Страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать правила умножения и деления алгебраических дробей.

Правило умножения алгебраических дробей

Чтобы умножить алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Результат произведения числителей становится числителем новой дроби, а результат произведения знаменателей — её знаменателем.

Формула умножения алгебраических дробей в общем виде:
$ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $
Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — это многочлены, причём $B \neq 0$ и $D \neq 0$.

Порядок действий при умножении:

1. Разложить на множители числители и знаменатели всех дробей.
2. Записать произведение числителей в числитель новой дроби, а произведение знаменателей — в её знаменатель.
3. Сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.
4. Записать итоговый результат.

Пример: Умножить дроби $ \frac{a^2-1}{a^2-ab} $ и $ \frac{a-b}{a^2+a} $.
$ \frac{a^2-1}{a^2-ab} \cdot \frac{a-b}{a^2+a} = \frac{(a-1)(a+1)}{a(a-b)} \cdot \frac{a-b}{a(a+1)} = \frac{(a-1)(a+1)(a-b)}{a(a-b)a(a+1)} $
Сокращаем общие множители $(a+1)$ и $(a-b)$:
$ \frac{(a-1)\cancel{(a+1)}\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a-b)}a\cancel{(a+1)}} = \frac{a-1}{a \cdot a} = \frac{a-1}{a^2} $

Ответ: Произведением двух алгебраических дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

Правило деления алгебраических дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй дроби (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами её числитель и знаменатель.

Формула деления алгебраических дробей в общем виде:
$ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $
Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — это многочлены, причём $B \neq 0$, $D \neq 0$ и $C \neq 0$ (так как на ноль делить нельзя).

Таким образом, операция деления сводится к операции умножения, после чего выполняются те же шаги: разложение на множители и сокращение.

Пример: Разделить дробь $ \frac{x^2+2x+1}{x^2-9} $ на дробь $ \frac{x+1}{x-3} $.
1. Заменяем деление на умножение, переворачивая вторую дробь:
$ \frac{x^2+2x+1}{x^2-9} : \frac{x+1}{x-3} = \frac{x^2+2x+1}{x^2-9} \cdot \frac{x-3}{x+1} $
2. Раскладываем числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$ \frac{(x+1)^2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} $
3. Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(x-3)$:
$ \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}(x+3)\cancel{(x+1)}} = \frac{x+1}{x+3} $

Ответ: Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

2. Как возвести алгебраическую дробь в степень?

Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно её числитель и её знаменатель. Результат возведения числителя становится числителем новой дроби, а результат возведения знаменателя — её знаменателем.

В общем виде это правило записывается следующей формулой:

$ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $

Здесь $A$ и $B$ — это любые алгебраические выражения (числа, одночлены или многочлены), при этом знаменатель $B$ не должен быть равен нулю ($B \neq 0$), а $n$ — показатель степени (целое число).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Возведение дроби с одночленами в положительную степень

Возведем дробь $ \frac{2x^3}{5y^4} $ в третью степень.

Решение:

Применим формулу, возводя в степень и числитель, и знаменатель:

$ (\frac{2x^3}{5y^4})^3 = \frac{(2x^3)^3}{(5y^4)^3} $

Теперь используем свойства степени: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель, а чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить показатели.

Числитель: $ (2x^3)^3 = 2^3 \cdot (x^3)^3 = 8 \cdot x^{3 \cdot 3} = 8x^9 $

Знаменатель: $ (5y^4)^3 = 5^3 \cdot (y^4)^3 = 125 \cdot y^{4 \cdot 3} = 125y^{12} $

Собираем итоговую дробь:

$ \frac{8x^9}{125y^{12}} $

Ответ: $ (\frac{2x^3}{5y^4})^3 = \frac{8x^9}{125y^{12}} $

Пример 2: Возведение дроби с многочленами в степень

Возведем дробь $ \frac{a-b}{a+b} $ во вторую степень (в квадрат).

Решение:

$ (\frac{a-b}{a+b})^2 = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} $

Используем формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

Числитель: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Знаменатель: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Ответ: $ (\frac{a-b}{a+b})^2 = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} $

Пример 3: Возведение дроби в отрицательную степень

При возведении дроби в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и изменить знак показателя степени на положительный.

Формула: $ (\frac{A}{B})^{-n} = (\frac{B}{A})^n = \frac{B^n}{A^n} $

Возведем дробь $ \frac{4c^2}{d} $ в степень -2.

