Номер 69, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 69, страница 28.

Условие.

Выполнить действия (69—75).

69.

1) $(\frac{a}{2} + \frac{a}{3}) \cdot \frac{1}{a^2};$

2) $\frac{a^2}{3} \cdot (\frac{2}{a} + \frac{2}{a^2});$

3) $\frac{a-b}{a+b} \cdot (\frac{a}{5} + \frac{b}{5});$

4) $\frac{ab}{a-b} \cdot (\frac{1}{b} - \frac{1}{a});$

5) $1 : (1 - \frac{1}{a});$

6) $b : (b + \frac{1}{b}).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала выполним сложение дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 3 равен 6.
$(\frac{a}{2} + \frac{a}{3}) \cdot \frac{1}{a^2} = (\frac{3a}{6} + \frac{2a}{6}) \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{3a+2a}{6} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{5a}{6} \cdot \frac{1}{a^2}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{5a}{6} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{5a}{6a^2}$
Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{5a}{6a^2} = \frac{5}{6a}$
Ответ: $\frac{5}{6a}$

2) Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $a^2$.
$\frac{a^2}{3} \cdot (\frac{2}{a} + \frac{2}{a^2}) = \frac{a^2}{3} \cdot (\frac{2a}{a^2} + \frac{2}{a^2}) = \frac{a^2}{3} \cdot \frac{2a+2}{a^2}$
Выполним умножение и сократим дробь на $a^2$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{a^2(2a+2)}{3a^2} = \frac{2a+2}{3}$
Можно вынести общий множитель 2 в числителе:
$\frac{2(a+1)}{3}$
Ответ: $\frac{2(a+1)}{3}$

3) Сначала выполним сложение дробей в скобках. Знаменатель у них общий.
$\frac{a-b}{a+b} \cdot (\frac{a}{5} + \frac{b}{5}) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{a+b}{5}$
Теперь выполним умножение. Мы видим, что множитель $(a+b)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем его сократить (при условии, что $a+b \neq 0$).
$\frac{(a-b)(a+b)}{5(a+b)} = \frac{a-b}{5}$
Ответ: $\frac{a-b}{5}$

4) Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$.
$\frac{ab}{a-b} \cdot (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) = \frac{ab}{a-b} \cdot (\frac{a}{ab} - \frac{b}{ab}) = \frac{ab}{a-b} \cdot \frac{a-b}{ab}$
Теперь выполним умножение. Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$).
$\frac{ab(a-b)}{(a-b)ab} = 1$
Ответ: $1$

5) Сначала упростим выражение в скобках.
$1 : (1 - \frac{1}{a}) = 1 : (\frac{a}{a} - \frac{1}{a}) = 1 : \frac{a-1}{a}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$1 \cdot \frac{a}{a-1} = \frac{a}{a-1}$
Ответ: $\frac{a}{a-1}$

6) Сначала упростим выражение в скобках.
$b : (b + \frac{1}{b}) = b : (\frac{b^2}{b} + \frac{1}{b}) = b : \frac{b^2+1}{b}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$b \cdot \frac{b}{b^2+1} = \frac{b^2}{b^2+1}$
Ответ: $\frac{b^2}{b^2+1}$