Номер 81, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 81, страница 29.

Условие.

81. Найти неизвестное число x из пропорции:

1) $\frac{a}{x} = \frac{2b}{3}$;

2) $\frac{4a}{3b} = \frac{2x}{a}$;

3) $\frac{x}{a+b} = \frac{a}{(a+b)^2}$;

4) $\frac{a+1}{a-1} = \frac{a^2-1}{ax}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана пропорция: $\frac{a}{x} = \frac{2b}{3}$.

Для нахождения неизвестного члена пропорции $x$ воспользуемся основным свойством пропорции (правилом перекрестного умножения): произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$a \cdot 3 = x \cdot 2b$

$3a = 2bx$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на $2b$ (при условии, что $b \neq 0$ и $a \neq 0$ для нетривиального решения):

$x = \frac{3a}{2b}$

Ответ: $x = \frac{3a}{2b}$.

2)

Дана пропорция: $\frac{4a}{3b} = \frac{2x}{a}$.

Применяем основное свойство пропорции:

$4a \cdot a = 3b \cdot 2x$

$4a^2 = 6bx$

Выразим $x$, разделив обе части уравнения на $6b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$x = \frac{4a^2}{6b}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2a^2}{3b}$

Ответ: $x = \frac{2a^2}{3b}$.

3)

Дана пропорция: $\frac{x}{a+b} = \frac{a}{(a+b)^2}$.

Для того чтобы пропорция имела смысл, необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $a+b \neq 0$.

Используем правило перекрестного умножения:

$x \cdot (a+b)^2 = a \cdot (a+b)$

Разделим обе части уравнения на $(a+b)$, так как мы установили, что $(a+b) \neq 0$:

$x \cdot (a+b) = a$

Теперь, чтобы найти $x$, снова разделим обе части на $(a+b)$:

$x = \frac{a}{a+b}$

Ответ: $x = \frac{a}{a+b}$.

4)

Дана пропорция: $\frac{a+1}{a-1} = \frac{a^2-1}{ax}$.

Область допустимых значений: $a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$ и $ax \neq 0 \implies a \neq 0, x \neq 0$.

Применим основное свойство пропорции:

$(a+1) \cdot ax = (a-1) \cdot (a^2-1)$

Используем формулу разности квадратов для выражения $a^2-1$: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Подставим это в уравнение:

$(a+1) \cdot ax = (a-1) \cdot (a-1)(a+1)$

$(a+1)ax = (a-1)^2(a+1)$

Если $a+1 \neq 0$ (то есть $a \neq -1$), мы можем разделить обе части уравнения на $(a+1)$:

$ax = (a-1)^2$

Теперь разделим обе части на $a$ (мы уже знаем, что $a \neq 0$):

$x = \frac{(a-1)^2}{a}$

Ответ: $x = \frac{(a-1)^2}{a}$.