Страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

87. Масса куска льда объёмом $V \text{ м}^3$ равна $p$ килограммам. Чему равна масса куска льда объёмом $V_1 \text{ м}^3$?

Эта задача решается с помощью понятия плотности и прямой пропорциональности. Плотность вещества ($\rho$) определяется как отношение его массы ($m$) к его объему ($V$).

Формула плотности: $\rho = \frac{m}{V}$.

Поскольку оба куска состоят из одного и того же вещества (льда), их плотность одинакова.

Из условия нам известны параметры первого куска льда:

• Объем: $V$
• Масса: $p$

Используя эти данные, мы можем выразить плотность льда:

$\rho = \frac{p}{V}$

Теперь рассмотрим второй кусок льда. Его параметры:

• Объем: $V_1$
• Масса: $m_1$ (необходимо найти)

Массу второго куска можно найти, используя ту же формулу плотности:

$m_1 = \rho \cdot V_1$

Теперь подставим в это уравнение выражение для плотности льда, которое мы нашли из данных о первом куске:

$m_1 = \left(\frac{p}{V}\right) \cdot V_1$

В результате получаем итоговую формулу для массы второго куска льда:

$m_1 = \frac{p \cdot V_1}{V}$

Таким образом, масса второго куска льда равна произведению массы первого куска на отношение объемов второго и первого кусков.

Ответ: $\frac{p \cdot V_1}{V}$ кг.

88. Автомобиль, двигаясь со скоростью $v$ километров в час, прошёл $s$ километров. Какой путь пройдёт за то же время мотоцикл, если его скорость равна $u$ километрам в час?

Для того чтобы найти путь, который пройдёт мотоцикл, нам сначала нужно определить время, в течение которого он будет находиться в движении. По условию задачи, это время равно времени движения автомобиля.

Сначала найдём время движения автомобиля. Известно, что автомобиль проехал расстояние $s$ километров со скоростью $v$ километров в час. Время движения $t$ находится по формуле, где время равно отношению расстояния к скорости:
$t = \frac{s}{v}$ часов.

Теперь, зная время движения $t$ и скорость мотоцикла $u$ километров в час, мы можем найти путь, который он проедет. Обозначим этот путь как $s_{м}$. Путь мотоцикла можно найти, умножив его скорость на время движения:
$s_{м} = u \cdot t$
Подставим в эту формулу выражение для времени $t$, которое мы нашли ранее:
$s_{м} = u \cdot \frac{s}{v} = \frac{us}{v}$ километров.

Таким образом, за то же время, что и автомобиль, мотоцикл пройдёт путь, равный $\frac{us}{v}$ километров.
Ответ: $\frac{us}{v}$ километров.

89. Собственная скорость моторной лодки $v$ километров в час, а скорость течения реки $v_1$ километров в час. Двигаясь по течению, лодка прошла $s$ километров. Какое расстояние пройдёт за это же время моторная лодка при движении против течения?

Для решения задачи нам нужно последовательно выполнить несколько шагов: сначала найти время, которое лодка двигалась по течению, а затем, используя это время, вычислить расстояние, которое она пройдет против течения.

1. Найдем скорость лодки при движении по течению.
Когда лодка движется по течению реки, ее скорость складывается из ее собственной скорости и скорости течения. Скорость по течению равна: $v_{по\ теч.} = v + v_1$ (км/ч).

2. Найдем время движения лодки по течению.
Известно, что лодка прошла расстояние $s$ километров по течению. Время движения $t$ можно найти по формуле $t = \frac{S}{V}$, где $S$ - расстояние, а $V$ - скорость. Время движения $t$ составляет: $t = \frac{s}{v + v_1}$ (часов).

3. Найдем скорость лодки при движении против течения.
Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из ее собственной скорости. Скорость против течения равна: $v_{против\ теч.} = v - v_1$ (км/ч).

4. Найдем расстояние, которое лодка пройдет против течения за то же время.
По условию, лодка будет двигаться против течения то же самое время $t$, которое мы нашли в шаге 2. Обозначим искомое расстояние как $s_{против\ теч.}$. Используя формулу расстояния $S = V \cdot t$, подставим значения скорости против течения и времени: $s_{против\ теч.} = v_{против\ теч.} \cdot t = (v - v_1) \cdot \frac{s}{v + v_1}$

Таким образом, искомое расстояние выражается формулой: $s_{против\ теч.} = \frac{s(v - v_1)}{v + v_1}$ (километров).

Ответ: $\frac{s(v - v_1)}{v + v_1}$ километров.

90. Бассейн наполняется одной трубой за $a$ часов, другой — за $b$ часов. За сколько часов наполнится бассейн, если одновременно открыть две трубы?

Для решения этой задачи используется понятие производительности. Примем весь объем работы (наполнение одного бассейна) за 1.