Решение:

Сначала переворачиваем дробь и меняем знак степени:

$ (\frac{4c^2}{d})^{-2} = (\frac{d}{4c^2})^2 $

Теперь возводим полученную дробь в квадрат как в первом примере:

$ (\frac{d}{4c^2})^2 = \frac{d^2}{(4c^2)^2} = \frac{d^2}{4^2 \cdot (c^2)^2} = \frac{d^2}{16c^4} $

Ответ: $ (\frac{4c^2}{d})^{-2} = \frac{d^2}{16c^4} $

Ответ: Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель. Результаты записать соответственно в числитель и знаменатель новой дроби. Формула: $ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $ (при $B \neq 0$).

3. Что такое допустимые значения букв, входящих в алгебраическое выражение?

Допустимые значения букв (переменных), входящих в алгебраическое выражение — это те значения, при подстановке которых в выражение все выполняемые математические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т.д.) являются возможными и приводят к определенному числовому результату. Иными словами, это значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл.

Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (ОДЗ) или областью определения выражения.

При нахождении ОДЗ обычно ищут значения переменных, которые являются недопустимыми, а затем исключают их из множества всех действительных чисел. Основные ограничения, которые приводят к появлению недопустимых значений, это:

1. Деление на ноль. Если в выражении есть дробь, то её знаменатель не может быть равен нулю.
Пример: В выражении $ \frac{a+5}{a-3} $ знаменатель $ a-3 $ не должен быть равен нулю.
$ a - 3 \neq 0 $
$ a \neq 3 $
Следовательно, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме 3. Это можно записать как $ a \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

2. Извлечение корня четной степени. Если в выражении есть корень четной степени (квадратный, четвертой степени и т.д.), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
Пример: В выражении $ \sqrt{x-7} $ подкоренное выражение $ x-7 $ должно быть неотрицательным.
$ x - 7 \ge 0 $
$ x \ge 7 $
Допустимыми значениями для переменной $x$ являются все числа, большие или равные 7, то есть промежуток $ [7; +\infty) $.

Часто в одном выражении встречается несколько ограничений.
Пример: Найти допустимые значения для выражения $ \frac{10}{\sqrt{y+2}} $.
Здесь есть и дробь, и квадратный корень. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия:
1) Подкоренное выражение $ y+2 $ должно быть неотрицательным: $ y+2 \ge 0 $, то есть $ y \ge -2 $.
2) Знаменатель $ \sqrt{y+2} $ не должен быть равен нулю. Корень равен нулю, только если подкоренное выражение равно нулю. Значит, $ \sqrt{y+2} \neq 0 $, что равносильно $ y+2 \neq 0 $, то есть $ y \neq -2 $.
Объединяя оба условия ($ y \ge -2 $ и $ y \neq -2 $), получаем строгое неравенство: $ y > -2 $.
Таким образом, ОДЗ для этого выражения — это все числа, строго большие -2, то есть промежуток $ (-2; +\infty) $.

Ответ: Допустимые значения букв, входящих в алгебраическое выражение — это множество всех тех значений переменных, при которых данное выражение имеет числовой смысл, то есть все указанные в нем математические действия выполнимы.

4. Каковы допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь?

Алгебраическая дробь — это дробное выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) — это алгебраические выражения, содержащие одну или несколько букв (переменных).

Основное и самое важное правило для любой дроби в математике заключается в том, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена. Это правило в полной мере относится и к алгебраическим дробям.

Допустимыми значениями букв (переменных), входящих в алгебраическую дробь, называют все те значения, при которых данная дробь имеет смысл. Иными словами, это все значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Совокупность всех допустимых значений переменных называют областью допустимых значений (ОДЗ) выражения.

Чтобы найти допустимые значения переменных для алгебраической дроби, необходимо найти все значения, которые обращают ее знаменатель в ноль, и исключить их. Для этого выражение, стоящее в знаменателе, приравнивают к нулю и решают полученное уравнение. Все числа, за исключением найденных корней этого уравнения, и будут составлять множество допустимых значений.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Дробь $\frac{x+5}{x-3}$.
Знаменатель дроби — это выражение $x-3$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:
$x-3 = 0$
$x = 3$
Следовательно, при $x=3$ знаменатель обращается в ноль, и дробь теряет смысл. Допустимыми значениями для переменной $x$ являются все числа, кроме 3. Это можно записать как $x \ne 3$.

