Страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать порядок выполнения арифметических действий.

Порядок выполнения арифметических действий — это общепринятый в математике набор правил, который определяет последовательность выполнения операций в выражении для получения верного результата. Соблюдение этого порядка гарантирует, что значение выражения будет вычислено однозначно и правильно.

Иерархия выполнения действий следующая:

1. Действия в скобках. В первую очередь всегда выполняются операции, заключенные в скобки. Если в выражении есть вложенные скобки (одни скобки внутри других), то вычисления начинаются с самых внутренних.
   Пример: В выражении $5 \cdot (8 - (1 + 2))$ сначала вычисляется $(1 + 2) = 3$, затем $(8 - 3) = 5$.
2. Возведение в степень и извлечение корня. После раскрытия всех скобок выполняются операции возведения в степень (например, $x^2$) и извлечения корня (например, $\sqrt{x}$). Эти операции имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо.
3. Умножение и деление. Следующими по приоритету идут умножение и деление. Они также равноправны, поэтому выполняются в порядке их появления в выражении — слева направо.
   Пример: В выражении $12 \div 2 \cdot 3$ сначала выполняется деление $12 \div 2 = 6$, а затем умножение $6 \cdot 3 = 18$.
4. Сложение и вычитание. В последнюю очередь выполняются сложение и вычитание. Они тоже имеют равный приоритет и выполняются строго слева направо.
   Пример: В выражении $10 - 4 + 2$ сначала выполняется вычитание $10 - 4 = 6$, а затем сложение $6 + 2 = 8$.

Пример развернутого решения

Рассмотрим, как вычисляется значение выражения: $50 + (15 - 5 \cdot 2)^2 \div 5$.

Шаг 1: Действия в скобках.
Начинаем с выражения в скобках: $(15 - 5 \cdot 2)$. Внутри скобок есть вычитание и умножение. Умножение имеет более высокий приоритет.
$5 \cdot 2 = 10$.
Теперь выражение в скобках выглядит как $(15 - 10)$. Выполняем вычитание:
$15 - 10 = 5$.
Исходное выражение упростилось до $50 + 5^2 \div 5$.

Шаг 2: Возведение в степень.
В оставшемся выражении есть сложение, возведение в степень и деление. Следующим действием выполняем возведение в степень.
$5^2 = 25$.
Выражение теперь имеет вид $50 + 25 \div 5$.

Шаг 3: Деление.
Из оставшихся операций (сложение и деление) деление имеет более высокий приоритет.
$25 \div 5 = 5$.
Выражение стало совсем простым: $50 + 5$.

Шаг 4: Сложение.
Выполняем последнее действие.
$50 + 5 = 55$.

Ответ:
Порядок выполнения арифметических действий следующий:
1. Выполнить все действия внутри скобок, начиная с самых внутренних.
2. Выполнить все операции возведения в степень и извлечения корня.
3. Выполнить все операции умножения и деления в порядке их следования слева направо.
4. Выполнить все операции сложения и вычитания в порядке их следования слева направо.

2. Сформулировать правило:

1) сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями;

2) умножения и деления дробей;

3) возведения дроби в степень.

1) сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями;

Чтобы сложить (или вычесть) две или более дробей с разными знаменателями, необходимо выполнить следующую последовательность действий:
1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей. НОЗ является наименьшим общим кратным (НОК) всех знаменателей.
2. Для каждой дроби определить дополнительный множитель. Он равен результату деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В результате этого действия все дроби будут приведены к общему знаменателю.
4. Сложить (или вычесть) числители полученных дробей, а знаменатель оставить без изменений.
5. Если возможно, сократить полученную в результате дробь.

В общем виде правило для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ выглядит так:
$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}$

Ответ: Для сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями их необходимо привести к общему знаменателю, после чего сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним.

2) умножения и деления дробей;

Правило умножения дробей:
Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и результат записать в числитель новой дроби, а также перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель новой дроби.
Формула умножения дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Правило деления дробей:
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
Формула деления дроби $\frac{a}{b}$ на дробь $\frac{c}{d}$:
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Ответ: При умножении дробей перемножаются их числители между собой, а знаменатели — между собой. При делении первая дробь умножается на дробь, обратную второй (перевернутую).

3) возведения дроби в степень.

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и ее знаменатель по отдельности. Первый результат становится числителем новой дроби, а второй — ее знаменателем.

