Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Для получения $25\%$-ного раствора сахара к 6 л (кг) воды добавили $x$ кг сахара (рис. 1). Найти $x$.

сахар

6 кг

вода

$(6+x)$кг

$25\%$ раст.

сахара

Рис. 1

1.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, исходя из определения процентной концентрации вещества в растворе. Процентная концентрация показывает, какая часть от общей массы раствора приходится на растворенное вещество (в данном случае, сахар).

Исходные данные:
Масса воды: $m_{воды} = 6$ кг.
Масса сахара, которую нужно добавить: $m_{сахара} = x$ кг.

После добавления сахара общая масса раствора станет суммой масс воды и сахара:
$m_{раствора} = m_{воды} + m_{сахара} = 6 + x$ кг.

Концентрация сахара в растворе задана и составляет 25%. Формула для расчета массовой доли (концентрации) вещества:
$C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \times 100\%$

Подставим наши значения в эту формулу:
$25\% = \frac{x}{6 + x} \times 100\%$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Для удобства уберем знак процента и разделим обе части на 100:
$\frac{25}{100} = \frac{x}{6 + x}$
$0.25 = \frac{x}{6 + x}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель $(6 + x)$:
$0.25 \times (6 + x) = x$

Раскроем скобки в левой части:
$0.25 \times 6 + 0.25 \times x = x$
$1.5 + 0.25x = x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону уравнения:
$1.5 = x - 0.25x$
$1.5 = 0.75x$

Найдем $x$, разделив 1.5 на 0.75:
$x = \frac{1.5}{0.75} = 2$

Следовательно, нужно добавить 2 кг сахара.

Проверка:
Масса сахара: 2 кг.
Общая масса раствора: $6 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 8$ кг.
Концентрация: $\frac{2 \text{ кг}}{8 \text{ кг}} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: $x=2$.

2. Сколько сахара нужно добавить к 8 л воды, чтобы получить 10%-ный раствор?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу процентной концентрации раствора по массе. Концентрация показывает, какую долю от общей массы раствора составляет масса растворенного вещества.

Формула концентрации ($C$):

$C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \times 100\%$

Масса раствора ($m_{раствора}$) — это сумма массы растворителя (воды) и массы растворенного вещества (сахара):

$m_{раствора} = m_{воды} + m_{сахара}$

Сначала определим массу воды. Плотность воды принимается равной 1 кг/л, следовательно, масса 8 литров воды составляет 8 кг.

$m_{воды} = 8 \text{ кг}$

Пусть $x$ — это искомая масса сахара в килограммах, которую необходимо добавить. Тогда масса сахара $m_{сахара} = x \text{ кг}$, а общая масса полученного раствора будет $m_{раствора} = (8 + x) \text{ кг}$.

По условию задачи, мы хотим получить 10%-ный раствор, то есть $C = 10\%$. Для расчетов удобнее представить концентрацию в виде десятичной дроби: $10\% = 0,1$.

Подставим все известные значения в формулу концентрации:

$\frac{x}{8 + x} = 0,1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(8 + x)$:

$x = 0,1 \cdot (8 + x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x = 0,1 \cdot 8 + 0,1 \cdot x$

$x = 0,8 + 0,1x$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:

$x - 0,1x = 0,8$

$0,9x = 0,8$

Найдем $x$, разделив обе части на 0,9:

$x = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$

Таким образом, необходимо добавить $\frac{8}{9}$ кг сахара. Если перевести в граммы, это составит примерно 889 граммов ($x \approx 0,889 \text{ кг}$).

Ответ: $\frac{8}{9}$ кг сахара.

3. От дома до дачи велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Обратно он возвращался со скоростью 8 км/ч. Найти среднюю скорость движения велосипедиста за время всей поездки, если расстояние от дома до дачи равно 6 км.

Для решения задачи необходимо найти общее расстояние, которое проехал велосипедист, и общее время, которое он затратил на всю поездку. Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

1. Найдем общее расстояние.

