Номер 83, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 83, страница 30.

Условие.

83. Найти значение выражения:

1) $\frac{2x}{4x^2 - y^2} - \frac{1}{2x + y} - \frac{y}{4x^2 - y^2}$ при $x=0,37$, $y=-1,4$;

2) $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 + x} + 1\right)$ при $x=\frac{1}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2x}{4x^2 - y^2} - \frac{1}{2x + y} - \frac{y}{4x^2 - y^2} $

Заметим, что знаменатель $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$. Это и будет общим знаменателем.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(2x - y)$:

$ \frac{2x}{(2x - y)(2x + y)} - \frac{1 \cdot (2x - y)}{(2x + y)(2x - y)} - \frac{y}{(2x - y)(2x + y)} $

Теперь объединим все дроби в одну, выполнив действия в числителе:

$ \frac{2x - (2x - y) - y}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{2x - 2x + y - y}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{0}{(2x - y)(2x + y)} = 0 $

Выражение равно нулю при любых значениях $x$ и $y$, при которых оно определено (то есть знаменатель не равен нулю).

Проверим, что при заданных значениях $x = 0,37$ и $y = -1,4$ знаменатель не обращается в ноль:

$ 4x^2 - y^2 = 4 \cdot (0,37)^2 - (-1,4)^2 = 4 \cdot 0,1369 - 1,96 = 0,5476 - 1,96 = -1,4124 $

Поскольку $-1,4124 \neq 0$, выражение определено, и его значение равно 0.

Ответ: 0

2) Сначала упростим данное выражение.

$ \frac{x^2 - 1}{x} \cdot \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 + x} + 1 \right) $

Первым шагом выполним действия в скобках. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x - 1)(1 + x) = x^2 - 1$:

$ \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 + x} + 1 = \frac{1 \cdot (1 + x)}{(x-1)(1+x)} - \frac{1 \cdot (x - 1)}{(1+x)(x-1)} + \frac{1 \cdot (x^2-1)}{x^2-1} $

Объединим дроби и упростим числитель:

$ \frac{(1+x) - (x-1) + (x^2-1)}{x^2 - 1} = \frac{1+x-x+1+x^2-1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $

Теперь умножим полученный результат на первую дробь $\frac{x^2-1}{x}$:

$ \frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $

Сократим общий множитель $(x^2 - 1)$ в числителе и знаменателе. Это действие правомерно, так как при $x = \frac{1}{2}$ выражение $x^2 - 1 \neq 0$.

$ \frac{x^2 + 1}{x} $

Теперь подставим значение $x = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$ \frac{(\frac{1}{2})^2 + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}} $

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$ \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5 $

Ответ: 2,5