1. Определим производительность каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Если первая труба наполняет бассейн за $a$ часов, то ее производительность $V_1$ (часть бассейна в час) равна $V_1 = \frac{1}{a}$.
• Если вторая труба наполняет бассейн за $b$ часов, то ее производительность $V_2$ равна $V_2 = \frac{1}{b}$.

2. Найдем совместную производительность. Когда обе трубы работают одновременно, их производительности складываются. Совместная производительность $V_{общ}$ будет равна: $V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы их сложить. Общий знаменатель для $a$ и $b$ — это $ab$. $V_{общ} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$ Это та часть бассейна, которая наполнится за 1 час при совместной работе двух труб.

4. Рассчитаем общее время. Чтобы найти время $t$, необходимое для выполнения всей работы (наполнения всего бассейна, т.е. 1), нужно разделить работу на совместную производительность: $t = \frac{1}{V_{общ}} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}}$ Чтобы разделить 1 на дробь, нужно эту дробь перевернуть: $t = \frac{ab}{a+b}$

Таким образом, бассейн наполнится за $ \frac{ab}{a+b} $ часов.Ответ: $ \frac{ab}{a+b} $ часов.

91. Два оператора, работая вместе, набирают рукопись за $a$ часов.

Один из них мог бы выполнить эту работу за $b$ часов.

За какое время мог бы набрать рукопись другой оператор?

Для решения задачи воспользуемся понятием производительности труда. Пусть весь объем работы по набору рукописи равен 1.

Пусть $v_1$ — производительность первого оператора, а $v_2$ — производительность второго оператора. Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за час).

По условию, один из операторов (назовем его первым) может выполнить всю работу за $b$ часов. Его производительность равна:

$v_1 = \frac{1}{b}$ (часть рукописи в час)

Два оператора, работая вместе, набирают рукопись за $a$ часов. Их общая производительность $v_{общ}$ равна:

$v_{общ} = \frac{1}{a}$ (часть рукописи в час)

Общая производительность при совместной работе равна сумме производительностей каждого оператора:

$v_{общ} = v_1 + v_2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + v_2$

Из этого уравнения выразим производительность второго оператора $v_2$:

$v_2 = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$v_2 = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab}$

Теперь, зная производительность второго оператора, мы можем найти время $t_2$, которое ему потребуется для выполнения всей работы (объемом 1). Время равно отношению объема работы к производительности:

$t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{\frac{b-a}{ab}}$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно "перевернуть" эту дробь:

$t_2 = \frac{ab}{b-a}$

Заметим, что для того чтобы задача имела смысл, время $t_2$ должно быть положительным. Так как $a$ и $b$ — это время, они положительны. Следовательно, знаменатель $b-a$ также должен быть положительным, что означает $b > a$. Это логично, так как время выполнения работы одним оператором должно быть больше, чем время выполнения той же работы двумя операторами вместе.

Ответ: Другой оператор мог бы набрать рукопись за $\frac{ab}{b-a}$ часов.

92. Сопротивление $R$ участка цепи, состоящего из двух параллельно соединённых проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, находится из формулы $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Выразить из этой формулы:

1) $R$ через $R_1$ и $R_2$;

2) $R_1$ через $R$ и $R_2$.

1) R через R₁ и R₂;

Дана исходная формула для сопротивления участка цепи с двумя параллельно соединенными проводниками: $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $

Чтобы выразить R, необходимо сначала выполнить сложение дробей в правой части уравнения. Для этого приведем их к общему знаменателю $R_1 R_2$:

$ \frac{1}{R} = \frac{1 \cdot R_2}{R_1 \cdot R_2} + \frac{1 \cdot R_1}{R_2 \cdot R_1} = \frac{R_2}{R_1 R_2} + \frac{R_1}{R_1 R_2} $

Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{1}{R} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2} $

Для того чтобы найти R, а не $ \frac{1}{R} $, воспользуемся свойством пропорции (или, что то же самое, "перевернем" дроби в обеих частях равенства):

$ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $

Ответ: $ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $

2) R₁ через R и R₂.

Снова возьмем исходную формулу: $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $

Чтобы выразить $R_1$, сначала выразим дробь $ \frac{1}{R_1} $. Для этого перенесем $ \frac{1}{R_2} $ из правой части уравнения в левую, изменив знак перед дробью на противоположный:

$ \frac{1}{R_1} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_2} $

Теперь выполним вычитание дробей в правой части, приведя их к общему знаменателю $R R_2$:

$ \frac{1}{R_1} = \frac{1 \cdot R_2}{R \cdot R_2} - \frac{1 \cdot R}{R_2 \cdot R} = \frac{R_2}{R R_2} - \frac{R}{R R_2} $

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{1}{R_1} = \frac{R_2 - R}{R R_2} $