Велосипедист ехал от дома до дачи (6 км) и обратно (6 км). Таким образом, общий пройденный путь $S_{общ}$ составляет:

$S_{общ} = 6 \text{ км} + 6 \text{ км} = 12 \text{ км}$

2. Найдем общее время в пути.

Общее время $t_{общ}$ складывается из времени движения до дачи ($t_1$) и времени движения обратно ($t_2$). Время находится по формуле $t = S/v$.

Время в пути до дачи со скоростью $v_1 = 12$ км/ч:

$t_1 = \frac{6 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 0,5 \text{ ч}$

Время на обратный путь со скоростью $v_2 = 8$ км/ч:

$t_2 = \frac{6 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$

Теперь сложим время, чтобы найти общее время в пути:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 0,5 \text{ ч} + 0,75 \text{ ч} = 1,25 \text{ ч}$

3. Вычислим среднюю скорость.

Подставим найденные значения общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{12 \text{ км}}{1,25 \text{ ч}} = 9,6 \text{ км/ч}$

Ответ: 9,6 км/ч

4. Из пункта $A$ в пункт $B$ катер двигался со скоростью $20 \text{ км/ч}$, а на обратном пути из $B$ в $A$ — со скоростью $30 \text{ км/ч}$. Какова средняя скорость катера на пути из $A$ в $B$ и обратно?

Рис. 1

Для нахождения средней скорости необходимо весь пройденный путь разделить на все время движения.

Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно $S$ км.

1. Найдем общий пройденный путь $S_{общ}$.

Катер прошел путь от А до В ($S$) и затем обратно от В до А (еще $S$). Следовательно, общий путь составляет:

$S_{общ} = S + S = 2S$

2. Найдем общее время движения $t_{общ}$.

Общее время складывается из времени движения из А в В ($t_1$) и времени движения из В в А ($t_2$).

Скорость на пути из А в В была $v_1 = 20$ км/ч. Время, затраченное на этот путь:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{20}$ ч

Скорость на обратном пути из В в А была $v_2 = 30$ км/ч. Время, затраченное на этот путь:

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{30}$ ч

Общее время движения равно сумме $t_1$ и $t_2$:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{20} + \frac{S}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$t_{общ} = \frac{3S}{60} + \frac{2S}{60} = \frac{5S}{60} = \frac{S}{12}$ ч

3. Найдем среднюю скорость $v_{ср}$.

Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Подставим найденные значения общего пути и общего времени:

$v_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{12}}$

Упростим полученное выражение:

$v_{ср} = 2S \cdot \frac{12}{S} = 2 \cdot 12 = 24$ км/ч

Важно отметить, что средняя скорость не является средним арифметическим двух скоростей ($\frac{20+30}{2} = 25$ км/ч), поскольку катер двигался с разными скоростями в течение разного времени.

Ответ: средняя скорость катера на всем пути составляет 24 км/ч.

5. Сопротивление $R$ участка цепи, состоящего из трёх параллельно соединённых проводников с сопротивлениями $R_1$, $R_2$ и $R_3$, находится из формулы $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$. Выразить из формулы:

1) $R$ через $R_1$, $R_2$ и $R_3$;

2) $R_3$ через $R$, $R_1$ и $R_2$.

1) R через R₁, R₂ и R₃;

Исходная формула связывает общее сопротивление $R$ с сопротивлениями $R_1$, $R_2$ и $R_3$ при их параллельном соединении:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Чтобы выразить $R$, сначала необходимо сложить дроби в правой части уравнения. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $R_1$, $R_2$ и $R_3$ равен их произведению: $R_1 R_2 R_3$.

$\frac{1}{R} = \frac{R_2 R_3}{R_1 R_2 R_3} + \frac{R_1 R_3}{R_1 R_2 R_3} + \frac{R_1 R_2}{R_1 R_2 R_3}$

Теперь сложим числители этих дробей:

$\frac{1}{R} = \frac{R_2 R_3 + R_1 R_3 + R_1 R_2}{R_1 R_2 R_3}$

Для того чтобы найти $R$, а не $\frac{1}{R}$, нужно "перевернуть" обе части уравнения (то есть найти обратную величину):

$R = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

Ответ: $R = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

2) R₃ через R, R₁ и R₂.