Пример 2: Дробь $\frac{7a}{a^2-9}$.
Знаменатель дроби — это $a^2-9$. Найдем значения $a$, при которых он равен нулю:
$a^2-9 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем $(a-3)(a+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, поэтому $a-3=0$ или $a+3=0$.
Корни уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = -3$.
Значит, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме 3 и -3.

Пример 3: Дробь $\frac{k+n}{n(n-2)(n+5)}$.
Знаменатель дроби — $n(n-2)(n+5)$. Он обращается в ноль, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$n=0$ или $n-2=0$ (т.е. $n=2$) или $n+5=0$ (т.е. $n=-5$).
Допустимые значения для переменной $n$ — все числа, кроме 0, 2 и -5. Переменная $k$ может принимать любые значения, так как она находится только в числителе и не влияет на равенство знаменателя нулю.

Таким образом, для любой алгебраической дроби допустимыми являются те и только те значения входящих в нее букв, которые не обращают ее знаменатель в ноль.

Ответ: Допустимыми значениями букв, входящих в алгебраическую дробь, являются все значения этих букв, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найти значение выражения:

1) $\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5};$

2) $\frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right);$

3) $\frac{14}{99} : \frac{63}{110};$

4) $8 \cdot \frac{1}{4};$

5) $\frac{5}{7} \cdot 35;$

6) $42 : \frac{6}{7};$

7) $\frac{3}{8} : 24;$

8) $\left(-1\frac{3}{5}\right)^2;$

9) $\left(-1\frac{1}{3}\right)^3;$

10) $\left(\frac{4}{5}\right)^3.$

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь. $ \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{6}{45} $. Сократим дробь $ \frac{6}{45} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3: $ \frac{6 \div 3}{45 \div 3} = \frac{2}{15} $. Можно было сократить до умножения: $ \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15} $.
Ответ: $ \frac{2}{15} $.

2) При умножении положительной дроби на отрицательную, результат будет отрицательным. Умножим модули дробей, сокращая общие множители. $ \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = - \left(\frac{24}{25} \cdot \frac{5}{8}\right) $. Сократим 24 и 8 на 8, а 25 и 5 на 5: $ - \left(\frac{\cancel{24}^3}{\cancel{25}^5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{8}^1}\right) = - \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} = -\frac{3}{5} $.
Ответ: $ -\frac{3}{5} $.

3) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. $ \frac{14}{99} : \frac{63}{110} = \frac{14}{99} \cdot \frac{110}{63} $. Сократим числители и знаменатели. 14 и 63 делятся на 7. 99 и 110 делятся на 11. $ \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{99}^9} \cdot \frac{\cancel{110}^{10}}{\cancel{63}^9} = \frac{2 \cdot 10}{9 \cdot 9} = \frac{20}{81} $.
Ответ: $ \frac{20}{81} $.

4) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. $ 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8 \cdot 1}{4} = \frac{8}{4} = 2 $.
Ответ: $ 2 $.

5) Умножим числитель дроби на целое число, а знаменатель оставим прежним. $ \frac{5}{7} \cdot 35 = \frac{5 \cdot 35}{7} $. Сократим 35 и 7 на 7: $ \frac{5 \cdot \cancel{35}^5}{\cancel{7}^1} = 5 \cdot 5 = 25 $.
Ответ: $ 25 $.

6) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. $ 42 : \frac{6}{7} = 42 \cdot \frac{7}{6} = \frac{42 \cdot 7}{6} $. Сократим 42 и 6 на 6: $ \frac{\cancel{42}^7 \cdot 7}{\cancel{6}^1} = 7 \cdot 7 = 49 $.
Ответ: $ 49 $.

7) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число. $ \frac{3}{8} : 24 = \frac{3}{8 \cdot 24} $. Сократим 3 и 24 на 3: $ \frac{\cancel{3}^1}{8 \cdot \cancel{24}^8} = \frac{1}{8 \cdot 8} = \frac{1}{64} $.
Ответ: $ \frac{1}{64} $.

8) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Затем возведем в квадрат. $ -1\frac{3}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = -\frac{8}{5} $. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат будет положительным. $ \left(-1\frac{3}{5}\right)^2 = \left(-\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{8^2}{5^2} = \frac{64}{25} $. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $ \frac{64}{25} = 2\frac{14}{25} $.
Ответ: $ 2\frac{14}{25} $.

9) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. $ -1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3} $. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным. $ \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27} $. Преобразуем в смешанное число: $ -\frac{64}{27} = -2\frac{10}{27} $.
Ответ: $ -2\frac{10}{27} $.

10) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель. $ \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{64}{125} $.
Ответ: $ \frac{64}{125} $.

Выполнить умножение (54—55).

54. 1) $\frac{85}{24} \cdot \frac{72}{17};$

2) $\frac{256}{169} \cdot \frac{13}{64};$

3) $50 \cdot \frac{7}{625};$

4) $\frac{5}{26} \cdot 39.$

1) Для того чтобы умножить дробь $\frac{85}{24}$ на дробь $\frac{72}{17}$, необходимо перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{85}{24} \cdot \frac{72}{17} = \frac{85 \cdot 72}{24 \cdot 17} $.
Чтобы упростить вычисление, сначала сократим дробь. Заметим, что числитель 85 и знаменатель 17 имеют общий делитель 17 ($85 = 5 \cdot 17$), а числитель 72 и знаменатель 24 имеют общий делитель 24 ($72 = 3 \cdot 24$). $ \frac{85 \cdot 72}{24 \cdot 17} = \frac{(5 \cdot 17) \cdot (3 \cdot 24)}{24 \cdot 17} $.
Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (17 и 24): $ \frac{5 \cdot \cancel{17} \cdot 3 \cdot \cancel{24}}{\cancel{24} \cdot \cancel{17}} = 5 \cdot 3 = 15 $.
Ответ: $15$.

2) Умножим дробь $\frac{256}{169}$ на дробь $\frac{13}{64}$. Для этого перемножим их числители и знаменатели: $ \frac{256}{169} \cdot \frac{13}{64} = \frac{256 \cdot 13}{169 \cdot 64} $.
Прежде чем умножать, выполним сокращение. Число 256 делится на 64 ($256 = 4 \cdot 64$), а число 169 является квадратом 13 ($169 = 13 \cdot 13$). $ \frac{256 \cdot 13}{169 \cdot 64} = \frac{(4 \cdot 64) \cdot 13}{(13 \cdot 13) \cdot 64} $.
Сокращаем общие множители 64 и 13: $ \frac{4 \cdot \cancel{64} \cdot \cancel{13}}{\cancel{13} \cdot 13 \cdot \cancel{64}} = \frac{4}{13} $.
Ответ: $\frac{4}{13}$.

3) Чтобы умножить целое число 50 на дробь $\frac{7}{625}$, представим 50 в виде дроби со знаменателем 1: $50 = \frac{50}{1}$. $ 50 \cdot \frac{7}{625} = \frac{50}{1} \cdot \frac{7}{625} = \frac{50 \cdot 7}{1 \cdot 625} = \frac{50 \cdot 7}{625} $.
Сократим полученную дробь. Числа 50 и 625 делятся на 25 ($50 = 2 \cdot 25$, $625 = 25 \cdot 25$). $ \frac{(2 \cdot 25) \cdot 7}{25 \cdot 25} $.
Сокращаем общий множитель 25: $ \frac{2 \cdot \cancel{25} \cdot 7}{\cancel{25} \cdot 25} = \frac{2 \cdot 7}{25} = \frac{14}{25} $.
Ответ: $\frac{14}{25}$.

4) Для умножения дроби $\frac{5}{26}$ на целое число 39, представим 39 в виде дроби $\frac{39}{1}$. $ \frac{5}{26} \cdot 39 = \frac{5}{26} \cdot \frac{39}{1} = \frac{5 \cdot 39}{26} $.
Сократим дробь. Числа 39 и 26 имеют общий делитель 13 ($39 = 3 \cdot 13$, $26 = 2 \cdot 13$). $ \frac{5 \cdot (3 \cdot 13)}{2 \cdot 13} $.
Сокращаем общий множитель 13: $ \frac{5 \cdot 3 \cdot \cancel{13}}{2 \cdot \cancel{13}} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} $.
Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $ \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} $.
Ответ: $7\frac{1}{2}$.

