Номер 2, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 33.

Условие.

2. Выполнить действия:

а) $4a + \frac{1-4a^2}{a}$;

б) $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}$;

в) $\frac{2a-4}{3b} \cdot \frac{6b}{a-2}$;

г) $\frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $4a + \frac{1 - 4a^2}{a}$
Чтобы сложить эти выражения, приведем их к общему знаменателю $a$. Для этого представим первое слагаемое $4a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $4a = \frac{4a \cdot a}{a} = \frac{4a^2}{a}$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{4a^2}{a} + \frac{1 - 4a^2}{a} = \frac{4a^2 + (1 - 4a^2)}{a}$
Раскроем скобки и упростим числитель: $4a^2 + 1 - 4a^2 = 1$.
В результате получаем: $\frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

б) $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a - b}{a + b}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(a - b)(a + b)$, что по формуле разности квадратов равно $a^2 - b^2$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a + b)$, а второй — на $(a - b)$:
$\frac{(a + b)(a + b)}{(a - b)(a + b)} - \frac{(a - b)(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{a^2 - b^2}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 - b^2}$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки, и сократим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{a^2 - b^2} = \frac{4ab}{a^2 - b^2}$
Ответ: $\frac{4ab}{a^2 - b^2}$

в) $\frac{2a - 4}{3b} \cdot \frac{6b}{a - 2}$
При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели. Перед умножением упростим выражения.
Вынесем общий множитель 2 в числителе первой дроби: $2a - 4 = 2(a - 2)$.
Выражение примет вид:
$\frac{2(a - 2)}{3b} \cdot \frac{6b}{a - 2}$
Запишем все под одной чертой дроби и выполним сокращение:
$\frac{2(a - 2) \cdot 6b}{3b \cdot (a - 2)}$
Сокращаем на общий множитель $(a - 2)$ (при $a \neq 2$), на $b$ (при $b \neq 0$) и на 3:
$\frac{2 \cdot \cancel{(a - 2)} \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{b}}{\cancel{3} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a - 2)}} = 2 \cdot 2 = 4$
Ответ: $4$

г) $\frac{a^2 - b^2}{b^2} : \frac{a + b}{b}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{a^2 - b^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a + b}$
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\frac{(a - b)(a + b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a + b}$
Запишем все под одной чертой дроби:
$\frac{(a - b)(a + b) \cdot b}{b^2 \cdot (a + b)}$
Сократим общие множители $(a + b)$ (при $a+b \neq 0$) и $b$ (при $b \neq 0$) в числителе и знаменателе:
$\frac{(a - b) \cdot \cancel{(a + b)} \cdot \cancel{b}}{b \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a + b)}} = \frac{a - b}{b}$
Ответ: $\frac{a - b}{b}$