Номер 3, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 27.

Условие.

3. Выполнить умножение:

1) $13a^3b^7 \cdot 2ab^2;$

2) $25x^6y \cdot 3xy^5;$

3) $(2x^6 - y)(y + 2x^6).$

Решение 4.

1) $13a^3b^7 \cdot 2ab^2$

Чтобы выполнить умножение одночленов, необходимо перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели.

1. Умножаем коэффициенты: $13 \cdot 2 = 26$.

2. Умножаем переменные $a$: $a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$.

3. Умножаем переменные $b$: $b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.

4. Собираем всё вместе: $26a^4b^9$.

Таким образом, $13a^3b^7 \cdot 2ab^2 = (13 \cdot 2) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (b^7 \cdot b^2) = 26a^4b^9$.

Ответ: $26a^4b^9$.

2) $25x^6y \cdot 3xy^5$

Действуем по тому же правилу, что и в предыдущем примере.

1. Умножаем коэффициенты: $25 \cdot 3 = 75$.

2. Умножаем переменные $x$: $x^6 \cdot x = x^{6+1} = x^7$.

3. Умножаем переменные $y$: $y \cdot y^5 = y^{1+5} = y^6$.

4. Собираем всё вместе: $75x^7y^6$.

Таким образом, $25x^6y \cdot 3xy^5 = (25 \cdot 3) \cdot (x^6 \cdot x) \cdot (y \cdot y^5) = 75x^7y^6$.

Ответ: $75x^7y^6$.

3) $(2x^6 - y)(y + 2x^6)$

В данном случае мы умножаем два двучлена. Можно заметить, что это формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Сначала поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы было нагляднее: $(2x^6 - y)(2x^6 + y)$.

Здесь в роли $a$ выступает $2x^6$, а в роли $b$ выступает $y$.

Применяем формулу:

$(2x^6 - y)(2x^6 + y) = (2x^6)^2 - y^2$.

Теперь возведем в квадрат первое слагаемое:

$(2x^6)^2 = 2^2 \cdot (x^6)^2 = 4x^{6 \cdot 2} = 4x^{12}$.

В итоге получаем выражение:

$4x^{12} - y^2$.

Ответ: $4x^{12} - y^2$.