55. 1) $\frac{a^3b}{c} \cdot \frac{c^2}{a^4}$

2) $\frac{m^2n^2}{k} \cdot \frac{k^3}{m^3n^3}$

3) $\frac{2a}{3b} \cdot 6c$

4) $14a^2 \cdot \frac{b^2}{7c^3}$

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{a^3b}{c} \cdot \frac{c^2}{a^4} = \frac{a^3b \cdot c^2}{c \cdot a^4} $.
Теперь сократим полученную дробь. Для этого используем свойство степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.
Сокращаем переменные $a$ и $c$:
$ \frac{a^3}{a^4} = a^{3-4} = a^{-1} = \frac{1}{a} $
$ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c^1 = c $
Переменная $b$ остается в числителе.
Собираем все вместе: $ \frac{b \cdot c}{a} = \frac{bc}{a} $.
Ответ: $ \frac{bc}{a} $

2) Перемножим числители и знаменатели дробей: $ \frac{m^2n^2}{k} \cdot \frac{k^3}{m^3n^3} = \frac{m^2n^2k^3}{km^3n^3} $.
Сократим переменные, используя свойство степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ \frac{m^2}{m^3} = m^{2-3} = m^{-1} = \frac{1}{m} $
$ \frac{n^2}{n^3} = n^{2-3} = n^{-1} = \frac{1}{n} $
$ \frac{k^3}{k} = k^{3-1} = k^2 $
В результате в числителе остается $ k^2 $, а в знаменателе $ m \cdot n $.
Получаем: $ \frac{k^2}{mn} $.
Ответ: $ \frac{k^2}{mn} $

3) Чтобы умножить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби со знаменателем 1: $ \frac{2a}{3b} \cdot 6c = \frac{2a}{3b} \cdot \frac{6c}{1} $.
Теперь перемножим дроби: $ \frac{2a \cdot 6c}{3b \cdot 1} = \frac{12ac}{3b} $.
Сократим числовые коэффициенты в полученной дроби: $ \frac{12}{3} = 4 $.
Итоговый результат: $ \frac{4ac}{b} $.
Ответ: $ \frac{4ac}{b} $

4) Представим выражение $ 14a^2 $ в виде дроби: $ 14a^2 \cdot \frac{b^2}{7c^3} = \frac{14a^2}{1} \cdot \frac{b^2}{7c^3} $.
Перемножим дроби: $ \frac{14a^2 \cdot b^2}{1 \cdot 7c^3} = \frac{14a^2b^2}{7c^3} $.
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{14}{7} = 2 $.
Переменные сократить нельзя.
Получаем: $ \frac{2a^2b^2}{c^3} $.
Ответ: $ \frac{2a^2b^2}{c^3} $

56. Выполнить деление дробей:

1) $\frac{a}{b} : \frac{a}{b}$;

2) $\frac{3a}{7b} : \frac{m}{n}$;

3) $\frac{c}{2d} : \frac{3a}{5b}$;

4) $\frac{2a}{3b} : \frac{a^2}{bc}$;

5) $\frac{5m}{n^2} : \frac{10m^3}{n}$.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). В данном случае дробь делится сама на себя, что всегда дает в результате 1 (при условии, что дробь не равна нулю).
$ \frac{a}{b} \div \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} $
Перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем одинаковые множители $a$ и $b$:
$ \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = \frac{ab}{ba} = 1 $
Ответ: $1$

2) Для выполнения деления дробей необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$ \frac{3a}{7b} \div \frac{m}{n} = \frac{3a}{7b} \cdot \frac{n}{m} $
Теперь перемножим числители между собой и знаменатели между собой:
$ \frac{3a \cdot n}{7b \cdot m} = \frac{3an}{7bm} $
В данном выражении нет общих множителей для сокращения, поэтому это окончательный ответ.
Ответ: $\frac{3an}{7bm}$

3) Выполняем деление, заменяя его на умножение на обратную (перевернутую) дробь.
$ \frac{c}{2d} \div \frac{3a}{5b} = \frac{c}{2d} \cdot \frac{5b}{3a} $
Перемножаем числители и знаменатели соответствующих дробей:
$ \frac{c \cdot 5b}{2d \cdot 3a} = \frac{5bc}{6ad} $
Общих множителей для сокращения нет.
Ответ: $\frac{5bc}{6ad}$

4) Чтобы разделить дроби, умножаем первую дробь на дробь, обратную второй, и затем упрощаем полученное выражение.
$ \frac{2a}{3b} \div \frac{a^2}{bc} = \frac{2a}{3b} \cdot \frac{bc}{a^2} $
Перемножаем числители и знаменатели и записываем результат в виде одной дроби:
$ \frac{2a \cdot bc}{3b \cdot a^2} = \frac{2abc}{3a^2b} $
Сокращаем общие множители $a$ и $b$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{2\cancel{a}\cancel{b}c}{3\cancel{b}a^{\cancel{2}}} = \frac{2c}{3a} $
Ответ: $\frac{2c}{3a}$