Наконец, чтобы найти $R_1$, "перевернем" дроби в обеих частях равенства:

$ R_1 = \frac{R R_2}{R_2 - R} $

Ответ: $ R_1 = \frac{R R_2}{R_2 - R} $

93. Давление $p$ бензина на дно цистерны равно 69 580 Па (паскалей), плотность $\rho$ бензина равна 710 кг/м³. С помощью калькулятора найти высоту $h$ цистерны с бензином (выраженную в м), если $p = g\rho h$, где $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для расчета гидростатического давления жидкости на дно сосуда: $p = ρgh$
где:
$p$ — давление жидкости (в Па),
$ρ$ (ро) — плотность жидкости (в кг/м³),
$g$ — ускорение свободного падения (в м/с²),
$h$ — высота столба жидкости (в м).

В условии задачи нам даны следующие значения:
Давление бензина на дно цистерны $p = 69 580$ Па.
Плотность бензина $ρ = 710$ кг/м³.
Ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с².

Нам нужно найти высоту цистерны $h$. Для этого выразим $h$ из основной формулы. Разделим обе части уравнения на произведение $ρg$:
$h = \frac{p}{ρg}$

Теперь подставим известные числовые значения в полученную формулу и выполним расчет:
$h = \frac{69 580}{710 \cdot 9,8}$

Сначала вычислим произведение в знаменателе дроби:
$710 \cdot 9,8 = 6958$

Теперь подставим результат обратно в формулу для $h$ и найдем окончательное значение:
$h = \frac{69 580}{6958} = 10$ м.

Ответ: высота цистерны с бензином равна 10 м.

94. Сократить дробь:

1) $ \frac{2ab - b}{8a^3 - 1} $

2) $ \frac{27a^3 + b^3}{3ab + b^2} $

3) $ \frac{36c - c^3}{c^3 + 12c^2 + 36c} $

4) $ \frac{25b - 49b^3}{49b^3 - 70b^2 + 25b} $

5) $ \frac{2a^4 + 3a^3 + 2a + 3}{(a^2 - a + 1)(2a + 3)} $

1)

Дана дробь $\frac{2ab-b}{8a^3-1}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $2ab - b = b(2a - 1)$.

Знаменатель представляет собой разность кубов. Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. В нашем случае $x=2a$ и $y=1$:

$8a^3 - 1 = (2a)^3 - 1^3 = (2a - 1)((2a)^2 + 2a \cdot 1 + 1^2) = (2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{b(2a - 1)}{(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)}$

Сократим общий множитель $(2a - 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{b}{4a^2 + 2a + 1}$

Ответ: $\frac{b}{4a^2 + 2a + 1}$

2)

Дана дробь $\frac{27a^3 + b^3}{3ab + b^2}$.

Разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В данном случае $x=3a$ и $y=b$:

$27a^3 + b^3 = (3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - 3a \cdot b + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $3ab + b^2 = b(3a + b)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)}{b(3a + b)}$

Сократим общий множитель $(3a + b)$:

$\frac{9a^2 - 3ab + b^2}{b}$

Ответ: $\frac{9a^2 - 3ab + b^2}{b}$

3)

Дана дробь $\frac{36c - c^3}{c^3 + 12c^2 + 36c}$.

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(36 - c^2)$. Затем применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$c(36 - c^2) = c(6^2 - c^2) = c(6 - c)(6 + c)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(c^2 + 12c + 36)$. Выражение в скобках является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:

$c(c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2) = c(c + 6)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{c(6 - c)(6 + c)}{c(c + 6)^2}$

Сократим общие множители $c$ и $(c+6)$:

$\frac{6 - c}{c + 6}$

Ответ: $\frac{6 - c}{c + 6}$

4)

Дана дробь $\frac{25b - 49b^3}{49b^3 - 70b^2 + 25b}$.

Разложим числитель на множители. Вынесем $b$ за скобки: $b(25 - 49b^2)$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$b(5^2 - (7b)^2) = b(5 - 7b)(5 + 7b)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем $b$ за скобки: $b(49b^2 - 70b + 25)$. Выражение в скобках является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$b((7b)^2 - 2 \cdot 7b \cdot 5 + 5^2) = b(7b - 5)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{b(5 - 7b)(5 + 7b)}{b(7b - 5)^2}$

Заметим, что $5 - 7b = -(7b - 5)$. Перепишем числитель: $\frac{-b(7b - 5)(5 + 7b)}{b(7b - 5)^2}$.

Сократим общие множители $b$ и $(7b - 5)$:

$\frac{-(5 + 7b)}{7b - 5} = \frac{5 + 7b}{-(7b - 5)} = \frac{5 + 7b}{5 - 7b}$

Ответ: $\frac{5+7b}{5-7b}$

5)

Дана дробь $\frac{2a^4 + 3a^3 + 2a + 3}{(a^2 - a + 1)(2a + 3)}$.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$2a^4 + 3a^3 + 2a + 3 = (2a^4 + 3a^3) + (2a + 3) = a^3(2a + 3) + 1(2a + 3) = (a^3 + 1)(2a + 3)$.

