Страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

67. Выполнить действия:

1) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab + b^2} : \frac{8a - 8b}{a^3 + b^3}$

2) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a^3 - b^3}{7a + 7b}$

3) $\frac{n^3 - m^3}{n^2 - m^2} : \frac{n^2 + nm + m^2}{n^2 + 2mn + m^2}$

4) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{p^3 + c^3} \cdot \frac{p + c}{2m + 2n}$

5) $\frac{a^2 - ab + b^2}{b^2 - a^2} : \frac{a^3 + b^3}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b}$

6) $\frac{x^3 - 27}{9 + 6x + x^2} : \frac{3 - x}{3 + x} : \frac{2x^2 + 6x + 18}{x + 3}$

1) Чтобы разделить алгебраические дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Для этого разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, сумму кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, и вынесение общего множителя за скобки.
$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - ab + b^2} : \frac{8a - 8b}{a^3 + b^3} = \frac{(a-b)^2}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{a^3 + b^3}{8a - 8b} = \frac{(a-b)^2}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{8(a-b)}$.
Теперь сократим общие множители $(a-b)$ и $(a^2 - ab + b^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(a-b)\cdot(a-b)}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{8(a-b)} = \frac{(a-b)(a+b)}{8} = \frac{a^2 - b^2}{8}$.
Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{8}$.

2) Для умножения дробей разложим их числители и знаменатели на множители. Используем формулы квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, а также вынесем общий множитель.
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a^3 - b^3}{7a + 7b} = \frac{(a+b)^2}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{7(a+b)}$.
Сокращаем общие множители $(a+b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$:
$\frac{(a+b)\cdot(a+b)}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{7(a+b)} = \frac{(a+b)(a-b)}{7} = \frac{a^2 - b^2}{7}$.
Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{7}$.

3) Заменяем деление на умножение на обратную дробь. Раскладываем многочлены на множители, используя формулы разности кубов $n^3 - m^3 = (n-m)(n^2+nm+m^2)$, разности квадратов $n^2-m^2=(n-m)(n+m)$ и квадрата суммы $n^2+2mn+m^2=(n+m)^2$.
$\frac{n^3 - m^3}{n^2 - m^2} : \frac{n^2 + nm + m^2}{n^2 + 2mn + m^2} = \frac{n^3 - m^3}{n^2 - m^2} \cdot \frac{n^2 + 2mn + m^2}{n^2 + nm + m^2} = \frac{(n-m)(n^2+nm+m^2)}{(n-m)(n+m)} \cdot \frac{(n+m)^2}{n^2+nm+m^2}$.
После сокращения общих множителей $(n-m)$ и $(n^2+nm+m^2)$ получаем:
$\frac{(n+m)^2}{n+m} = n+m$.
Ответ: $n+m$.

4) Для выполнения умножения разложим многочлены на множители. Используем формулы квадрата суммы $m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$ и суммы кубов $p^3+c^3=(p+c)(p^2-pc+c^2)$, а также вынесем общий множитель.
$\frac{m^2 + 2mn + n^2}{p^3 + c^3} \cdot \frac{p+c}{2m + 2n} = \frac{(m+n)^2}{(p+c)(p^2 - pc + c^2)} \cdot \frac{p+c}{2(m+n)}$.
Сокращаем общие множители $(m+n)$ и $(p+c)$:
$\frac{(m+n)\cdot(m+n)}{(p+c)(p^2 - pc + c^2)} \cdot \frac{p+c}{2(m+n)} = \frac{m+n}{2(p^2 - pc + c^2)}$.
Ответ: $\frac{m+n}{2(p^2 - pc + c^2)}$.

5) Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала деление (умножение на обратную дробь), затем умножение. Раскладываем многочлены на множители и сокращаем. Обратим внимание, что $b^2-a^2=-(a^2-b^2)=-(a-b)(a+b)$.
$\frac{a^2 - ab + b^2}{b^2 - a^2} : \frac{a^3 + b^3}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{a^2 - ab + b^2}{b^2 - a^2} \cdot \frac{a+b}{a^3+b^3} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{a^2 - ab + b^2}{-(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} \cdot \frac{a+b}{a-b}$.
Объединим все в одну дробь и сократим:
$\frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2}{-(a-b)(a+b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)} = \frac{(a^2-ab+b^2)(a+b)^2}{-(a-b)^2(a+b)^2(a^2-ab+b^2)} = -\frac{1}{(a-b)^2}$.
Ответ: $-\frac{1}{(a-b)^2}$.