5) Выполняем деление, заменяя его на умножение на обратную дробь, после чего производим сокращение.
$ \frac{5m}{n^2} \div \frac{10m^3}{n} = \frac{5m}{n^2} \cdot \frac{n}{10m^3} $
Перемножаем числители и знаменатели:
$ \frac{5m \cdot n}{n^2 \cdot 10m^3} = \frac{5mn}{10m^3n^2} $
Сокращаем дробь: числовые коэффициенты (5 и 10 на 5), переменную $m$ (на $m$) и переменную $n$ (на $n$).
$ \frac{\cancel{5}^1\cancel{m}\cancel{n}}{\cancel{10}_2 m^{\cancel{3}2} n^{\cancel{2}}} = \frac{1}{2m^2n} $
Ответ: $\frac{1}{2m^2n}$

57. Выполнить деление:

1) $\frac{4}{13} : 5;$

2) $\frac{a}{b} : c;$

3) $12 : \frac{8}{9};$

4) $a : \frac{b}{c}.$

1) Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить прежним. Представим деление в виде формулы:

$\frac{4}{13} : 5 = \frac{4}{13 \cdot 5} = \frac{4}{65}$

Ответ: $\frac{4}{65}$

2) Данное выражение решается по тому же правилу, что и предыдущее, только с использованием переменных. Чтобы разделить дробь $\frac{a}{b}$ на переменную $c$, нужно знаменатель $b$ умножить на $c$.

$\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c} = \frac{a}{bc}$

Ответ: $\frac{a}{bc}$

3) Чтобы разделить натуральное число на обыкновенную дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (то есть "перевернутую" дробь). В нашем случае нужно $12$ умножить на $\frac{9}{8}$.

$12 : \frac{8}{9} = 12 \cdot \frac{9}{8} = \frac{12 \cdot 9}{8}$

Перед умножением можно сократить числитель и знаменатель. Числа $12$ и $8$ делятся на $4$.

$\frac{12 \cdot 9}{8} = \frac{(3 \cdot 4) \cdot 9}{2 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 9}{2} = \frac{27}{2}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $13\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{27}{2}$

4) Это выражение решается по тому же правилу, что и предыдущее, но с переменными. Чтобы разделить переменную $a$ на дробь $\frac{b}{c}$, нужно $a$ умножить на дробь, обратную делителю, то есть на $\frac{c}{b}$.

$a : \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{b} = \frac{ac}{b}$

Ответ: $\frac{ac}{b}$

Выполнить действия (58—61).

58.

1) $(\frac{5a}{7b})^2 \cdot \frac{14b^2}{25a^3}$;

2) $(\frac{3a^2}{2b})^3 \cdot \frac{16b^3}{21a^4}$;

3) $(\frac{ab}{cd})^2 \cdot acd$;

4) $abc^2 \cdot (\frac{ab}{cd})^2$.

1) Для решения выражения $ (\frac{5a}{7b})^2 \cdot \frac{14b^2}{25a^3} $ выполним следующие действия:

1. Возведем первую дробь в квадрат, используя свойство степени дроби $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $:
$ (\frac{5a}{7b})^2 = \frac{(5a)^2}{(7b)^2} = \frac{25a^2}{49b^2} $
2. Подставим полученное выражение обратно в исходное и перемножим дроби:
$ \frac{25a^2}{49b^2} \cdot \frac{14b^2}{25a^3} = \frac{25a^2 \cdot 14b^2}{49b^2 \cdot 25a^3} $
3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
- Сокращаем число $25$: $ \frac{a^2 \cdot 14b^2}{49b^2 \cdot a^3} $
- Сокращаем $b^2$: $ \frac{a^2 \cdot 14}{49 \cdot a^3} $
- Сокращаем $a^2$: $ \frac{14}{49a} $
- Сокращаем числовую дробь $ \frac{14}{49} $ на $7$: $ \frac{14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{2}{7} $
4. В результате получаем:
$ \frac{2}{7a} $

Ответ: $ \frac{2}{7a} $

2) Для решения выражения $ (\frac{3a^2}{2b})^3 \cdot \frac{16b^3}{21a^4} $ выполним следующие действия:

1. Возведем первую дробь в куб:
$ (\frac{3a^2}{2b})^3 = \frac{(3a^2)^3}{(2b)^3} = \frac{3^3(a^2)^3}{2^3b^3} = \frac{27a^6}{8b^3} $
2. Умножим результат на вторую дробь:
$ \frac{27a^6}{8b^3} \cdot \frac{16b^3}{21a^4} = \frac{27a^6 \cdot 16b^3}{8b^3 \cdot 21a^4} $
3. Сократим общие множители:
- Сокращаем $b^3$: $ \frac{27a^6 \cdot 16}{8 \cdot 21a^4} $
- Сокращаем числа: $ \frac{16}{8} = 2 $ и $ \frac{27}{21} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{7} $
- Сокращаем переменные: $ \frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2 $
4. Перемножим оставшиеся множители:
$ \frac{9}{7} \cdot 2 \cdot a^2 = \frac{18a^2}{7} $

Ответ: $ \frac{18a^2}{7} $

3) Для решения выражения $ (\frac{ab}{cd})^2 \cdot acd $ выполним следующие действия:

1. Возведем дробь в квадрат:
$ (\frac{ab}{cd})^2 = \frac{a^2b^2}{c^2d^2} $
2. Умножим полученный результат на $acd$, представив его как дробь $ \frac{acd}{1} $:
$ \frac{a^2b^2}{c^2d^2} \cdot \frac{acd}{1} = \frac{a^2b^2acd}{c^2d^2} $
3. Сгруппируем переменные и сократим дробь:
$ \frac{(a^2 \cdot a) \cdot b^2 \cdot c \cdot d}{c^2 \cdot d^2} = \frac{a^3b^2cd}{c^2d^2} $
Сокращаем $c$ и $d$: $ \frac{c}{c^2} = \frac{1}{c} $ и $ \frac{d}{d^2} = \frac{1}{d} $.
4. В итоге получаем:
$ \frac{a^3b^2}{cd} $

Ответ: $ \frac{a^3b^2}{cd} $

4) Для решения выражения $ abc^2 \cdot (\frac{ab}{cd})^2 $ выполним следующие действия:

1. Возведем дробь в скобках в квадрат:
$ (\frac{ab}{cd})^2 = \frac{a^2b^2}{c^2d^2} $
2. Умножим $abc^2$ на полученную дробь:
$ abc^2 \cdot \frac{a^2b^2}{c^2d^2} = \frac{abc^2 \cdot a^2b^2}{c^2d^2} $
3. Сгруппируем одинаковые переменные в числителе и упростим:
$ \frac{(a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b^2) \cdot c^2}{c^2d^2} = \frac{a^3b^3c^2}{c^2d^2} $
4. Сократим $c^2$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{a^3b^3}{d^2} $

Ответ: $ \frac{a^3b^3}{d^2} $

59. 1) $\frac{8a^2b}{9c} \cdot \frac{36c^3}{5a^3b}$;

2) $\frac{7b^4}{9c^5y} : \frac{35b^4c}{18c^4y^2}$;

3) $\frac{16x^2y}{7z} : \frac{10xy^3}{21z^2}$;

4) $\frac{46d^3c}{15a} : \frac{23dc^2}{5a^3}$;

5) $\frac{18m^3n^5}{7k} : (9n^2)$;

6) $24k^2 : \frac{12m^4k^2}{11p^3n}$.

1) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно: $ \frac{8a^2b}{9c} \cdot \frac{36c^3}{5a^3b} = \frac{8a^2b \cdot 36c^3}{9c \cdot 5a^3b} $. Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сначала сократим числовые коэффициенты: $ \frac{36}{9} = 4 $. В результате получаем $ \frac{8 \cdot 4}{5} = \frac{32}{5} $. Далее сократим переменные, используя свойство степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $: Для переменной $ a $: $ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $. Для переменной $ b $: $ \frac{b}{b} = 1 $. Для переменной $ c $: $ \frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2 $. Собираем все части вместе: $ \frac{32}{5} \cdot \frac{1}{a} \cdot 1 \cdot c^2 = \frac{32c^2}{5a} $.
Ответ: $ \frac{32c^2}{5a} $