Теперь разложим множитель $(a^3 + 1)$, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 1 = a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Таким образом, числитель равен $(a + 1)(a^2 - a + 1)(2a + 3)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)(2a + 3)}{(a^2 - a + 1)(2a + 3)}$

Сократим общие множители $(a^2 - a + 1)$ и $(2a + 3)$:

$a+1$

Ответ: $a+1$

95. Выполнить действия:

1) $ \frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1} $

2) $ \frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2} $

3) $ \frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b} $

4) $ \frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3} $

1) $\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1}$
Для выполнения вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю.
Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3-1 = (a-1)(a^2+a \cdot 1+1^2) = (a-1)(a^2+a+1)$.
Как видим, знаменатель второй дроби является частью разложения знаменателя первой. Таким образом, общий знаменатель — это $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби равен $(a-1)$.
$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Упростим числитель:
$a+1-a+1 = 2$.
В результате получаем:
$\frac{2}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{2}{a^3-1}$.
Ответ: $\frac{2}{a^3-1}$.

2) $\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2}$
Для приведения дробей к общему знаменателю разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Общий знаменатель — это $a^3+8 = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a^2-2a+4)$:
$\frac{a^2+4}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{(a^2+4)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$
Упростим числитель, раскрыв скобки:
$a^2+4-a^2+2a-4 = 2a$.
В результате получаем:
$\frac{2a}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2a}{a^3+8}$.
Ответ: $\frac{2a}{a^3+8}$.

3) $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $(a^2-ab+b^2)(a+b)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов $a^3+b^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $(a+b)$, а для второй — $(a^2-ab+b^2)$.
$\frac{(a+b)(a+b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)} - \frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a+b)^2 - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}$
Раскроем скобки в числителе. Для $(a+b)^2$ используем формулу квадрата суммы:
$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+ab-b^2}{a^3+b^3}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$a^2-a^2+2ab+ab+b^2-b^2 = 3ab$.
В результате получаем:
$\frac{3ab}{a^3+b^3}$.
Ответ: $\frac{3ab}{a^3+b^3}$.

4) $\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$m^3-27 = m^3-3^3 = (m-3)(m^2+3m+9)$.
Общий знаменатель — это $m^3-27 = (m-3)(m^2+3m+9)$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $(m^2+3m+9)$:
$\frac{m^2-3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} - \frac{1 \cdot (m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{(m^2-3m+9)-(m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)}$
Упростим числитель, раскрыв скобки:
$m^2-3m+9-m^2-3m-9 = -6m$.
В результате получаем:
$\frac{-6m}{(m-3)(m^2+3m+9)} = -\frac{6m}{m^3-27}$.
Ответ: $-\frac{6m}{m^3-27}$.

96. Доказать, что если $a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0$, $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$ и $c+a \neq 0$, то $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1.$

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть, приведя дроби к общему знаменателю.

Левая часть равенства: $L = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$.

Общий знаменатель: $D = (b+c)(c+a)(a+b)$. Согласно условиям задачи, $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$ и $c+a \neq 0$, следовательно, знаменатель $D$ не равен нулю.

Приводя к общему знаменателю, получаем:$L = \frac{a(c+a)(a+b) + b(b+c)(a+b) + c(b+c)(c+a)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$.

Раскроем скобки в числителе, который обозначим как $N$:$N = a(ac + a^2 + bc + ab) + b(ab + b^2 + ac + bc) + c(bc + ab + c^2 + ca)$$N = a^2c + a^3 + abc + a^2b + ab^2 + b^3 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^3 + ac^2$Сгруппируем слагаемые:$N = (a^3 + b^3 + c^3) + (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 3abc$

Теперь раскроем скобки в знаменателе $D$:$D = (b+c)(ca+ab+a^2+cb) = bca+ab^2+a^2b+cb^2 + c^2a+abc+a^2c+c^2b$Сгруппируем слагаемые:$D = (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 2abc$

Из условия задачи нам дано, что $a^3+b^3+c^3+abc=0$. Отсюда мы можем выразить сумму кубов: $a^3+b^3+c^3 = -abc$.

Подставим это выражение в полученную формулу для числителя $N$:$N = (-abc) + (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 3abc$$N = (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 2abc$

Сравнивая полученные выражения для числителя $N$ и знаменателя $D$, мы видим, что они полностью совпадают:$N = D$.

Так как $N=D$ и $D \neq 0$, то их отношение равно 1:$L = \frac{N}{D} = 1$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.