Снова используем исходную формулу:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Чтобы выразить $R_3$, сначала изолируем слагаемое $\frac{1}{R_3}$ в одной части уравнения. Для этого перенесем слагаемые $\frac{1}{R_1}$ и $\frac{1}{R_2}$ в левую часть уравнения, изменив их знаки:

$\frac{1}{R_3} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}$

Теперь приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для $R$, $R_1$ и $R_2$ равен их произведению: $R R_1 R_2$.

$\frac{1}{R_3} = \frac{R_1 R_2}{R R_1 R_2} - \frac{R R_2}{R R_1 R_2} - \frac{R R_1}{R R_1 R_2}$

Объединим дроби в правой части, выполнив вычитание в числителе:

$\frac{1}{R_3} = \frac{R_1 R_2 - R R_2 - R R_1}{R R_1 R_2}$

Наконец, чтобы найти $R_3$, "перевернем" обе части полученного уравнения:

$R_3 = \frac{R R_1 R_2}{R_1 R_2 - R R_2 - R R_1}$

Ответ: $R_3 = \frac{R R_1 R_2}{R_1 R_2 - R R_1 - R R_2}$

6. Расстояние $s$, которое проходит тело при равноускоренном движении с ускорением $a$ за время $t$, имея начальную скорость $v_0$, находится по формуле $s=v_0t+\frac{at^2}{2}$. Выразить из этой формулы $v_0$ и найти его значение, если $s=150 \text{ м}$, $a=2 \text{ м/с}^2$, $t=10 \text{ с}$.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно алгебраически выразить начальную скорость $v_0$ из предложенной формулы, а затем вычислить её числовое значение по заданным параметрам.

1. Выразить $v_0$ из формулы

Дана формула для расстояния $s$ при равноускоренном движении:
$s = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Чтобы выразить начальную скорость $v_0$, сначала изолируем слагаемое $v_0t$, перенеся $\frac{at^2}{2}$ в левую часть уравнения:
$s - \frac{at^2}{2} = v_0t$

Далее, чтобы найти $v_0$, разделим обе части уравнения на время $t$:
$v_0 = \frac{s - \frac{at^2}{2}}{t}$

Это выражение можно упростить, разделив числитель почленно на знаменатель:
$v_0 = \frac{s}{t} - \frac{at^2}{2t}$

Сократив $t$ во втором слагаемом, получаем итоговую формулу для $v_0$:
Ответ: $v_0 = \frac{s}{t} - \frac{at}{2}$

2. Найти значение $v_0$

Теперь используем выведенную формулу и подставим в неё заданные значения: $s = 150 \text{ м}$, $a = 2 \text{ м/с}^2$, $t = 10 \text{ с}$.
$v_0 = \frac{150 \text{ м}}{10 \text{ с}} - \frac{2 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с}}{2}$

Выполним вычисления по частям.
Первое слагаемое:
$\frac{150}{10} = 15$

Второе слагаемое:
$\frac{2 \cdot 10}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Находим разность полученных значений:
$v_0 = 15 - 10 = 5$

Единица измерения скорости в системе СИ — метры в секунду (м/с).
Ответ: $v_0 = 5 \text{ м/с}$.

7. Сила притяжения $F$ между двумя телами с массами $m$ и $M$, находящимися на расстоянии $R$, вычисляется по формуле

$F = \gamma \frac{mM}{R^2}$, где $\gamma$ — гравитационная постоянная. Выразить из формулы $m$.

Для того чтобы выразить массу $m$ из формулы силы притяжения $F = \gamma \frac{mM}{R^2}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исходная формула: $F = \gamma \frac{mM}{R^2}$

2. Чтобы избавиться от знаменателя $R^2$, умножим обе части уравнения на $R^2$: $F \cdot R^2 = \gamma \frac{mM}{R^2} \cdot R^2$
$F R^2 = \gamma m M$

3. Теперь в правой части уравнения остались переменные, умноженные на $m$. Чтобы выделить $m$, разделим обе части уравнения на произведение $\gamma M$:
$\frac{F R^2}{\gamma M} = \frac{\gamma m M}{\gamma M}$

4. После сокращения дроби в правой части получаем итоговое выражение для массы $m$:
$m = \frac{F R^2}{\gamma M}$

Ответ: $m = \frac{F R^2}{\gamma M}$

8. Как с помощью чашечных весов, набора гирь и сосуда, наполненного водой, определить плотность камня $\rho_{\text{к}}$, умещающегося в этом сосуде, если объём камня нельзя измерить непосредственно?

