - n^2}{2n} = \frac{n}{2(m+n)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{2n}$

Сократим одинаковые множители $n$ и $(m+n)$. Получим:

$\frac{m-n}{4}$

Подставим значения $m = 6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$ и $n = -1,5 = -\frac{3}{2}$:

$m-n = \frac{13}{2} - (-\frac{3}{2}) = \frac{13+3}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Найдем значение выражения: $\frac{m-n}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: 2