Формула возведения дроби $\frac{a}{b}$ в натуральную степень $n$:
$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель.

3. Что нужно сделать, чтобы найти числовое значение алгебраической дроби при заданных значениях входящих в неё букв?

Чтобы найти числовое значение алгебраической дроби при заданных значениях входящих в нее букв, необходимо следовать четкому алгоритму:

1. Подстановка значений

   Нужно подставить заданные числовые значения вместо соответствующих букв (переменных) как в числитель, так и в знаменатель дроби. На этом шаге алгебраическое выражение превращается в числовое.

2. Вычисление числителя и знаменателя

   Следует отдельно вычислить значение получившегося числового выражения в числителе и значение числового выражения в знаменателе, соблюдая порядок действий (возведение в степень, умножение/деление, сложение/вычитание).

3. Проверка знаменателя

   Это критически важный шаг. Необходимо проверить, не равен ли получившийся знаменатель нулю. Если знаменатель равен нулю, то дробь не имеет смысла (говорят, что она не определена), так как деление на ноль невозможно. В этом случае дальнейшие вычисления прекращаются.

4. Итоговое деление

   Если знаменатель не равен нулю, то для нахождения окончательного ответа нужно разделить значение, полученное в числителе, на значение, полученное в знаменателе.

Пример:

Найдем значение алгебраической дроби $\frac{x^2 - 4y}{2x + y}$ при $x=5$ и $y=1$.

1. Подставляем значения $x=5$ и $y=1$ в дробь: $\frac{5^2 - 4 \cdot 1}{2 \cdot 5 + 1}$

2. Вычисляем числитель: $5^2 - 4 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.
   Вычисляем знаменатель: $2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$.

3. Проверяем знаменатель: $11 \neq 0$. Значит, мы можем продолжать.

4. Делим значение числителя на значение знаменателя: $\frac{21}{11}$.
   Это и есть числовое значение дроби. Его можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число $1\frac{10}{11}$.

Ответ: Чтобы найти числовое значение алгебраической дроби, нужно подставить в нее заданные значения букв, затем вычислить значения числителя и знаменателя, и, убедившись, что знаменатель не равен нулю, разделить числитель на знаменатель.

1. Выполнить действия:

1) $7^2 - 23 + 16 : 2^3$;

2) $4^3 + 2 \cdot 3^2 - 15$;

3) $13 + 2 \cdot 5^2 - (5 + 48 : 2^3)$.

1) $7^2 - 23 + 16 : 2^3$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление, и в конце сложение и вычитание в порядке их следования.

1. Возводим числа в степень: $7^2 = 49$ и $2^3 = 8$.

2. Подставляем полученные значения в исходное выражение: $49 - 23 + 16 : 8$.

3. Выполняем деление: $16 : 8 = 2$.

4. Теперь выражение выглядит так: $49 - 23 + 2$.

5. Выполняем вычитание и сложение слева направо: $49 - 23 = 26$, а затем $26 + 2 = 28$.

Ответ: 28

2) $4^3 + 2 \cdot 3^2 - 15$

Порядок действий следующий: возведение в степень, умножение, затем сложение и вычитание.

1. Возводим числа в степень: $4^3 = 64$ и $3^2 = 9$.

2. Подставляем значения в выражение: $64 + 2 \cdot 9 - 15$.

3. Выполняем умножение: $2 \cdot 9 = 18$.

4. Выражение принимает вид: $64 + 18 - 15$.

5. Выполняем действия сложения и вычитания слева направо: $64 + 18 = 82$, а затем $82 - 15 = 67$.

Ответ: 67

3) $13 + 2 \cdot 5^2 - (5 + 48 : 2^3)$

В первую очередь выполняются действия в скобках. Внутри скобок и вне их сохраняется стандартный порядок действий.

1. Начнем с выражения в скобках: $(5 + 48 : 2^3)$. Первым делом возводим в степень: $2^3 = 8$.

2. Теперь выполняем деление внутри скобок: $48 : 8 = 6$.

3. Далее выполняем сложение в скобках: $5 + 6 = 11$.

4. Исходное выражение упрощается до: $13 + 2 \cdot 5^2 - 11$.

5. Теперь возводим в степень оставшееся число: $5^2 = 25$.

6. Выражение принимает вид: $13 + 2 \cdot 25 - 11$.

