Номер 92, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 92, страница 31.

Условие.

92. Сопротивление $R$ участка цепи, состоящего из двух параллельно соединённых проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, находится из формулы $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Выразить из этой формулы:

1) $R$ через $R_1$ и $R_2$;

2) $R_1$ через $R$ и $R_2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) R через R₁ и R₂;

Дана исходная формула для сопротивления участка цепи с двумя параллельно соединенными проводниками: $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $

Чтобы выразить R, необходимо сначала выполнить сложение дробей в правой части уравнения. Для этого приведем их к общему знаменателю $R_1 R_2$:

$ \frac{1}{R} = \frac{1 \cdot R_2}{R_1 \cdot R_2} + \frac{1 \cdot R_1}{R_2 \cdot R_1} = \frac{R_2}{R_1 R_2} + \frac{R_1}{R_1 R_2} $

Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{1}{R} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2} $

Для того чтобы найти R, а не $ \frac{1}{R} $, воспользуемся свойством пропорции (или, что то же самое, "перевернем" дроби в обеих частях равенства):

$ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $

Ответ: $ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $

2) R₁ через R и R₂.

Снова возьмем исходную формулу: $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $

Чтобы выразить $R_1$, сначала выразим дробь $ \frac{1}{R_1} $. Для этого перенесем $ \frac{1}{R_2} $ из правой части уравнения в левую, изменив знак перед дробью на противоположный:

$ \frac{1}{R_1} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_2} $

Теперь выполним вычитание дробей в правой части, приведя их к общему знаменателю $R R_2$:

$ \frac{1}{R_1} = \frac{1 \cdot R_2}{R \cdot R_2} - \frac{1 \cdot R}{R_2 \cdot R} = \frac{R_2}{R R_2} - \frac{R}{R R_2} $

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{1}{R_1} = \frac{R_2 - R}{R R_2} $

Наконец, чтобы найти $R_1$, "перевернем" дроби в обеих частях равенства:

$ R_1 = \frac{R R_2}{R_2 - R} $

Ответ: $ R_1 = \frac{R R_2}{R_2 - R} $