Номер 8, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 8, страница 32.

Условие.

8. Как с помощью чашечных весов, набора гирь и сосуда, наполненного водой, определить плотность камня $\rho_{\text{к}}$, умещающегося в этом сосуде, если объём камня нельзя измерить непосредственно?

Определим с помощью весов отдельно массу камня $m_{\text{к}}$ и массу наполненного до краёв сосуда с водой $m_1$. После снятия с весов сосуда опустим в него камень (часть воды выльется). Вытащим камень и измерим массу $m_2$ сосуда с оставшейся водой. Очевидно, масса вылившейся воды, с одной стороны, равна $\rho_{\text{в}}V_{\text{к}}$, где $\rho_{\text{в}}$ — плотность воды, $V_{\text{к}}$ — объём камня, а с другой стороны, равна $m_1 - m_2$, т. е. $\rho_{\text{в}}V_{\text{к}}=m_1 - m_2$, откуда $V_{\text{к}}=\frac{m_1 - m_2}{\rho_{\text{в}}}$. Разделив массу камня на его объём, получим искомую плотность $\rho_{\text{к}} = \frac{m_{\text{к}}\rho_{\text{в}}}{m_1 - m_2}$.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения плотности камня $ \rho_к $, которая по определению равна отношению его массы $ m_к $ к его объему $ V_к $ ($ \rho_к = \frac{m_к}{V_к} $), необходимо найти оба этих значения. Массу камня можно измерить напрямую, а для нахождения объема, согласно предложенному методу, используется принцип вытеснения жидкости (закон Архимеда).

Порядок действий:

1. С помощью чашечных весов и набора гирь определяем массу камня. Обозначим это значение как $ m_к $.
2. Наполняем сосуд водой до самых краев. Ставим этот сосуд с водой на весы и измеряем их общую массу. Обозначим это значение как $ m_1 $. Эта масса складывается из массы самого сосуда и массы воды в нем.
3. Снимаем сосуд с весов. Аккуратно и полностью погружаем камень в сосуд с водой. Так как сосуд был полон, объем воды, который выльется из него, будет в точности равен объему погруженного в нее камня, то есть $ V_к $.
4. Осторожно вынимаем камень из сосуда.
5. Снова ставим на весы сосуд с оставшейся в нем водой и измеряем их массу. Обозначим это новое значение как $ m_2 $.

Вывод формулы:

Разница между массой сосуда с водой до погружения камня ($ m_1 $) и после ($ m_2 $) представляет собой массу вылившейся воды ($ m_{\text{выл}} $):

$ m_{\text{выл}} = m_1 - m_2 $

С другой стороны, массу вылившейся воды можно выразить через ее плотность $ \rho_в $ (которую мы считаем известной величиной) и ее объем $ V_{\text{выл}} $:

$ m_{\text{выл}} = \rho_в \cdot V_{\text{выл}} $

Как было установлено в шаге 3, объем вылившейся воды равен объему камня: $ V_{\text{выл}} = V_к $.

Следовательно, мы можем приравнять два выражения для массы вылившейся воды, подставив $ V_к $ вместо $ V_{\text{выл}} $:

$ \rho_в \cdot V_к = m_1 - m_2 $

Из этого уравнения мы можем выразить объем камня $ V_к $, который не могли измерить непосредственно:

$ V_к = \frac{m_1 - m_2}{\rho_в} $

Теперь, зная массу камня $ m_к $ (из шага 1) и его объем $ V_к $, мы можем найти искомую плотность камня $ \rho_к $, подставив полученное выражение для объема в основную формулу плотности:

$ \rho_к = \frac{m_к}{V_к} = \frac{m_к}{\frac{m_1 - m_2}{\rho_в}} $

После упрощения дроби получаем окончательную формулу для расчета плотности камня:

Ответ: $ \rho_к = \frac{m_к \cdot \rho_в}{m_1 - m_2} $