6) Выполняем действия последовательно слева направо. Каждое деление заменяем на умножение на обратную дробь. Обратим внимание, что $3-x=-(x-3)$ и $9+6x+x^2=(x+3)^2$.
$\frac{x^3 - 27}{9 + 6x + x^2} : \frac{3-x}{3+x} : \frac{2x^2 + 6x + 18}{x+3} = \frac{x^3-27}{x^2+6x+9} \cdot \frac{x+3}{3-x} \cdot \frac{x+3}{2x^2+6x+18}$.
Раскладываем на множители:
$\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)^2} \cdot \frac{x+3}{-(x-3)} \cdot \frac{x+3}{2(x^2+3x+9)}$.
Объединяем в одну дробь и сокращаем:
$\frac{(x-3)(x^2+3x+9)(x+3)^2}{-(x+3)^2(x-3)2(x^2+3x+9)} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

68. Доказать, что при всех допустимых значениях a, b, x и y (n — натуральное число) верно равенство:

1) $\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{a^{4n} - b^{4n}}{a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n}} = (a^n + b^n)^2;$

2) $\frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} : \frac{x^{2n} - y^{2n}}{x^{2n} + y^{2n}} = \frac{1}{(x^n - y^n)^2}.$

1)

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Будем использовать формулы сокращенного умножения: разность квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ и квадрат разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Левая часть равенства имеет вид:

$$ \frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{a^{4n} - b^{4n}}{a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n}} $$

Разложим на множители числитель первой дроби: $ a^{2n} - b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $.

Преобразуем знаменатель второй дроби в полный квадрат: $ a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n} = (a^n - b^n)^2 $.

Разложим на множители числитель второй дроби: $ a^{4n} - b^{4n} = (a^{2n})^2 - (b^{2n})^2 = (a^{2n} - b^{2n})(a^{2n} + b^{2n}) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в левую часть равенства:

$$ \frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{(a^{2n} - b^{2n})(a^{2n} + b^{2n})}{(a^n - b^n)^2} $$

Сократим общий множитель $(a^{2n} + b^{2n})$ в числителе второй дроби и знаменателе первой:

$$ (a^n - b^n)(a^n + b^n) \cdot \frac{a^{2n} - b^{2n}}{(a^n - b^n)^2} $$

Снова применим формулу разности квадратов к оставшемуся числителю $a^{2n} - b^{2n}$:

$$ (a^n - b^n)(a^n + b^n) \cdot \frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{(a^n - b^n)^2} $$

Объединим множители:

$$ \frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{(a^n - b^n)^2} = \frac{(a^n - b^n)^2 (a^n + b^n)^2}{(a^n - b^n)^2} $$

Сократим общий множитель $(a^n - b^n)^2$:

$$ (a^n + b^n)^2 $$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Сначала заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} : \frac{x^{2n} - y^{2n}}{x^{2n} + y^{2n}} = \frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} \cdot \frac{x^{2n} + y^{2n}}{x^{2n} - y^{2n}} $$

Теперь будем упрощать полученное выражение, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби:

$$ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) $$

Подставим это в выражение:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n})} \cdot \frac{x^{2n} + y^{2n}}{x^{2n} - y^{2n}} $$

Сократим общий множитель $(x^{2n} + y^{2n})$:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})} \cdot \frac{1}{x^{2n} - y^{2n}} = \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})^2} $$

Теперь разложим на множители выражение в знаменателе $x^{2n} - y^{2n}$:

$$ x^{2n} - y^{2n} = (x^n)^2 - (y^n)^2 = (x^n - y^n)(x^n + y^n) $$

Подставим это в знаменатель нашей дроби:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{((x^n - y^n)(x^n + y^n))^2} = \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^n - y^n)^2 (x^n + y^n)^2} $$

Сократим общий множитель $(x^n + y^n)^2$:

$$ \frac{1}{(x^n - y^n)^2} $$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.