Номер 75, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 75, страница 28.

Условие.

75. 1) $\left( \frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} \right) : \left( \frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y} \right);$

2) $\left( \frac{2-a}{2+a} - \frac{a+2}{a-2} \right) : \left( \frac{2+a}{2-a} + \frac{a-2}{a+2} \right);$

3) $\left( \frac{m^2}{m-n} + \frac{m^2n}{m^2-2mn+n^2} \right) : \left( \frac{2m^2}{m^2-n^2} - \frac{m}{m+n} \right).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Сначала упростим выражение в первой скобке: $\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$\frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2 - y^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2}{x^2-y^2} = \frac{4xy}{x^2-y^2}$

Теперь упростим выражение во второй скобке: $\frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y}$.

Общий знаменатель тот же: $x^2-y^2$.

$\frac{(x-y)^2 + (x+y)^2}{x^2-y^2} = \frac{(x^2-2xy+y^2) + (x^2+2xy+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}$

Выполним деление результатов:

$\frac{4xy}{x^2-y^2} : \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2(x^2+y^2)}$

Сократим дробь на $(x^2-y^2)$ и на 2:

$\frac{4xy}{2(x^2+y^2)} = \frac{2xy}{x^2+y^2}$

Ответ: $\frac{2xy}{x^2+y^2}$

---

2)

Упростим выражение в первой скобке: $\frac{2-a}{2+a} - \frac{a+2}{a-2}$.

Заметим, что $a-2 = -(2-a)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(2+a)(a-2) = a^2-4$:

$\frac{(2-a)(a-2)}{(2+a)(a-2)} - \frac{(a+2)(2+a)}{(a-2)(2+a)} = \frac{-(a-2)^2 - (a+2)^2}{a^2-4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{-(a^2-4a+4) - (a^2+4a+4)}{a^2-4} = \frac{-a^2+4a-4 - a^2-4a-4}{a^2-4} = \frac{-2a^2-8}{a^2-4} = \frac{-2(a^2+4)}{a^2-4}$

Упростим выражение во второй скобке: $\frac{2+a}{2-a} + \frac{a-2}{a+2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2-a)(a+2) = 4-a^2$:

$\frac{(2+a)(a+2)}{(2-a)(a+2)} + \frac{(a-2)(2-a)}{(a+2)(2-a)} = \frac{(a+2)^2 - (a-2)^2}{4-a^2}$

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\frac{((a+2)-(a-2))((a+2)+(a-2))}{4-a^2} = \frac{(a+2-a+2)(a+2+a-2)}{4-a^2} = \frac{4 \cdot 2a}{4-a^2} = \frac{8a}{4-a^2}$

Выполним деление результатов. Заметим, что $a^2-4 = -(4-a^2)$, поэтому $\frac{-2(a^2+4)}{a^2-4} = \frac{2(a^2+4)}{4-a^2}$:

$\frac{2(a^2+4)}{4-a^2} : \frac{8a}{4-a^2} = \frac{2(a^2+4)}{4-a^2} \cdot \frac{4-a^2}{8a}$

Сократим дробь на $(4-a^2)$ и на 2:

$\frac{2(a^2+4)}{8a} = \frac{a^2+4}{4a}$

Ответ: $\frac{a^2+4}{4a}$

---

3)

Сначала упростим выражение в первой скобке: $\frac{m^2}{m-n} + \frac{m^2n}{m^2-2mn+n^2}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $m^2-2mn+n^2 = (m-n)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{m^2}{m-n} + \frac{m^2n}{(m-n)^2}$.

Приведем к общему знаменателю $(m-n)^2$:

$\frac{m^2(m-n)}{(m-n)^2} + \frac{m^2n}{(m-n)^2} = \frac{m^2(m-n)+m^2n}{(m-n)^2} = \frac{m^3-m^2n+m^2n}{(m-n)^2} = \frac{m^3}{(m-n)^2}$

Теперь упростим выражение во второй скобке: $\frac{2m^2}{m^2-n^2} - \frac{m}{m+n}$.

Знаменатель первой дроби — разность квадратов: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.

Выражение принимает вид: $\frac{2m^2}{(m-n)(m+n)} - \frac{m}{m+n}$.

Приведем к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$:

$\frac{2m^2}{(m-n)(m+n)} - \frac{m(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{2m^2 - m(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{2m^2-m^2+mn}{(m-n)(m+n)}$

Упростим числитель: $\frac{m^2+mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)}$.

Сократим дробь на $(m+n)$: $\frac{m}{m-n}$.

Выполним деление результатов:

$\frac{m^3}{(m-n)^2} : \frac{m}{m-n} = \frac{m^3}{(m-n)^2} \cdot \frac{m-n}{m}$

Сократим дробь на $m$ и на $(m-n)$:

$\frac{m^2}{m-n}$

Ответ: $\frac{m^2}{m-n}$