Определим с помощью весов отдельно массу камня $m_{\text{к}}$ и массу наполненного до краёв сосуда с водой $m_1$. После снятия с весов сосуда опустим в него камень (часть воды выльется). Вытащим камень и измерим массу $m_2$ сосуда с оставшейся водой. Очевидно, масса вылившейся воды, с одной стороны, равна $\rho_{\text{в}}V_{\text{к}}$, где $\rho_{\text{в}}$ — плотность воды, $V_{\text{к}}$ — объём камня, а с другой стороны, равна $m_1 - m_2$, т. е. $\rho_{\text{в}}V_{\text{к}}=m_1 - m_2$, откуда $V_{\text{к}}=\frac{m_1 - m_2}{\rho_{\text{в}}}$. Разделив массу камня на его объём, получим искомую плотность $\rho_{\text{к}} = \frac{m_{\text{к}}\rho_{\text{в}}}{m_1 - m_2}$.

Для определения плотности камня $ \rho_к $, которая по определению равна отношению его массы $ m_к $ к его объему $ V_к $ ($ \rho_к = \frac{m_к}{V_к} $), необходимо найти оба этих значения. Массу камня можно измерить напрямую, а для нахождения объема, согласно предложенному методу, используется принцип вытеснения жидкости (закон Архимеда).

Порядок действий:

1. С помощью чашечных весов и набора гирь определяем массу камня. Обозначим это значение как $ m_к $.
2. Наполняем сосуд водой до самых краев. Ставим этот сосуд с водой на весы и измеряем их общую массу. Обозначим это значение как $ m_1 $. Эта масса складывается из массы самого сосуда и массы воды в нем.
3. Снимаем сосуд с весов. Аккуратно и полностью погружаем камень в сосуд с водой. Так как сосуд был полон, объем воды, который выльется из него, будет в точности равен объему погруженного в нее камня, то есть $ V_к $.
4. Осторожно вынимаем камень из сосуда.
5. Снова ставим на весы сосуд с оставшейся в нем водой и измеряем их массу. Обозначим это новое значение как $ m_2 $.

Вывод формулы:

Разница между массой сосуда с водой до погружения камня ($ m_1 $) и после ($ m_2 $) представляет собой массу вылившейся воды ($ m_{\text{выл}} $):

$ m_{\text{выл}} = m_1 - m_2 $

С другой стороны, массу вылившейся воды можно выразить через ее плотность $ \rho_в $ (которую мы считаем известной величиной) и ее объем $ V_{\text{выл}} $:

$ m_{\text{выл}} = \rho_в \cdot V_{\text{выл}} $

Как было установлено в шаге 3, объем вылившейся воды равен объему камня: $ V_{\text{выл}} = V_к $.

Следовательно, мы можем приравнять два выражения для массы вылившейся воды, подставив $ V_к $ вместо $ V_{\text{выл}} $:

$ \rho_в \cdot V_к = m_1 - m_2 $

Из этого уравнения мы можем выразить объем камня $ V_к $, который не могли измерить непосредственно:

$ V_к = \frac{m_1 - m_2}{\rho_в} $

Теперь, зная массу камня $ m_к $ (из шага 1) и его объем $ V_к $, мы можем найти искомую плотность камня $ \rho_к $, подставив полученное выражение для объема в основную формулу плотности:

$ \rho_к = \frac{m_к}{V_к} = \frac{m_к}{\frac{m_1 - m_2}{\rho_в}} $

После упрощения дроби получаем окончательную формулу для расчета плотности камня:

Ответ: $ \rho_к = \frac{m_к \cdot \rho_в}{m_1 - m_2} $