Номер 90, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 90, страница 31.

Условие.

90. Бассейн наполняется одной трубой за $a$ часов, другой — за $b$ часов. За сколько часов наполнится бассейн, если одновременно открыть две трубы?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи используется понятие производительности. Примем весь объем работы (наполнение одного бассейна) за 1.

1. Определим производительность каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Если первая труба наполняет бассейн за $a$ часов, то ее производительность $V_1$ (часть бассейна в час) равна $V_1 = \frac{1}{a}$.
• Если вторая труба наполняет бассейн за $b$ часов, то ее производительность $V_2$ равна $V_2 = \frac{1}{b}$.

2. Найдем совместную производительность. Когда обе трубы работают одновременно, их производительности складываются. Совместная производительность $V_{общ}$ будет равна: $V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы их сложить. Общий знаменатель для $a$ и $b$ — это $ab$. $V_{общ} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$ Это та часть бассейна, которая наполнится за 1 час при совместной работе двух труб.

4. Рассчитаем общее время. Чтобы найти время $t$, необходимое для выполнения всей работы (наполнения всего бассейна, т.е. 1), нужно разделить работу на совместную производительность: $t = \frac{1}{V_{общ}} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}}$ Чтобы разделить 1 на дробь, нужно эту дробь перевернуть: $t = \frac{ab}{a+b}$

Таким образом, бассейн наполнится за $ \frac{ab}{a+b} $ часов.Ответ: $ \frac{ab}{a+b} $ часов.