7. Выполняем умножение: $2 \cdot 25 = 50$.

8. Получаем: $13 + 50 - 11$.

9. Выполняем сложение и вычитание слева направо: $13 + 50 = 63$, а затем $63 - 11 = 52$.

Ответ: 52

2. Разложить на множители:

1) $15x^8y^3 - 20x^7y^5$;

2) $-36a^5bc^2 + 48b^2c^3$;

3) $81x^2y^2 - 36z^2$;

4) $100a^4 - 64b^6$;

5) $27x^6 + 8y^9$;

6) $8a^{12} - 125b^3$;

7) $m^4 - 125m$;

8) $27n^4 + n$;

9) $4x^2 - 32xy + 64y^2$.

10) $6b + 8ab - 4a - 3$;

11) $3xy - 2y - 12x + 8.

1) $15x^8y^3 - 20x^7y^5$

Для разложения на множители вынесем общий множитель за скобки. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и для каждой переменной в наименьшей степени.

НОД для чисел 15 и 20 равен 5.

Наименьшая степень для переменной $x$ это $x^7$.

Наименьшая степень для переменной $y$ это $y^3$.

Таким образом, общий множитель, который мы выносим за скобки, это $5x^7y^3$.

$15x^8y^3 - 20x^7y^5 = 5x^7y^3(3x^{8-7}y^{3-3}) - 5x^7y^3(4x^{7-7}y^{5-3}) = 5x^7y^3(3x - 4y^2)$.

Ответ: $5x^7y^3(3x - 4y^2)$

2) $-36a^5bc^2 + 48b^2c^3$

Вынесем за скобки общий множитель. НОД для 36 и 48 равен 12. Общие переменные - $b$ и $c$. Выносим их в наименьших степенях: $b^1$ и $c^2$.

Вынесем за скобки $-12bc^2$, чтобы первый член в скобках был с положительным знаком.

$-36a^5bc^2 + 48b^2c^3 = -12bc^2(3a^5) - 12bc^2(-4b^{2-1}c^{3-2}) = -12bc^2(3a^5 - 4bc)$.

Ответ: $-12bc^2(3a^5 - 4bc)$

3) $81x^2y^2 - 36z^2$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. НОД(81, 36) = 9.

$81x^2y^2 - 36z^2 = 9(9x^2y^2 - 4z^2)$.

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, так как $9x^2y^2 = (3xy)^2$ и $4z^2 = (2z)^2$.

Применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

$9((3xy)^2 - (2z)^2) = 9(3xy - 2z)(3xy + 2z)$.

Ответ: $9(3xy - 2z)(3xy + 2z)$

4) $100a^4 - 64b^6$

Вынесем за скобки общий множитель. НОД(100, 64) = 4.

$100a^4 - 64b^6 = 4(25a^4 - 16b^6)$.

Выражение в скобках является разностью квадратов. Представим его в виде $A^2 - B^2$:

$25a^4 = (5a^2)^2$ и $16b^6 = (4b^3)^2$.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$4((5a^2)^2 - (4b^3)^2) = 4(5a^2 - 4b^3)(5a^2 + 4b^3)$.

Ответ: $4(5a^2 - 4b^3)(5a^2 + 4b^3)$

5) $27x^6 + 8y^9$

Это выражение является суммой кубов. Представим каждый член в виде куба:

$27x^6 = (3x^2)^3$

$8y^9 = (2y^3)^3$

Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Здесь $A = 3x^2$ и $B = 2y^3$.

$(3x^2 + 2y^3)((3x^2)^2 - (3x^2)(2y^3) + (2y^3)^2) = (3x^2 + 2y^3)(9x^4 - 6x^2y^3 + 4y^6)$.

Ответ: $(3x^2 + 2y^3)(9x^4 - 6x^2y^3 + 4y^6)$

6) $8a^{12} - 125b^3$

Это выражение является разностью кубов. Представим каждый член в виде куба:

$8a^{12} = (2a^4)^3$

$125b^3 = (5b)^3$

Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.

Здесь $A = 2a^4$ и $B = 5b$.

$(2a^4 - 5b)((2a^4)^2 + (2a^4)(5b) + (5b)^2) = (2a^4 - 5b)(4a^8 + 10a^4b + 25b^2)$.