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую): $ \frac{7b^4}{9c^5y} : \frac{35b^4c}{18c^4y^2} = \frac{7b^4}{9c^5y} \cdot \frac{18c^4y^2}{35b^4c} = \frac{7 \cdot 18 \cdot b^4 \cdot c^4 \cdot y^2}{9 \cdot 35 \cdot c^5 \cdot y \cdot b^4 \cdot c} $. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{7}{35} = \frac{1}{5} $ и $ \frac{18}{9} = 2 $. Итого получаем $ \frac{1 \cdot 2}{5} = \frac{2}{5} $. Переменные: Для $ b $: $ \frac{b^4}{b^4} = 1 $. Для $ c $: $ \frac{c^4}{c^5 \cdot c} = \frac{c^4}{c^{5+1}} = \frac{c^4}{c^6} = c^{4-6} = c^{-2} = \frac{1}{c^2} $. Для $ y $: $ \frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y $. Объединяем результаты: $ \frac{2}{5} \cdot 1 \cdot \frac{1}{c^2} \cdot y = \frac{2y}{5c^2} $.
Ответ: $ \frac{2y}{5c^2} $

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели: $ \frac{16x^2y}{7z} \cdot \frac{10xy^3}{21z^2} = \frac{16x^2y \cdot 10xy^3}{7z \cdot 21z^2} = \frac{16 \cdot 10 \cdot x^2 \cdot x \cdot y \cdot y^3}{7 \cdot 21 \cdot z \cdot z^2} $. Сгруппируем и упростим выражение. Числовые коэффициенты: $ \frac{16 \cdot 10}{7 \cdot 21} = \frac{160}{147} $. Данные числа являются взаимно простыми, поэтому дробь не сокращается. Переменные (используя свойство $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $): Для $ x $: $ x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3 $. Для $ y $: $ y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4 $. Для $ z $: $ z \cdot z^2 = z^{1+2} = z^3 $. Объединяем все части: $ \frac{160x^3y^4}{147z^3} $.
Ответ: $ \frac{160x^3y^4}{147z^3} $

4) Для выполнения деления, умножим первую дробь на дробь, обратную ко второй: $ \frac{46d^3c}{15a} : \frac{23dc^2}{5a^3} = \frac{46d^3c}{15a} \cdot \frac{5a^3}{23dc^2} = \frac{46 \cdot 5 \cdot d^3 \cdot c \cdot a^3}{15 \cdot 23 \cdot a \cdot d \cdot c^2} $. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{46}{23} = 2 $ и $ \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $. Итого получаем $ \frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{2}{3} $. Переменные: Для $ a $: $ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $. Для $ d $: $ \frac{d^3}{d} = d^{3-1} = d^2 $. Для $ c $: $ \frac{c}{c^2} = c^{1-2} = c^{-1} = \frac{1}{c} $. Объединяем результаты: $ \frac{2}{3} \cdot a^2 \cdot d^2 \cdot \frac{1}{c} = \frac{2a^2d^2}{3c} $.
Ответ: $ \frac{2a^2d^2}{3c} $

5) Представим делитель $ 9n^2 $ в виде дроби $ \frac{9n^2}{1} $. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение: $ \frac{18m^3n^5}{7k} : (9n^2) = \frac{18m^3n^5}{7k} \cdot \frac{1}{9n^2} = \frac{18m^3n^5}{7k \cdot 9n^2} $. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{18}{9} = 2 $. Переменные: Для $ n $: $ \frac{n^5}{n^2} = n^{5-2} = n^3 $. Переменные $ m^3 $ и $ k $ не имеют общих множителей и остаются на своих местах. Объединяем результаты: $ \frac{2m^3n^3}{7k} $.
Ответ: $ \frac{2m^3n^3}{7k} $

6) Представим делимое $ 24k^2 $ в виде дроби $ \frac{24k^2}{1} $. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную (перевернутую) дробь: $ 24k^2 : \frac{12m^4k^2}{11p^3n} = \frac{24k^2}{1} \cdot \frac{11p^3n}{12m^4k^2} = \frac{24 \cdot 11 \cdot k^2 \cdot p^3 \cdot n}{12m^4k^2} $. Сократим полученное выражение. Числовые коэффициенты: $ \frac{24}{12} = 2 $. Переменные: Для $ k $: $ \frac{k^2}{k^2} = 1 $. Остальные переменные $ p^3, n, m^4 $ не сокращаются. Объединяем результаты: $ \frac{2 \cdot 11 \cdot p^3 \cdot n}{m^4} = \frac{22p^3n}{m^4} $.
Ответ: $ \frac{22p^3n}{m^4} $