Ответ: $(2a^4 - 5b)(4a^8 + 10a^4b + 25b^2)$

7) $m^4 - 125m$

Сначала вынесем общий множитель $m$ за скобки.

$m(m^3 - 125)$.

Выражение в скобках является разностью кубов: $m^3 - 5^3$.

Применим формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=m$, $B=5$.

$m(m-5)(m^2 + m \cdot 5 + 5^2) = m(m-5)(m^2 + 5m + 25)$.

Ответ: $m(m-5)(m^2 + 5m + 25)$

8) $27n^4 + n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки.

$n(27n^3 + 1)$.

Выражение в скобках является суммой кубов: $(3n)^3 + 1^3$.

Применим формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A=3n$, $B=1$.

$n(3n+1)((3n)^2 - 3n \cdot 1 + 1^2) = n(3n+1)(9n^2 - 3n + 1)$.

Ответ: $n(3n+1)(9n^2 - 3n + 1)$

9) $4x^2 - 32xy + 64y^2$

Сначала вынесем общий числовой множитель. НОД(4, 32, 64) = 4.

$4(x^2 - 8xy + 16y^2)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности. Проверим это, используя формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Пусть $A = x$ и $B = 4y$. Тогда $A^2 = x^2$ и $B^2 = (4y)^2 = 16y^2$.

Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$, что соответствует среднему члену (со знаком минус).

Следовательно, $x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$.

Полное разложение: $4(x-4y)^2$.

Ответ: $4(x-4y)^2$

10) $6b + 8ab - 4a - 3$

Это многочлен из четырех членов, который можно разложить на множители методом группировки. Перегруппируем члены для удобства.

$(8ab - 4a) + (6b - 3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4a(2b - 1) + 3(2b - 1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(2b - 1)$ за скобки:

$(4a + 3)(2b - 1)$.

Ответ: $(4a+3)(2b-1)$

11) $3xy - 2y - 12x + 8$

Применим метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый.

$(3xy - 2y) + (-12x + 8)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из второй группы вынесем -4, чтобы получить одинаковое выражение в скобках.

$y(3x - 2) - 4(3x - 2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(3x - 2)$ за скобки.

$(y - 4)(3x - 2)$.

Ответ: $(y-4)(3x-2)$

3. Выполнить умножение:

1) $13a^3b^7 \cdot 2ab^2;$

2) $25x^6y \cdot 3xy^5;$

3) $(2x^6 - y)(y + 2x^6).$

1) $13a^3b^7 \cdot 2ab^2$

Чтобы выполнить умножение одночленов, необходимо перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели.

1. Умножаем коэффициенты: $13 \cdot 2 = 26$.

2. Умножаем переменные $a$: $a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$.

3. Умножаем переменные $b$: $b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.

4. Собираем всё вместе: $26a^4b^9$.

Таким образом, $13a^3b^7 \cdot 2ab^2 = (13 \cdot 2) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (b^7 \cdot b^2) = 26a^4b^9$.

Ответ: $26a^4b^9$.

2) $25x^6y \cdot 3xy^5$

Действуем по тому же правилу, что и в предыдущем примере.

1. Умножаем коэффициенты: $25 \cdot 3 = 75$.

2. Умножаем переменные $x$: $x^6 \cdot x = x^{6+1} = x^7$.

3. Умножаем переменные $y$: $y \cdot y^5 = y^{1+5} = y^6$.

4. Собираем всё вместе: $75x^7y^6$.

Таким образом, $25x^6y \cdot 3xy^5 = (25 \cdot 3) \cdot (x^6 \cdot x) \cdot (y \cdot y^5) = 75x^7y^6$.

Ответ: $75x^7y^6$.

3) $(2x^6 - y)(y + 2x^6)$

В данном случае мы умножаем два двучлена. Можно заметить, что это формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Сначала поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы было нагляднее: $(2x^6 - y)(2x^6 + y)$.

Здесь в роли $a$ выступает $2x^6$, а в роли $b$ выступает $y$.

Применяем формулу:

$(2x^6 - y)(2x^6 + y) = (2x^6)^2 - y^2$.

Теперь возведем в квадрат первое слагаемое:

$(2x^6)^2 = 2^2 \cdot (x^6)^2 = 4x^{6 \cdot 2} = 4x^{12}$.

В итоге получаем выражение:

$4x^{12} - y^2$.

Ответ: $4x^{12} - y^2$.